2021-2022学年北师大版 数学七年级上册第５章一元一次方程培优训练 （Word版含答案）

四川省大邑中学初中部2021-2022学年上期七年级
北师大版一元一次方程培优训练
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 2 分 ，共计20分 ， ）
1. 下列运用等式的性质进行的变形，不正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
2. 我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如果有，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 虽然受到疫情的影响，但年我国的总量比年增长了，达到了亿元，首次突破万亿总值，是世界上唯一实现经济正增长的主要经济体．设我国年的总量为亿元，根据题意，可列出方程为( )
A.
B.
C.
D.
4. 解方程步骤如下，其中发生错误的步骤为( )
A. B.
C. D.
5. 若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值 （ ）
A. B. C. D.
6. 某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件皮衣，售价都是元，若按成本计，其中一件盈利，另一件亏本，在这次买卖中他( )
A.不赚不赔 B.赚元 C.赔元 D.赚元
7. 王涵同学在某月的日历上圈出了三个数，，，并求出了它们的和为，则这三个数在日历中的排位位置可能的是（ ）
A. B. C. D.
8. 关于的方程与有相同的解，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是( )
A. B. C. D.
10. 下列说法正确的有 个
①若, 则 ②若, 则 ③若, 则;④若, 则 ⑤若, 则 ⑥若, 则
A. B. C. D.
二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 2 分 ，共计10分 ， ）
11. 在式子：①，②，③，④，⑤中，是一元一次方程的有________（填序号）
12. 若代数式与的值相等，则________.
13. 用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，我们规定，比如，.若，则的值为________.
14. 已知，，，，，都为正数， ， ， ， ，， ，则________.
15. 设“■▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应该放“■”的个数为________．
三、 解答题 （本题共计 18 小题 ，每题 8 分 ，共计144分 ， ）
16. 解方程：
； ；
； .

17. 解方程：
； .

18. 先阅读，后解题：符号表示的绝对值为 ，表示的绝对值为，如果，那么或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程：

19. 已知数轴上的点和点之间的距离为个单位长度，点在原点左边，距离原点个单位长度，点在原点的右边．
（1）请直接写出,两点所对应的数．
（2）数轴上点以每秒个单位长度的速度出发向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度出发向左运动，在点 处追上了点，求点对应的数．
（3）已知，数轴上点从点向左出发，速度为每秒个单位长度，同时点从点向左出发，速度为每秒个单位长度，经秒后点、、（为原点）其中的一点恰好到另外两点的距离相等，求的值．

20. 一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以米分的速度从队头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为米分．
若已知队伍长米，则通讯员几分钟返回？
若已知通讯员用了分钟，则队伍长为多少米？

21. 【阅读与理解】已知关于的方程有正整数解，求整数k的值．
解： ,
因为关于的方程有正整数解，所以为正整数．
因为上为整数，所以或，解得或
【探究与应用】应用上面的解题方法，已知关于的方程有正整数解，求整数k的值．

22. 为开阔学生的视野，某校准备在五一假期组织七、八年级学生参加拓展性研学活动，七、八年级共有名学生参加活动，其中八年级人数少于人，且七年级人数不够人．经了解，该研学活动场地门票价格如表：
数量（张） 张及以上
单价（元张）
如果两个年级分别单独购买门票，一共应付元．
七、八年级各有多少名学生参加研学活动？
如果七年级有名学生因临时有事不能参加活动，那么你有几种购买方案？通过比较，你认为该如何购买门票才能最省钱？（注：年级之间人数不流动）

23. 开学前夕，某文具店用元购进种笔记本本和种笔记本本，已知种笔记本的进货单价比种笔记本的进货单价多元．
求，两种笔记本的进货单价分别是多少元？
由于笔记本畅销，文具店决定再购进这两种笔记本共本，其中种笔记本的数量不多于种笔记本数量的倍，且每种笔记本的进货单价保持不变；若种笔记本的销售单价为元，种笔记本的销售单价为元，问文具店应如何购买，才能使笔记本全部售完后，第二次销售获得的利润最大？是多少？

