2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.6利用三角函数测高同步达标测试（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．如图，要得到从点D观测点A的俯角，可以测量（　　）
A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC
2．如图，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为α，同时测得AC＝15m，则树的高度AB为（　　）
A． B．15tanαm C． D．15sinαm
3．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（　　）
A．40海里 B．40sin37°海里
C．40cos37°海里 D．40tan37°海里
4．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是（　　）米．
A．15﹣5 B．20﹣10 C．10﹣5 D．5﹣5
5．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　）
A．200米 B．200米 C．220米 D．米
6．如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，若水平距离BD＝10m，楼高AB＝24m，则树CD高约为（　　）
A．5m B．6m C．7m D．8m
7．某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°（如图），测量队在山坡上前进600米到D处，再测得树顶的仰角为60°，已知这段山坡的坡角为30°，如果树高为15米，则山高为（　　）（精确到1米，＝1.732）．
A．585米 B．1014米 C．805米 D．820米
二．填空题（共6小题，满分30分）
8．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 　 　海里（结果保留根号）．
9．如图，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛A相距20nmile，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为 　 　nmile（结果保留根号）．
10．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛60海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为　 　海里/小时．
11．如图，某海监船以30海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为　 　海里．
12．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C．此时A，C两点之间的距离为　 　m．
13．小明想要测量水面人工岛上两棵小树CD的距离，如图，已知河岸MN∥CD，小明在河岸MN上点A处测量小树C位于北偏东60°方向，然后沿河岸走了20米，到达点B处，此时测得河对岸小树C位于北偏东30°方向，小树D位于东北方向，则两棵树CD的距离为　 　米．（结果保留根号）
三．解答题（共8小题，满分55分）
14．清代《修武县志》有胜果寺的记载，“康熙五十二年三月十七日，塔顶现青白二气如云，越二日乃止”，此文中的塔即为“胜果寺塔”．是修武作为“千年古县”的标志性古建筑，为了测量塔的高度，某校数学兴趣小组的两名同学采用了如下方式进行测量．如图，小明站在A处，眼睛E距离地面的高度为1.85m，测得塔顶C的仰角为45°，小红站在距离小明10m的D处，眼睛F距离地面的高度为1.5m，测得塔顶C的仰角为60°，已知A，D，塔底B在同一水平面上，由此即可求出塔高BC．你知道是怎么求的吗？请写出解题过程．（结果精确到1m．参考数据：＝1.732）
15．如图，一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东39°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（结果精确到0.01小时，sin39°≈0.629，cos39°≈0.777，tan39°≈0.810）
16．如图，公园里有一棵大树（AB）与一棵小树（CD），受测量工具、地理环境及安全等因素影响不能直接测量它们的高度之差，小明与小丽手中有一副含30°角的直角三角尺和一根皮尺，小明首先在与树根B、D成一条直线的点E处用三角尺测得小树CD顶部C的仰角为30°，然后他向后移动调整，在M处用三角尺测得大树AB顶部A的仰角也是30°，点M仍然与B、D在一条直线上，然后他俩用皮尺测得BD＝4.5米，EM＝1.5米，求两棵树的高度之差．
17．如图，一楼房AB后有一假山，CD的坡度为i＝1：2，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山脚与楼房水平距离BC＝20米，与亭子距离CE＝6米，小丽从楼房房顶测得E的俯角为45°．
求：（1）点E到水平地面的距离；
（2）楼房AB的高．
18．今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？（最后结果保留一位小数）
（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）
19．小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．（结果保留整数）
