北师版八年级下册数学 第一章三角形的证明达标检测卷（word版含答案）

第一章达标检测卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是(　　)
A．4，5，6 B．2，3，4
C．11，12，13 D．8，15，17
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为(　　)
A．2
B．2
C．
D．
3．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是(　　)
A．AC＝AD
B．AC＝BC
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
4．【教材P16随堂练习T3改编】下列命题的逆命题是真命题的是(　　 )
A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0
B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等
D．若a＝b，则|a|＝|b|
5．如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACB＝105°，则∠B的度数为(　　)
A．15°
B．20°
C．25°
D．40°
6．有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？(　　)
A．△ABC三条角平分线的交点处
B．△ABC三条中线的交点处
C．△ABC三条高的交点处
D．△ABC三边垂直平分线的交点处
7．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为(　　)
A．2.5
B．1.5
C．2
D．1
8．【教材P26随堂练习变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 (　　)
A．4 cm
B．3 cm
C．2 cm
D．1 cm
9．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为D，且PC＝4，则PD的长等于(　　)
A．1
B．2
C．4
D．8
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，以AB，AC为边向外分别作等边三角形ABD和等边三角形ACE.若AC＝2，则BE的长为(　　)
A．6
B．2
C．
D．5
二、填空题(每题3分，共24分)
11．用反证法证明一个三角形中不能有两个直角，第一步是假设这个三角形中____________．
12．【教材P24习题T3变式】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E.若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为________．
13．我们规定，等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k.若k＝2，则该等腰三角形的顶角为________度．
14．如图，在△ABC中，高AD，CE相交于点H，且CH＝AB，则∠ACB＝________．
15．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
16．如图，有一张直角三角形纸片，AC＝7 cm，BC＝14 cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为__________．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点D.下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.其中正确的有__________(填序号)．
18. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC＝________．
三、解答题(19题8分，20题10分，其余每题12分，共66分)
19．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC的平分线AE和∠ACB的平分线CD相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．
20．如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝9，BC＝7.
(1)尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE；
(2)求△ABE的周长．
21．【教材P34复习题T4变式】已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线分别交AB，AC于点E，F，且BE＝EO.
(1)说明EF与CF的数量关系；
(2)求点O到BC的距离．
23．【教材P31例3拓展】(1)如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，则AC，CD，AB三条线段之间的数量关系为______________．
(2)若将(1)中的条件“Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°”改为“△ABC中，∠C＝2∠B”，如图②，请问：(1)中的结论是否仍然成立？并证明．
24．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图①，若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心．
应用：如图②，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且
PD＝AB.求∠APB的度数．
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC的长为5，AB＝3，准外心P在AC边上．试探究PA的长．
答案
一、1．D　2．C　3．A　4．C　5．C　6．D
7．D　8．C　9．B
10．B　点拨：连接CD.
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°.
∴∠DAB＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠DAC＝∠BAE.
∴△ABE≌△ADC(SAS)．
∴DC＝BE.
∵∠ABC＝30°，∠ABD＝60°，
∴∠DBC＝∠ABD＋∠ABC＝60°＋30°＝90°.
∵△ABD是等边三角形，AC＝2，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，
∴BC＝4，BD＝AB＝2.
在Rt△DBC中，DC＝＝＝2，
∴BE＝DC＝2.
二、11．有两个直角　12．19　13．90
14．45°　15．4　16．5.25 cm
17．①②③④　18．100°
三、19．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC.
∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝55°.
∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°.
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.
20．解：(1)如图所示．
(2)∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC.
∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC.
∵AB＝5，BC＝7，
∴AB＋BE＋AE＝5＋7＝12，
即△ABE的周长为12.
21．(1)证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
∵锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，∴∠BEC＝∠BDC＝90°.
∴∠BCE＋∠ABC＝∠DBC＋∠ACB＝90°.
∴∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
(2)解：点O在∠BAC的平分线上．
理由：在△EOB和△DOC中，
∴△EOB≌△DOC(AAS)．
∴OE＝OD.
又∵OE⊥AE，OD⊥AD，
∴点O在∠BAC的平分线上．
22．解：(1)EF＝2CF.理由如下：
如图所示．
∵BE＝EO，∴∠1＝∠2.
∵在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∴∠1＝∠3，∠4＝∠5.
∴∠2＝∠3.∴EF∥BC.
∴∠4＝∠5＝∠6.
∴OF＝CF.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵EF∥BC，
∴∠ABC＝∠AEF＝∠ACB＝∠AFE.
∴AE＝AF.
∴BE＝CF.
∴EF＝OE＋OF＝2CF.
(2)如图，连接AO并延长交BC于点D.
∵在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，AB＝AC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝3.
在Rt△ABD中，AD＝＝＝4，
∴S△ABC＝BC·AD＝×6×4＝12.
∵点O是△ABC三个内角平分线的交点，
∴点O到三边的距离相等，即为OD的长．
∵S△OBC＋S△OAC＋S△OAB＝S△ABC，
∴BC·OD＋AC·OD＋AB·OD＝12.
∴OD＝1.5，即点O到BC的距离是1.5.
23．解：(1)AB＝AC＋CD
(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：
∵AD是∠CAB的平分线，
∴将△CAD沿AD折叠，点C恰好落在AB边上，记为C′，如图所示．
由折叠的性质知△ACD≌△AC′D，
∴AC＝AC′，CD＝C′D，∠C＝∠1.
∵∠C＝2∠B，∴∠1＝2∠B.
又∵∠1＝∠2＋∠B，∴∠2＝∠B.
∴C′D＝C′B＝CD.
∴AB＝AC′＋BC′＝AC＋CD.
24．解：应用：若PB＝PC，则∠PCB＝∠PBC.
∵CD为等边三角形ABC的高，
∴AD＝BD，∠PCB＝∠ACB＝30°.
∴∠PBC＝30°.
∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝30°.
∴PD＝BP.
又∵PD2＋BD2＝PB2，
∴PD＝BD＝AB，与已知PD＝AB矛盾．
∴PB≠PC.
同理可得PA≠PC，∴PA＝PB.
由PD＝AB，AD＝BD，得PD＝BD.
∵∠PDB＝90°，∴∠DPB＝45°.
同理，∠APD＝45°.
∴∠APB＝90°.
探究：∵AB＝3，BC＝5，
∴在Rt△ABC中，AC＝＝4.
若PB＝PC，设PA＝x，则PC＝PB＝AC－PA＝4－x.
在Rt△APB中，AP2＋AB2＝PB2，
∴x2＋32＝(4－x)2.
∴x＝，即PA＝.
若PA＝PC，则PA＝AC＝2.
若PA＝PB，则∠PBA＝∠A＝90°，显然不成立．
综上，PA的长为2或.