24. 阅读材料：对于任意有理数，，，，我们规定，．例如：； ；．按照这个规定，解决下列问题：
计算的值；
计算：当时，的值；
若，求的值．
25. 某县以来受持续干旱影响，河道来水偏少，已严重影响生产和生活用水，自来水厂推行阶梯水价，引导人们节约用水，调整后的用水价格如下：
每月用水量（吨） 单价（元吨）
不超过的部分
超过不超过的部分
超过的部分
小明家月份的用水量为吨，小明家月份的水费是多少？
小明家月份水费的均价为元吨，求小明家月份的用水量？
小明家、两个月的总用水量为吨（月份用水较少），、两个月的水费合计元，请问小明家、月份的用水量分别是多少？

26. 如图，射线上有三点，，，满足，，．点从点出发，沿方向以秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点，停止运动．
若点运动速度为秒，经过多长时间，两点相遇？
当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度；
自点运动到线段上时，分别取和的中点，，求的值．

27. 【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”．
【运用】①，②，③三个方程中，为“友好方程”的是________（填写序号）；
若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值；
若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求与的值．

28. 把个正整数，，，，，按如图方式排列成一个表.
如图，用一正方形框在表中任意框住个数，记左上角的一个数为，则另三个数用含的式子表示出来，从小到大依次是________，________，________；
当中被框住的个数之和等于时，的值为多少？
中能否框住这样的个数，它们的和等于？若能，则求出的值；若不能，则说明理由．

29. 某水果店以元/千克的价格购进一批苹果，由于销售良好，该店又再次购进同一种苹果，第二次进货价格比第一次每千克便宜，所购进苹果重量恰好是第一次购进苹果重量的倍，这样该水果店两次购进苹果共花去元．
求该水果店两次分别购买了多少千克苹果？
在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的苹果有的损耗，第二次购进的水果有的损耗，并且在销售过程中的其他费用为元，如果该水果店希望售完这些水果共获得元的利润，那么该水果店每千克售价应定为多少元？

30. 为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 套至套 套至套 套及以上
每套服装的价格 元 元 元
如果两校分别单独购买服装，一共应付元．
如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
甲、乙两校各有多少学生准备参加演出？
如果甲校有名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请为两校设计一种省钱的购买服装方案．

31. 在数轴上点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且已知，满足.
直接写出，的值：________，________；
若的中点为，则点表示的数为________；
若，两点同时以每秒个单位长度的速度向左移动，则运动几秒时，恰好有？

32. 下表中有两种移动电话计费方式：
月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费元
方式一
方式二
其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费．
已知当方式一主叫超时分钟，方式二主叫超时分钟时，两种方式共收费元．
求的值；
若每月主叫时间不超过分钟，当主叫时间为多少分钟时，两种方式收费相同？
若某月主叫时间为分钟，选择哪种方式计费更省钱？

33. 若点，在数轴上对应的数为， ，则称为点和之间的距离，记作.
已知数轴上两点，对应的数分别为和，且满足 ，点为数轴上一动点，其对应的数为.
若点到点和的距离相等，则点对应的数是________；
数轴上是否存在点，使 ？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
当点以每秒个单位长度的速度从原点向左运动时，点以每秒个单位长度向左运动，点以每秒个单位长度向左运动，若它们同时出发，几秒钟后点到点和的距离相等？
北师大版一元一次方程培优训练
参考解答
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 2 分 ，共计20分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
等式的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
2.
【答案】
B
【考点】
定义新符号
解一元一次方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
3.
【答案】
C
【考点】
由实际问题抽象出一元一次方程
【解析】
由年我国的总量年总量+增长率)，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】
解：依题意得：．
故选．
4.
【答案】
B
【考点】
解一元一次方程
【解析】
根据解一元一次方程的一般步骤来判断．注意：括号前面是负号，去掉括号，括号里的各项都变号．
【解答】
故符合题意．
故答案为：．
5.
【答案】
C
【考点】
一元一次方程的解
【解析】

