(共45张PPT)
人教版数学 九年级上册
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
导入新知
1. 能推导弧长和扇形面积的计算公式.
2. 知道公式中字母的含义，并能正确运用这些公式进行相关计算.
学习目标
问题1 半径为R的圆,周长是多少？
O
R
问题2 ①360°的圆心角所对的弧长是多少？②1°的圆心角所对的弧长是多少？③n°的圆心角所对的弧长是多少？
新知一 弧长计算公式及相关的计算
合作探究
弧长 = ·2πR
=
弧长 = ·2πR
=
弧长 = ·2πR
=
弧长= ·2πR
=
问题3 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几 弧长是多少？
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
注意
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为____.
弧长公式
例 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
700mm
700mm
R=900mm
(
100 °
A
C
B
D
O
700mm
弧长公式的应用
典例精析
解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n°.
解得 n≈90°.
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取3.14）？
·
O
A
巩固练习
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
新知二 扇形面积计算公式及相关的计算
合作探究
下列图形是扇形吗？
判一判
√
×
×
×
√
问题1 半径为r的圆,面积是多少？
O
r
问题3 下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢
问题2 ①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？
③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？
圆心角占
周角的比例 扇形面积占
圆面积的比例 扇形的
面积
O
r
180°
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
扇形面积公式
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
注意
大小不变时，对应的扇形面积与 有关，
越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
O ●
A
B
D
C
E
F
O ●
A
B
C
D
问题 扇形的面积与哪些因素有关？
问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 :扇形的面积公式与什么公式类似？
A
B
O
O
例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
O
R
60°
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
扇形的周长为
扇形面积公式的应用
典例精析
已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积S扇= ．
已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇= .
巩固练习
例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
(1)
O .
B
A
C
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
求阴影部分的面积
典例精析
O.
B
A
C
D
(2)
O.
B
A
C
D
(3)
(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
线段DC.过点O作OD垂直于AB并交圆O于C.
(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积.
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.
∵ OC＝0.6, DC＝0.3,
∴ OD＝OC- DC＝0.3，
∴ OD＝DC.
又 AD ⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
从而 ∠AOD＝60 , ∠AOB=120 .
O.
B
A
C
D
(3)
有水部分的面积：
S＝S扇形OAB - SΔOAB
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积公式
2π
如图 ，扇形 OAB 的圆心角为 60°，半径为 6 cm，C，D 是弧 AB 的三等分点，则图中阴影部分的面积和是_____．
2π
巩固练习
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （ ）
B．
C. D.
1.已知弧所对的圆心角为90°,半径是4,则弧长 .
C
A
B
C
O
H
C1
A1
H1
O1
课堂练习
3. 如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 .
A
B
C
D
4. 如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝ ，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
A1
A2
C1
l
5. 如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
O
A
B
D
C
E
解：
弧长
计算公式：
扇形
定义
公式
阴影部分面积求法：整体思想
弓形
公式
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
割补法
归纳新知
D
课后练习
B
C
4．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为____．
πa
C
A
8．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3π cm，则此扇形的面积是____cm2.
9．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是____________．
6π
B
11．如图，图①是由若干个相同的图形(图②)组成的图案，图②中，图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图②的周长为________cm.(结果保留π)
12．如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则图中阴影部分的面积为________.(结果保留π)
π
13．在Rt△ABC中，AB＝1，∠A＝60°，∠ABC＝90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为__________．(结果不取近似值)
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，AD＝2，∴AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°，∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝CE，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG
再 见(共40张PPT)
人教版数学 九年级上册
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第2课时 圆锥的侧面积与全面积
下面图片是什么形状的？你会求它们的面积吗？
导入新知
1. 体会圆锥侧面积的探索过程.
2. 会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题.
学习目标
新知一 圆锥及相关概念
合作探究
顶点
母线
底面半径
侧面
高
圆锥的形成
圆锥的高
母线
S
A
O
B
r
我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线．
圆锥的母线
圆锥有无数条母线，它们都相等．
圆锥的高
从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．
要点归纳
h
由勾股定理得：
如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：
r2+h2=l2.
O
r
填一填:
根据下列条件求值（其中r、h、l 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）
（1）l = 2，r=1 则 h=_______.
(2) h =3, r=4 则 l =_______.
(3) l = 10, h = 8 则r=_______.
5
6
h
O
r
l
o
r
思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？
扇形
圆锥的侧面展开图是扇形.
