2021-2022学年冀教版八年级数学上册16.2线段的垂直平分线 同步达标测评（Word版含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《16.2线段的垂直平分线》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共9小题，满分45分）
1．如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC的度数是（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
3．如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点F，交BC的延长线于点E．以下四个结论：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠FDE＝90°；（4）∠B＝∠CAE．恒成立的结论有（　　）
A．（1）（2） B．（2）（3）（4）
C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）
4．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（　　）
A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm
5．如图，△ABC中，∠A＝70°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
6．如图，∠ABC＝90°，∠C＝15°，线段AC的垂直平分线DE交AC于D，交BC于E，D为垂足，CE＝10 cm，则AB＝（　　）
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．不能确定
7．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC等于（　　）
A．8° B．9° C．10° D．11°
8．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
9．已知锐角三角形ABC中，∠A＝65°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
二．填空题（共5小题，满分25分）
10．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　 　．
11．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为　 　．
12．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE＝30°，则∠BAC等于　 　．
13．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝85°，则∠BDC＝　 　．
14．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝　 　度．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，Q．
（1）如图，当∠BAC＝80°时，求∠PAQ的度数；
（2）当∠BAC满足什么条件时，AP⊥AQ，说明理由；
（3）在（2）的条件下，BC＝10，求△APQ的周长．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE为AB的垂直平分线，DE交AC于点D，连接BD．若∠ABD＝2∠CBD，求∠A的度数．
17．已知：如图，AF平分∠BAC，BC垂直平分AD，垂足为E，CF上一点P，连接PB交线段AF相交于点M．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠DAC＝∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
18．在△ABC中，AB边的垂直平分线交直线BC于点D，垂足为点F，AC边的垂直平分线交直线BC于点E，垂足为点G．
（1）当∠BAC＝100°（如图）时，∠DAE＝　 　°；
（2）当∠BAC为一任意角时，猜想∠DAE与∠BAC的关系，并证明你的猜想．
19．如图，已知：在△ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P．
求证：点P在AC的垂直平分线上．
20．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，AB＝AE，点E在AC的垂直平分线上．
（1）请问：AB、BD、DC有何数量关系？并说明理由．
（2）如果∠B＝60°，证明：CD＝3BD．
参考答案
一．选择题（共9小题，满分45分）
1．解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，
∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，CQ＝AQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°，
∵∠BAC＝110°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°，
故选：A．
2．解：设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴BD＝AD，
∴∠BAD＝∠B，
即∠B＝5x°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴2x+5x+5x＝90，
解得：x＝，
即∠B＝∠BAD＝（）°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝（）°+（）°＝75°，
故选：B．
3．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，FA＝FD，
又∵EF＝EF，
∴△AEF≌△DEF（SSS），
∴∠AEF＝∠DEF，
又∵AD⊥EF，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）∵FD与BE不一定互相垂直，
∴∠FDE＝90°不成立；
（4）由（1）（2）得：∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠CAD，
又∵∠EDA＝∠B+∠FAD，∠EAD＝∠CAD+∠CAE，
∴∠B＝∠CAE．
故选：C．
4．解：∵DG是AB的垂直平分线，
∴GA＝GB，
∵△AGC的周长为31cm，
∴AG+GC+AC＝BC+AC＝31cm，又AB＝20cm，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝51cm，