【解答】
解：由，
解得.
∵ 关于的一元二次方程的解是负数，
∴ ，
∴ .
故选.
6.
【答案】
C
【考点】
一元一次方程的应用——打折销售问题
【解析】
首先利用一元一次方程求出两件皮衣的进价，然后用卖皮衣的钱数减去成本即可得出结论.
【解答】
解：设盈利的皮衣的进价为元.
根据题意，得，
解得.
设亏本的皮衣的进价为元.
根据题意，得，
解得.
(元).
故选.
7.
【答案】
C
【考点】
解一元一次方程
一元一次方程的应用——其他问题
【解析】
根据日历中的每个数都是整数且上下相邻相差是，左右相邻相差是．根据题意可列方程求解．
【解答】
解:，设最小的数是，则，解得： ，故本选项不合题意；
，设最小的数是，则，解得： ，故本选项不符合题意；
，设最小的数是，则，解得： ，故本选项符合题意；
，设最小的数是，则，解得： ，故本选项不合题意.
故选.
8.
【答案】
B
【考点】
解一元一次方程
方程的解
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
9.
【答案】
B
【考点】
一元一次方程的解
有理数的概念及分类
【解析】
首先求解 ，得到的值；再结合题意，根据的值是负整数，通过列方程并求解，即可得到答案．
【解答】
解：，
，
即，
∴ ，
∵ 关于的方程的解是负整数，
∴ ，且或，
当时，，解得，
当时，，解得，
或，
∴ 符合条件的所有整数的和是：.
故选．
10.
【答案】
D
【考点】
等式的性质
【解析】
通过代入特殊值法和等式的基本性质进行判定并作出正确的选择
【解答】
在等式的两边同时乘以，等式仍成立，及；，故①正确．
○当时，不一定成立，故②错误．
③等式两边同乘以，等式仍成立，即，故③正确．
④若则有两种可能，或，故④错误．
⑤因为，所以在等式的两边同时除以，等式仍成立，即，故⑤正确．
⑥在等式的两边同时乘以，等式仍成立，及，等式的两边同时加上同一个数，等式仍成立，即，故
⑥正确．
综上所述，正确的结论有个．
故选．
二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 2 分 ，共计10分 ）
11.
【答案】
①③⑤
【考点】
一元一次方程的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
①③⑤
12.
【答案】
【考点】
解一元一次方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
13.
【答案】
【考点】
解一元一次方程
【解析】
已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出的值．
【解答】
解：根据题意：
故答案为：
14.
【答案】
【考点】
等式的性质
分式的基本性质
列代数式求值
【解析】
根据等式的性质和分式的性质进行计算即可求得结果.
【解答】
解：将以上各式累计相乘后可得：，
∴ ，
∴ ，∴ ，
同理可得：，，，，，
∴ .
故答案为：.
15.
【答案】
【考点】
等式的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、 解答题 （本题共计 18 小题 ，每题 8 分 ，共计144分 ）
16.
【答案】
解：（）移项，得．
合并同类项，得，
系数化为，得.
（2）去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得.
（3）去分母，得，
去括号，得，
移项合并，得，系数化为，得.
（4）去分母，得，去括号，得．
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得.
【考点】
解一元一次方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）移项，得．
合并同类项，得，
系数化为，得.
（2）去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得.
（3）去分母，得，
去括号，得，
移项合并，得，系数化为，得.
（4）去分母，得，去括号，得．