（参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，≈1.4，≈1.7，≈2.4）
20．如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．
21．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．
（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；
（2）求AB的长度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
参考答案
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．解：从点D观测点A的俯角即从点A观测点D的仰角，即∠DAB．
故选：A．
2．解：在Rt△ABC中，AC＝15m，∠ACB＝α，sinα＝，
∴AB＝AC sinα＝15sinα（m），
故选：D．
3．解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，
∴∠BAP＝37°，
∵AP＝40海里，
∴BP＝AP sin37°＝40sin37°海里；
故选：B．
4．解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．
在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，
∴AM＝AB cos∠BAM＝5米，BM＝AB sin∠BAM＝5米．
在Rt△ADE中，AE＝10米，∠DAE＝60°，
∴DE＝AE tan∠DAE＝10米．
在Rt△BCN中，BN＝AE+AM＝（10+5）米，∠CBN＝45°，
∴CN＝BN tan∠CBN＝（10+5）米，
∴CD＝CN+EN﹣DE＝10+5+5﹣10＝（15﹣5）米．
故选：A．
5．解：∵在热气球C处测得地面B点的俯角为45°，
∴BD＝CD＝100米，
∵在热气球C处测得地面A点的俯角为30°，
∴AC＝2×100＝200米，
∴AD＝＝100米，
∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米，
故选：D．
6．解：过C作CE⊥AB，交AB于点E，
在Rt△ACE中，∠EAC＝30°，CE＝10m，
∴AC＝2CE＝20m，AE＝＝10m，
则CD＝EB＝AB﹣AE＝24﹣10≈7m．
故选：C．
7．解：过点D作DF⊥AC于F．
在直角△ADF中，AF＝AD cos30°＝300米，DF＝AD＝300米．
设FC＝x，则AC＝300+x．
在直角△BDE中，BE＝DE＝x，则BC＝300+x．
在直角△ACB中，∠BAC＝45°．
∴这个三角形是等腰直角三角形．
∴AC＝BC．
∴300+x＝300+x．
解得：x＝300．
∴BC＝AC＝300+300．
∴山高是300+300﹣15＝285+300≈805米．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分30分）
8．解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：
由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，
在Rt△APC中，cos∠APC＝，
∴PC＝PA cos∠APC＝50×＝25（海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，
∴PB＝＝＝25（海里），
故答案为：25．
9．解：作AC⊥BD于点C，
由已知可得，∠BAC＝45°，∠DAC＝60°，AB＝20nmile，
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∴AC＝AB cos45°＝20×＝10（nmile），
∴AD＝＝＝20（nmile），
故答案为：20．
10．解：如图所示：
设该船行驶的速度为x海里/时，
3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，
由题意得：AB＝60海里，BC＝3x海里，
在直角三角形ABQ中，∠BAQ＝60°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AQ＝AB＝30，BQ＝AQ＝30，
在直角三角形AQC中，∠CAQ＝45°，
∴CQ＝AQ＝30，
∴BC＝30+30＝3x，
解得：x＝10+10（海里/时）．
即该船行驶的速度为（10+10）海里/时；
故答案为：10+10．
11．解：在Rt△PAB中，∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意得BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2PA，
∵PA＝AB tan60°，AB＝30×1＝30（海里），
∴PC＝2×30×＝60（海里），
故答案为：60．
12．解：如图，由题意得：AB＝400m，BC＝300m，∠CBD＝37°，∠BAF＝53°，AF∥DE，
∴∠ABE＝∠BAF＝53°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBD﹣∠ABE＝180°﹣37°﹣53°＝90°，
∴AC＝＝＝500（m），
即A，C两点之间的距离为500m，
故答案为：500．
13．解：如图所示，过点C作CE⊥MN于点E，过点D作DF⊥MN于点F，
设BE＝a，
在Rt△BCE中，∵∠BCE＝30°，
∴CE＝＝＝a，