故选：C．
5．解：连接OA、OB，
∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝110°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝70°，
∴∠OBC+∠OCB＝110°﹣70°＝40°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝20°，
故选：C．
6．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC＝10，
∴∠EAC＝∠C＝15°，
∴∠AEB＝30°，
∴AB＝AE＝5（cm），
故选：B．
7．解：连接OA，
∵∠BAC＝82°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣82°＝98°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴OB＝OA，OC＝OA，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠OBC+∠OCB＝98°﹣（∠OBA+∠OCA）＝16°，
∴∠OBC＝8°，
故选：A．
8．解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG＝16，
∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，
∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，
∴AC＝14，
故选：B．
9．解：如图，连接OA、OB，
∵∠BAC＝65°，
∴∠ABC+∠ACB＝115°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝65°，
∴∠OBC+∠OCB＝115°﹣65°＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝25°，
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分25分）
10．解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，
∴∠BAD+∠CAE＝85°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，
故答案为：10°
11．解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，
∵△ABC的周长为22，
∴AB+BC+AC＝22，
∴AB+AC＝14，
∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，
故答案为：14．
12．解：①如图，当∠BAC为锐角时，
∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，EC＝EA，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC，且∠DAE＝30°，
∴30°＝∠B+∠C﹣∠BAC，
即30°＝（180°﹣∠BAC）﹣∠BAC，
解得∠BAC＝75°．
②当∠BAC为钝角时，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
同理∠C＝∠EAC，
∵∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+∠DAE＝180°，
∴∠DAB+∠EAC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣75°＝105°，
故答案为：75°或105°．
13．解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BOC的平分线，
∴DE＝DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∵∠BAC＝85°，
∴∠BDC＝∠EDF＝95°，
故答案为：95°．
14．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠FAC＝∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB＝∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，
解得，∠C＝24°，
故答案为：24．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∵AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝∠BAC﹣∠B﹣∠C＝100°﹣80°＝20°；
（2）如图，当P、Q两点在线段BC上时，
∵AP⊥AQ，
∴∠PAQ＝90°，
由（1）得，∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，∠BAP+∠CAQ＝∠BAC﹣90°，
∴180°﹣∠BAC＝∠BAC﹣90°，
∴∠BAC＝135°；
当P、Q两点在BC和CB的延长线上时，
∵AP⊥AQ，
∴∠PAQ＝90°，
由（1）得，∠BAP＝∠ABC，∠CAQ＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∠BAP+∠CAQ＝∠BAC+90°，
∴180°﹣∠BAC＝∠BAC+90°，
∴∠BAC＝45°；
答：当∠BAC＝135°或45°时，AP⊥AQ；
（3）∵△APQ周长＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+QC＝BC，
∵BC＝10，
∴△APQ周长＝10．
16．解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴∠A＝∠ABD，
又∵∠ABD＝2∠CBD，
∴∠A＝∠ABD＝2∠CBD，
设∠A＝α，则∠ABD＝α，∠CBD＝α，
又∵∠C＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
即α+α+α＝90°，
解得α＝36°，
∴∠A＝36°．
17．解：（1）∵BC垂直平分AD，
∴AC＝CD，∠CAD＝∠CDA，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CDA＝∠BAD，
∴AB∥CD；
（2）结论：∠F＝∠MCD，
理由：∵∠DAC＝∠CDA，∠DAC＝∠MPC，
∴∠CDA＝∠MPC，
又∵∠CDA+∠CDM＝180°，∠MPC+∠MPF＝180°，
∴∠CDM＝∠MPF；