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得.
17.
【答案】
解：（）由分式性质得，
去分母，得．
去括号，得，
移项，得．
合并同类项，得，
系数化为，得.
（2）由分式性质得，
去分母，得，
去括号，得
移项，得．
合并同类项，得，
系数化为，得.
【考点】
解一元一次方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）由分式性质得，
去分母，得．
去括号，得，
移项，得．
合并同类项，得，
系数化为，得.
（2）由分式性质得，
去分母，得，
去括号，得
移项，得．
合并同类项，得，
系数化为，得.
18.
【答案】
解：方程，即可得或，解得或
【考点】
绝对值
解一元一次方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：方程，即可得或，解得或
19.
【答案】
解：(1)点在原点左边，距原点个单位长度，
点表示数为，
点在原点右边，且，
点距原点为个单位长度，
点表示数为．
(2)由由题意知：，
,
解得：，
点表示的数为：．
(3)运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，
分三种情况：当点到点、距离相等，
点是线段的中点时，，则，
解得：；
点与点重合时，，则，
解得：；
当点到点、距离相等，点与点重合时，即，
则
解得：；
点是线段的中点时， 即，
则
方程无解；
当点到点、距离相等，点是线段的中点时，,
则
解得：，
综上所述，经秒或秒或秒或秒或后点、、（为原点）其中的一点恰好到另外两点的距离相等．
【考点】
数轴
一元一次方程的应用——路程问题
【解析】
本题考查数轴，一元一次方程的应用．
【解答】
解：(1)点在原点左边，距原点个单位长度，
点表示数为，
点在原点右边，且，
点距原点为个单位长度，
点表示数为．
(2)由由题意知：，
,
解得：，
点表示的数为：．
(3)运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，
分三种情况：当点到点、距离相等，
点是线段的中点时，，则，
解得：；
点与点重合时，，则，
解得：；
当点到点、距离相等，点与点重合时，即，
则
解得：；
点是线段的中点时， 即，
则
方程无解；
当点到点、距离相等，点是线段的中点时，,
则
解得：，
综上所述，经秒或秒或秒或秒或后点、、（为原点）其中的一点恰好到另外两点的距离相等．
20.
【答案】
解：（）（分钟）答：通讯员分钟返回．
（2）设队伍长为米．根据题意，得，解得答：队伍长为米．
【考点】
一元一次方程的应用——路程问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）（分钟）答：通讯员分钟返回．
（2）设队伍长为米．根据题意，得，解得答：队伍长为米．
21.
【答案】
解：因为关于的方程有正整数解，所以为正整数．因为上为整数，所以或或或解得或或或故整数上的值为或或或
【考点】
解一元一次方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为关于的方程有正整数解，所以为正整数．因为上为整数，所以或或或解得或或或故整数上的值为或或或
22.
【答案】
解：设八年级有名学生参加研学活动，则七年级有名学生参加研学活动．
依题意，得：，
解得：，
∴ ．
答：七、八年级分别有名、名学生参加研学活动．
∵ （名），（名），
∴ 有种购买方案，
方案：七、八年级分开购票，七年级购买张门票、八年级买张门票；
方案：七、八年级分开购票，七年级购买张门票、八年级购买张门票；
方案：七、八年级联合购票，购买张门票；
方案：七、八年级联合购票，购买张门票．
方案所需费用为（元）；
方案所需费用为（元）；
方案所需费用为（元）；
方案所需费用为（元）
∵ ，
∴ 七、八年级联合购票，购买张门票最省钱．
【考点】
一元一次方程的应用——打折销售问题
有理数的混合运算
【解析】
无
无
【解答】
解：设八年级有名学生参加研学活动，则七年级有名学生参加研学活动．
依题意，得：，
解得：，
∴ ．
答：七、八年级分别有名、名学生参加研学活动．
∵ （名），（名），
∴ 有种购买方案，