在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，AB＝20，
∴由tan∠CAE＝可得＝，
解得a＝10，
∴BE＝10，DF＝CE＝10，
在Rt△BDF中，∵∠DBF＝45°，
∴BF＝DF＝10，
∴CD＝EF＝BF﹣BE＝10﹣10（米），
故答案为：（10﹣10）．
三．解答题（共8小题，满分55分）
14．解：过E点作EG⊥BC于G，过F点作FH⊥BC于H，
设BC＝xm，则CG＝（x﹣1.85）m，CH＝（x﹣1.5）m，
在Rt△CHF中，FH＝＝，
Rt△CGE中，EG＝＝（x﹣1.85）m，
∵EG﹣FH＝10，
∴（x﹣1.85）﹣＝10，
解得x≈26．
故塔高BC大约26m高．
15．解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，
∴CD＝AC＝40海里．
在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠BCD＝39°，
∴BC＝＝海里，
∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：÷40＝≈1.29（小时）．
答：海警船到大事故船C处所需的大约时间为1.29小时．
16．解：如图，延长NF交AB于点G，交CD于点H，
根据题意可知：
四边形BGHD，四边形DHFE，四边形FNME是矩形，
∴GH＝BD＝4.5米，HF＝DE，FN＝EM＝1.5米，
在Rt△ANG中，∠AGN＝90°，∠ANG＝30°，
∴AG＝GN tan∠ANG
＝（GH+HF+FN） tan30°
＝（4.5+HF+1.5）
＝（6+HF）（米），
在Rt△CFH中，∠CHF＝90°，∠CFH＝30°，
∴CH＝HF tan∠CFH
＝HF tan30°
＝HF，
∴AB﹣CD＝（AG+BG）﹣（CH+DH）
＝AG﹣CH
＝（6+HF）﹣HF
＝2 （米）．
答：大树AB比小树CD高2米．
17．解：（1）如图，过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，
∵CD的坡度为i＝1：2，CE＝6米，
∵i＝＝＝tan∠ECF，
∴EF＝6米，CF＝12米，
∴BH＝EF＝6（米），
（2）∵HE＝BF＝BC+CF＝20+12＝32（米），
在Rt△AHE中，∠HAE＝45°，
∴AH＝HE＝32（米），
∴AB＝AH+HB＝32+6＝38（米）．
答：楼房AB的高为38米．
18．解：作EM⊥CG于M，FN⊥CG于N，
由题意得GB＝AG+AB＝15.8+24.2＝40（米），
则FN＝GB＝40米，
在Rt△EDM中，∠DEM＝45°，
∴DM＝EM＝15.8米，
∵MG＝AE＝1.4米，
∴DG＝DM+MG＝15.8+1.4＝17.2（米），
∵NG＝FB＝1.8米，
∴DN＝17.2﹣1.8＝15.4（米），
在Rt△CNF中，∠CFN＝23°，
∵tan∠CFN＝≈0.4245，
∴CN＝0.4245×40≈17.0（米），
∴CD＝CN﹣DN＝17.0﹣15.4＝1.6（米）
故国旗的宽度CD约为1.6米．
19．解：过D作DM⊥AC于M，
设MD＝x，
在Rt△MAD中，∠MAD＝45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AM＝MD＝x，
∴AD＝x，
在Rt△MCD中，∠MDC＝63.4°，
∴MC≈2MD＝2x，
∵AC＝600+600＝1200，
∴x+2x＝1200，
解得：x＝400，
∴MD＝400m，
∴AD＝MD＝400，
过B作BN⊥AE于N，
∵∠EAB＝45°，∠EBC＝75°，
∴∠E＝30°，
在Rt△ABN中，∠NAB＝45°，AB＝600，
∴BN＝AN＝AB＝300，
∴DN＝AD﹣AN＝400﹣300＝100，
在Rt△NBE中，∠E＝30°，
∴NE＝BN＝×300＝300，
∴DE＝NE﹣DN＝300﹣100≈580（m），
即D处学校和E处图书馆之间的距离约是580m．
20．解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，
根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，
∴AE＝CE＝25（海里），
∵∠CBE＝30°，
∴BE＝25（海里），
∴BC＝2CE＝50（海里）．
答：观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）如图，作CF⊥DB于点F，
∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，
∴四边形CEBF是矩形，
∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），
∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得
CD＝＝＝70（海里），
∴70÷42＝（小时）．
答：救援船到达C点需要的最少时间是小时．
21．解：（1）由题意，CD＝8×15＝120（m），
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，
∴AC＝CD tan∠ADC＝CD tan60°＝120×＝120（m），
答：无人机的高度AC是120米；
（2）过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，
∴BF＝AC＝120，AB＝CF，
在Rt△BEF中，tan∠BEF＝，
∴EF＝＝≈276.8（m），
∵CE＝8×（15+50）＝520（m），
∴AB＝CF＝CE﹣EF＝520﹣276.8≈243（米），
答：隧道AB的长度约为243米．