2021-2022学年冀教版八年级数学上册16.3角的平分线 同步达标训练（Word版含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《16.3角的平分线》同步达标训练（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝1，则DE的长为（　　）
A． B．1 C．2 D．6
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　）
A．1 B． C．2 D．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC交边BC于D点．若CD＝3，则△ABD的面积为（　　）
A．15 B．30 C．10 D．20
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（　　）
A．cm B．2cm C．3cm D．4cm
5．如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（　　）
A．S1＜S2+S3 B．S1＝S2+S3
C．S1＞S2+S3 D．无法确定S1与（S2+S3）的大小
6．如图，BF、CF分别是∠DBC和∠ECB的角平分线，则关于F的说法不正确的是（　　）
A．F到△ABC三边所在直线的距离相等
B．F在∠A的平分线上
C．F到△ABC三顶点的距离相等
D．F到BD、CE的距离相等
7．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（　　）
A．70° B．120° C．125° D．130°
8．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　）
A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2
10．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（　　）
A．54° B．50° C．48° D．46°
11．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB＝5，AC＝3，DF＝2，则△ABC的面积为 　 　．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为 　 　．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，若BE＝3，△BDE的周长为11，则BC＝　 　．
14．如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE＝，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是　 　．
15．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，求AC的长．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
17．如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．
18．如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，△ABC的面积为14，求DE的长．
19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE＝FD．
20．如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．
22．在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D是线段BC上一点，以AD为腰在AD右边作等腰△ADE，AD＝AE．
（1）如图1，若AD平分∠BAC，且CD＝1，求AB的长度；
（2）如图2，当∠EDC＝∠BAD，连接BE交AC于点F，求证：BD＝2CF．
23．如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
24．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB＝AC．
求证：AD平分∠BAC．
25．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC，求证：OA⊥OC．
参考答案
1．解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，DB⊥AB，
∴DE＝DB＝1．
故选：B．
2．解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝，AC＝4，
∴，
∴，
故选：B．
3．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝3，
∴△ABD的面积＝AB DE＝×10×3＝15．
故选：A．
4．解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，
∴EC＝ED＝3cm．
故选：C．
5．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，
∴PD＝PE＝PF，
∵S1＝ AB PD，S2＝ BC PF，S3＝ AC PE，
∴S2+S3＝ （AC+BC） PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：A．
6．解：作FP⊥AE于P，FG⊥BC于G，FH⊥AD于H，
∵CF是∠BCE的平分线，
∴FP＝FG，
∵BF是∠CBD的平分线，
∴FH＝FG，
∴FP＝FH＝FG，
又FP⊥AE，FH⊥AD，
∴AF平分∠BAC，
故选：C．
7．解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×110°＝55°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
8．解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
9．解：作DH⊥BC于点H，如图：
∵BE平分∠ABC，CF⊥AB，DH⊥BC．
∴DH＝DF．
∵DF＝3cm．
∴DH＝3cm．
∵BC＝8cm．
∴△CDB的面积为：＝12cm2．
故选：A．
10．解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF＝DE，
又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，
∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，
∴CD平分∠BCF，
又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∴DF＝DG，
∴DE＝DG，
∴BD平分∠CBE，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB＝×92°＝46°，
故选：D．
11．解：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，
∴DE＝DF＝2，
∵AB＝5，AC＝3，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD
＝AB DE+AC DF
＝×5×2+×3×2
＝5+3
＝8．
故答案为：8．
12．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝3，
∴CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4．
故答案为：4．
13．解：∵△ABC中，∠C＝90°，
∴AC⊥CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵△BDE的周长为11，BE＝3，
∴△BDE的周长是：BE+BD+DE＝BE+BD+CD＝BE+BC＝3+BC＝11．
∴BC＝8，
故答案为：8．
14．解：作MH⊥OB于H，
∵M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，
∴∠AOM＝30°，又ME⊥OA，
∴EM＝＝1，
∵M是∠AOB平分线上一点，ME⊥OA，MH⊥OB，
∴MH＝ME＝1，
则MP≥1，
故答案为：MP≥1．
15．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝5，
∴9＝×5×2+×AC×2，
∴AC＝4．
16．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF和△DEB中，，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
17．证明：∵∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB，
∵PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，
∴P点在∠MON的平分线上，
∴OP平分∠MON．
18．解：过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，如图，
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，
∴DF＝DE．
∵△ABC的面积为14，
∴S△BCD+S△ACD＝14，
∴×DE×10+×DF×4＝14，
即5DE+2DE＝14，
∴DE＝2．
19．证明：连接BF，
∵F是△ABC的角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∵FM⊥AB，FN⊥BC，
∴MF＝FN，∠DNF＝∠EMF＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，
∴∠CDA＝75°，
∵∠NFC＝45°，∠MFN＝120°，
∴∠MFE＝15°，
∴∠MEF＝75°＝∠NDF，
在△DNF和△EMF中，
，
∴△DNF≌△EMF（AAS），
∴FE＝FD．
20．证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，（SAS），
∴BD＝CD．
21．（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△FCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL），
∴CF＝EB；
（2）解：AB＝AF+2BE，
理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AF+FC+BE＝AF+2BE．
22．（1）解：如图1中，过点D作DH⊥AB于H．
∴CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝1，
∴BD＝DH＝，
∴AC＝BC＝+1，
∴AB＝AC＝2+．
（2）证明：如图2中，延长BC到T，使得CT＝CB，连接AT，ET．
∵CB＝CT，AC⊥BT，
∴AB＝AT，
∴∠ABT＝∠ATB＝45°，
∵∠BAD＝∠EDC，∠ADT＝∠ABD+∠BAD，
∴∠ADE＝∠ABD＝45°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠BAT＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠TAE，
∵AB＝AT，AD＝AE，
∴△BAD≌△TAE（ASA），
∴∠ABD＝∠ATE＝45°，BD＝ET，
∴∠BTE＝∠ATB+∠ATE＝90°，
∴∠BCF＝∠BTE＝90°，
∴CF∥ET，
∵BC＝CT，
∴BF＝FE，
∴ET＝2CF，
∴BD＝2CF．
23．证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，
∵AP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，
∴PD＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵PD＝PE，PD⊥AD，PE⊥AC，
∴AP为∠MBN的平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
24．解：方法一：连接BC，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠CFB＝∠BEC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△BCF和△CBE中
∵
∴△BCF≌△CBE（AAS），
∴BF＝CE，
在△BFD和△CED中
∵，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DF＝DE，
∴AD平分∠BAC．
方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE＝AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD＝∠EAD，所以AD平分∠BAC．
25．证明：过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，
∴OB＝OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∴OE＝OD，
∴OB＝OE，
在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB＝∠AOE，
同理求出∠COD＝∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，
∴OA⊥OC．