又∵AF平分∠BAC，AE⊥BC，AE＝AE．
∴△ACE≌△ABE（ASA），
∴AC＝AB．
又∵AF平分∠BAC，AM＝AM，
∴△ACM≌△ABM（SAS），
∴∠AMC＝∠AMB，
又∵∠AMB＝∠PMF．
∴∠AMC＝∠PMF．
又∵∠AMC+∠MCD+∠CDM＝180°，∠PMF+∠MPF+∠F＝180°，
∴∠F＝∠MCD．
18．解：（1）∵AB边的垂直平分线交直线BC于点D，垂足为点F，AC边的垂直平分线交直线BC于点E，垂足为点G，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE①，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAE+∠DAE＝180°②，∠BAD+∠CAE+∠DAE＝100°③，
①②③联立得∠DAE＝20°；
（2）∠DAE＝2|90°﹣∠BAC|
或∠DAE＝2∠BAC．（5分）
即当∠BAC≥90°时，∠DAE＝2（∠BAC﹣90°）；
当∠BAC＜90°且∠B及∠C均为锐角时，
∠DAE＝2（90°﹣∠BAC）；
当∠BAC＜90°且∠B、∠C两者之一为钝角时，
∠DAE＝2∠BAC．
证明：（I）①当∠BAC＞90°时，如图1，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∠B+∠1+∠2+∠3+∠C＝180°，
∵DF垂直平分AB，
∴DB＝DA，
∴∠B＝∠1．同理得∠C＝∠3，代入式，得：2∠B+∠2+2∠C＝180°，
∠2＝180°﹣2（∠B+∠C）＝180°﹣2（180°﹣∠BAC）＝2（∠BAC﹣90°），（7分）
即∠DAE＝2（∠BAC﹣90°）；
②当∠BAC＝90°时，如图2，此时，点D、E重合，即
∠DAE＝0°，而∠BAC﹣90°＝0°，
∴∠DAE＝2（∠BAC﹣90°）
（II）当∠BAC＜90°且∠B及∠C均为锐角时，①点D、E均在线段BC上，
如图3，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，即∠B+∠1+∠2+∠3+∠C＝180°，
∵DF垂直平分AB，∴DB＝DA，
∴∠B＝∠1+∠2，∴∠1＝∠B﹣∠2，
同理得∠3＝∠C﹣∠2，代入上式，得∠B+（∠B﹣∠2）+∠2+（∠C﹣∠2）+∠C＝180°，
整理得∠2＝2（∠B+∠C﹣90°）＝2（180°﹣∠BAC﹣90°）＝2（∠BAC﹣90°），
即∠DAE＝2（90°﹣∠BAC）；
②当点D在线段BC上，点E在线段CB的延长线上（如图4）时，
∵EG垂直平分AC，
∴EC＝EA，∠C＝∠EAC，即∠C＝∠1+∠2+∠3，
两边都加∠2，得∠C+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2，而DA＝DB，
∴∠2＝∠ABC，上式即为∠ABC+∠C＝∠DAE+∠BAC，
∴∠DAE＝∠ABC+∠C﹣∠BAC＝180°﹣∠BAC﹣∠BAC＝2（90°﹣∠BAC），
即∠DAE＝2（90°﹣∠BAC）；
③当点E在线段BC上，点D在线段BC的延长线上（如图5）时，
∵DF垂直平分AB，
∴DB＝DA，∠B＝∠BAD，即∠B＝∠1+∠2+∠3，
两边都加∠2，得∠B+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2，而EA＝EC，
∴∠2＝∠ACE，上式即为∠B+∠ACB＝∠BAC+∠DAE，
∴∠DAE＝∠B+∠ACB﹣∠BAC＝180°﹣∠BAC﹣∠BAC＝2（90°﹣∠BAC），
即∠DAE＝2（90°﹣∠BAC）；
④当点D、E分别在线段BC的延长线和反向延长线上（如图6）时，∠2+∠ABC+∠ACB＝180°，等式两边都加上∠1+∠2+∠3，得
（∠1+∠2+∠3）+∠2+∠ABC+∠ACB＝180°+（∠1+∠2+∠3），由∠1+∠2＝∠ACB，∠2+∠3＝∠ABC，∠1+∠2+∠3＝∠DAE，得2（∠ABC+∠ACB）＝180°+∠DAE，
整理得∠DAE＝2（90°﹣∠BAC）；
⑤当点D与点C重合（如图7）时，∠DAE＝∠1+∠2，两边都加上∠2，得∠DAE+∠2＝∠1+∠2+∠2，由∠2＝∠BAC＝∠ABC，∠1+∠2＝∠BCA，得∠DAE+∠BAC＝∠ACB+∠ABC，∠DAE+∠BAC＝180°﹣∠BAC，得∠DAE＝2（90°﹣∠BAC）；
⑥当点E与点B重合（如图8）时，∠DAE＝∠1+∠2，两边都加上∠1，得∠DAE+∠1＝∠1+∠2+∠1，由∠1＝∠BAC＝∠ACB，∠1+∠2＝∠ABC，得∠DAE+∠BAC＝∠ACB+∠ABC，∠DAE+∠BAC＝180°﹣∠BAC，得∠DAE＝2（90°﹣∠BAC）；
⑦当点D与C重合，点E与B重合时，如图9，由已知条件得BA＝BC，CA＝CB，从而△ABC为等边三角形，∠DAE＝∠A＝60°＝2（90°﹣60°）＝2（90°﹣∠A），即∠DAE＝2（90°﹣∠BAC）；
（III）当∠BAC＜90°且∠B或∠C之一为钝角时，①设∠ACB为钝角，如图10，
∵EG垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴∠ACE＝∠3，
又∵∠ACE＝∠B+∠BAC＝∠B+∠1+∠2，即∠3＝∠B+∠1+∠2，两边都加上∠2，
∠3+∠2＝∠B+∠1+∠2+∠2，
∵∠3+∠2＝∠DAE，∠1+∠2＝∠BAC，∠1＝∠B，代入得：∠DAE＝∠1+∠1+∠2+∠2＝2（∠1+∠2）＝2∠BAC，即∠DAE＝2∠BAC；②当点D与点C重合（∠ACB为钝角）时，如图11，
∵EA＝EC，
∴∠2＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠1+∠B＝2∠1，即∠DAE＝2∠BAC；
③当∠ABC为钝角时，如图12，
∵∠1＝∠ABD，而∠ABD＝∠2+∠3+∠C，
∴∠1＝∠2+∠3+∠C，两边都加∠2，得
∠1+∠2＝∠2+∠3+∠C+∠2，∠DAE＝∠BAC+∠BAC＝2∠BAC；
④当点E与点B重合（∠ABC为钝角）时，如图13，
∵DA＝DB，∴∠1＝∠ABD，∵∠ABD＝∠2+∠C＝2∠2，即∠DAE＝2∠BAC；（14分）
综上所述，得∠DAE＝2（∠BAC﹣90°）或∠DAE＝2（90°﹣∠BAC）或∠DAE＝2∠BAC，即∠DAE＝2|90°﹣∠BAC|或∠DAE＝2∠BAC．
19．证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC．
∴PA＝PC．
∴点P在AC的垂直平分线上．
20．解：（1）AB+BD＝DC，
证明：∵AB＝AE，AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝CE，
∴AB+BD＝AE+DE＝CE+DE＝DC；
（2）证明：∵AB＝AE，AD⊥BC，∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴2BD＝AB，
∵DC＝AB+BD＝2BD+BD＝3BD，
∴DC＝3BD．