新知二 圆锥的侧面展开图
合作探究
问题：
1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？
2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
l
o
侧面
展开图
概念对比
r
l
r
扇形
其侧面展开图扇形的半径=母线的长
侧面展开图扇形的弧长=底面周长
圆锥的侧面积计算公式的推导
l
o
侧面
展开图
l
r
圆锥的全面积计算公式
(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
∵
又∵
∴
（l为弧长，R为扇形的半径）
例1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为20 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.
解：设该圆锥的底面的半径为r，母线长为a.
可得
r=10.
可得
a=30.
又
圆锥有关概念的计算
典例精析
如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)则这个圆锥的底面半径r= ．
(2)这个圆锥的高h= .
A
C
B
θ
R=10
O
r
4
巩固练习
α
O
h
r
l
例2 如图，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm,母线为50cm.在一块大铁皮上裁剪时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积.
解：该烟囱的侧面展开图是扇形，如图所示.设该扇形的面积为S.
圆锥有关面积的计算
典例精析
解法一:
解法二: S= ×2πr·l= ×2π×40×50=2000π（cm2）.
解法三: S=πr·l= π×40×50=2000π （cm2）.
已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，则这个圆锥的侧面积为 ，全面积为 .
巩固练习
例3 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高为1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到1m2）？
利用圆锥的面积解决实际问题
典例精析
解：如图是一个蒙古包示意图．
根据题意，下部圆柱的底面积为35m2，高为1.5m；上部圆锥的高为3.5－1.5=2（m）．
圆柱的底面积半径为
圆锥的母线长为
圆柱的侧面积为2π×3.34×1.5≈31.46（平方米），
侧面展开扇形的弧长为
圆锥的侧面积为
20×（31.46+40.81）≈1446（平方米）．
答：至少需要1446平方米的毛毡.
圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为80cm，高为38.7cm,求这个烟囱帽的面积（ 取3.14，结果保留2个有效数字）
解：∵l=80，h=38.7,
∴r= .
∴S侧=πrl≈3.14×70×80≈1.8×104（cm2）.
答：烟囱帽的面积约为1.8×104cm2.
l
h
r
巩固练习
1 .圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是_______．
2 .一个扇形，半径为30cm，圆心角为120度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____ ．
180°
10cm
3.已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积是 ，全面积是 ．
15πcm2
24πcm2
课堂练习
4.如图，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥全面积.
解：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC=AC=8cm.
∴S侧=πrl=π×4×8=32π(cm2),
S底=πr2=π×4×4=16π(cm2),
∴S全=S侧+S底=48π(cm2).
r2+h2=l2
S圆锥侧＝πrl.
S 圆锥全＝ S圆锥侧+ S圆锥底
＝ πrl+πr2
圆锥的高
母线
r
S
A
O
B
h
l
o
侧面
展开图
r
底面
①其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
②侧面展开图扇形的弧长=底面周长
重要图形
重要结论
归纳新知
1．已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是( )
A．4π B．8π C．12π D．16π
C
课后练习
2．若圆锥的底面积为16π cm2，母线长为12 cm，则它的侧面展开图的圆心角为( )
A．240° B．180° C．120° D．90°
B
3.小明用如图所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5 cm，弧长是 6π cm，那么这个圆锥的高是( )
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．2 cm
A
4．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( )
A．120° B．180° C．240° D．300°
5．用半径为10 cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________cm.
B
6．圆锥的侧面积为6π cm2，底面圆的半径为2 cm，则这个圆锥的母线长为____cm.
7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm，弧长为12π cm的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．
3
D
A
10．(教材P114例3变式)一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，求该几何体的全面积(即表面积)是多少．(结果保留π)
11．若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为( )
A．60π B．65π C．78π D．120π
B
2π
13．(2020·娄底)如图，四边形ABDC中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，则将它以AD为轴旋转180°后所得分别以AB，BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为________.
3∶2
14．用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40 cm的圆锥形工件(接缝忽略不计)，那么这个扇形铁皮的半径是____cm.
15．一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积为____．
50
3π
16．如图，一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆．求：
(1)圆锥的母线长与底面半径之比；
(2)锥角的大小(锥角为过圆锥高的平面上两母线的夹角)；
(3)圆锥的侧面积．
17．(2020·广东中考改编)如图，从一块半径为1 m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求该圆锥的底面圆的半径r.
解：如图，连接OB，OC，OA，
18．如图，有一圆锥形粮堆，BC是其底面直径，△ABC是粮堆截面图，是边长为6 m的等边三角形，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少？(结果保留π)
再 见