方案：七、八年级分开购票，七年级购买张门票、八年级买张门票；
方案：七、八年级分开购票，七年级购买张门票、八年级购买张门票；
方案：七、八年级联合购票，购买张门票；
方案：七、八年级联合购票，购买张门票．
方案所需费用为（元）；
方案所需费用为（元）；
方案所需费用为（元）；
方案所需费用为（元）
∵ ，
∴ 七、八年级联合购票，购买张门票最省钱．
23.
【答案】
解：设种笔记本的进货单价是元，则种笔记本的进货单价是元，
依题意，得，
解得，
∴ ．
答：种笔记本的进货单价是元，种笔记本的进货单价是元．
设第二批购进本种笔记本，则种笔记本购进本，依题意，得
∵ ，
∴ ，
∴ 利润，
∵ ，
∴ 随的增大而增大，
∴ 当时，有最大值，．
答：第二批购进种笔记本本时，利润最大，最大利润是元．
【考点】
一元一次方程的应用——打折销售问题
一元一次不等式的实际应用
【解析】
无
无
【解答】
解：设种笔记本的进货单价是元，则种笔记本的进货单价是元，
依题意，得，
解得，
∴ ．
答：种笔记本的进货单价是元，种笔记本的进货单价是元．
设第二批购进本种笔记本，则种笔记本购进本，依题意，得
∵ ，
∴ ，
∴ 利润，
∵ ，
∴ 随的增大而增大，
∴ 当时，有最大值，．
答：第二批购进种笔记本本时，利润最大，最大利润是元．
24.
【答案】
解：原式.
原式,
因为，所以.
由题意，，解得．
【考点】
有理数的混合运算
定义新符号
整式的加减——化简求值
解一元一次方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式.
原式,
因为，所以.
由题意，，解得．
25.
【答案】
解： （元）.
答：小明家月份的水费是元.
设小明家月份的用水量为吨，
用水量为吨时的均价为，
∵ ，
∴ .
∴ .
解得.
答：小明家月份的用水量为吨.
设小明家月份的用水量为吨，
依题意则其月份的用水量为吨.
①当时，则，
，
化简得，
解得，
这与矛盾.
②当时，则，
.当时，
，
化简得，
该方程无解.
.当时，
，
化简得，
解得，
同时满足和，
，
综上所述，小明家、月份的用水量分别为吨和吨.
【考点】
有理数的混合运算
由实际问题抽象出一元一次方程
【解析】
暂无
暂无
暂无
【解答】
解： （元）.
答：小明家月份的水费是元.
设小明家月份的用水量为吨，
用水量为吨时的均价为，
∵ ，
∴ .
∴ .
解得.
答：小明家月份的用水量为吨.
设小明家月份的用水量为吨，
依题意则其月份的用水量为吨.
①当时，则，
，
化简得，
解得，
这与矛盾.
②当时，则，
.当时，
，
化简得，
该方程无解.
.当时，
，
化简得，
解得，
同时满足和，
，
综上所述，小明家、月份的用水量分别为吨和吨.
26.
【答案】
解：设经过，，两点相遇，
∴ ，
解得：.
答：经过后，两点相遇．
设的速度为，经过后，点运动到的位置恰好是线段的中点.
点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，
∴ 点对应数轴上的，点对应数轴上的.
∵ 点运动到的位置恰好是线段的中点，
∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，
∴ 解得：或，
当时，此时，
而点到达点所需要时间为；
当时，此时，
而点到达点所需要的时间为，
综上所述，或．
设经过时，点在之间，
点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，
∴ 点对应数轴上的.
∵ 和的中点为，，
∴ 点对应数轴上的，点对应数轴上的，
∴ ，，，
∴ 原式.
【考点】
一元一次方程的应用——路程问题
两点间的距离
数轴
【解析】
（1）设经过，、两点相遇，列出方程即可求出答案．
（2）设的速度为，经过后，点运动到的位置恰好是线段的中点，点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，根据题意列出方程即可求出的值．
（3）设经过时，点在之间，点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，由于和的中点，，所以点对应数轴上的，点对应数轴上的，从而可知＝，＝，＝，代入原式即可求出答案．


【解答】
解：设经过，，两点相遇，
∴ ，
解得：.
答：经过后，两点相遇．
设的速度为，经过后，点运动到的位置恰好是线段的中点.
点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，
∴ 点对应数轴上的，点对应数轴上的.
∵ 点运动到的位置恰好是线段的中点，
∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，
∴ 解得：或，
当时，此时，
而点到达点所需要时间为；
当时，此时，
而点到达点所需要的时间为，
综上所述，或．
设经过时，点在之间，
点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，
∴ 点对应数轴上的.
∵ 和的中点为，，
∴ 点对应数轴上的，点对应数轴上的，
∴ ，，，
∴ 原式.
27.
【答案】
②
方程的解为，
∵ 关于的一元一次方程是“友好方程”，
∴ ，
解得.
∵ 方程是“友好方程”，且它的解为，
∴ ，，
解方程，
解得，即，
整理得，
解得.
由得，
∴ ，.
【考点】
一元一次方程的解
解一元一次方程
【解析】
（）求出方程的解，依次进行判断即可；
（）求出方程的解，根据“友好方程”的定义，得到
即可求出占的值；
（）根据“友好方程”的定义以及解为，得到，解方程，得到，即，通过上面两个式子整理化简即可求出和的值．
【解答】
解：①方程的解为，而，因此方程不是“友好方程”；
②方程的解为，而，因此方程是“友好方程”；
③方程的解为，而，因此方程不是“友好方程”.
故答案为：②.
方程的解为，
∵ 关于的一元一次方程是“友好方程”，
∴ ，
解得.
∵ 方程是“友好方程”，且它的解为，
∴ ，，
解方程，
解得，即，
整理得，
解得.
由得，
∴ ，.
28.
【答案】
,,
，
解得.
假设存在，则，
解得，
∵ 位于表中的第行第列的最后一个数，
∴ 不能否框住这样的个数，
∴ 不存在．
【考点】
规律型：数字的变化类
解一元一次方程
【解析】
（1）由正方形框可知，每行以为循环，所以横向相邻两个数之间相差，竖向两个数之间相差，后两问代入数值求解即可．
（2）令（1）中表示的四个数相加，求的值．
（3）令（1）中表示的四个数相加，求的值．
【解答】
解：由表可知，
三个数分别是，，.
故答案为：；；.
，
解得.
假设存在，则，
解得，
∵ 位于表中的第行第列的最后一个数，
∴ 不能否框住这样的个数，
∴ 不存在．
29.
【答案】
解：设该水果店第一次购买了千克苹果，则第二次购买了千克苹果，
依题意，得
解得：，.
答：该水果店第一次购买了千克苹果，第二次购买了千克苹果．
设该水果店每千克售价应定为元，
依题意得，
解得：.
答：该水果店每千克应定价为元．
【考点】
二元一次方程组的应用——销售问题
一元一次方程的应用——打折销售问题
【解析】
（1）该水果店第一次购买了千克苹果，则第二次购买了千克苹果，根据“购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的倍，”、“两次购进水果共花去了元“列出方程并解答；
（2）设该水果每千克售价为元，，则由“售完这些水果获利不低于元”列出不等式并解答．
【解答】
解：设该水果店第一次购买了千克苹果，则第二次购买了千克苹果，
依题意，得
解得：，.
答：该水果店第一次购买了千克苹果，第二次购买了千克苹果．
设该水果店每千克售价应定为元，
依题意得，
解得：.
答：该水果店每千克应定价为元．
30.
【答案】
解：由题意，得（元）．
答：两所学校联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省元．
设甲校人数为人， ，则乙校人数为人．
因为，
解得，，
所以甲校单独购买花费元，乙校单独购买花费元，
由题意，得，
解得，
所以乙校有（人）．
答：甲校有人准备参加演出，乙校有人准备参加演出.
因为甲校有人不能参加演出，
所以甲校有（人）参加演出．
若两校联合购买服装，则需要（元），
此时比各自购买服装可以节约（元）.
但如果两校联合购买套服装，只需（元），
此时又比联合购买每套元可节约（元），
所以最省钱的购买服装方案是两校联合购买套服装（即比实际人数多购套）．
【考点】
有理数的混合运算
由实际问题抽象出一元一次方程
一元一次方程的应用——其他问题
【解析】
（1）若甲、乙两校联合起来购买服装，则每套是元，计算出总价，即可求得比各自购买服装共可以节省多少钱；
（2）设甲、乙两所学校各有名、名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲校每套服装是元，乙校每套服装是元．根据等量关系：①共人；②两校分别单独购买服装，一共应付元，列方程组即可求解；
（3）此题中主要是应注意联合购买时，仍然达不到人，因此可以考虑买套，计算其价钱和联合购买的价钱进行比较．
【解答】
解：由题意，得（元）．
答：两所学校联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省元．
设甲校人数为人， ，则乙校人数为人．
因为，
解得，，
所以甲校单独购买花费元，乙校单独购买花费元，
由题意，得，
解得，
所以乙校有（人）．
答：甲校有人准备参加演出，乙校有人准备参加演出.
因为甲校有人不能参加演出，
所以甲校有（人）参加演出．
若两校联合购买服装，则需要（元），
此时比各自购买服装可以节约（元）.
但如果两校联合购买套服装，只需（元），
此时又比联合购买每套元可节约（元），
所以最省钱的购买服装方案是两校联合购买套服装（即比实际人数多购套）．
31.
【答案】
,
设运动秒时，恰好有，
∴ ，
解得，
即运动秒时，恰好有.
【考点】
非负数的性质：绝对值
非负数的性质：算术平方根
数轴
线段的中点
一元一次方程的应用——其他问题
动点问题
一元一次方程的应用——路程问题
【解析】
根据非负数的性质来解答即可.
根据中点的定义及数轴上两点间的距离相等来解答即可.
设出运动的时间，根据题意列出方程，解出即可.
【解答】
解：∵ ，
∴ ，，
∴ ，.
故答案为：；.
∵ ，，
设的中点表示的数为，
则，
解得，
即表示的数为.
故答案为：.
设运动秒时，恰好有，
∴ ，
解得，
即运动秒时，恰好有.
32.
【答案】
解：由题意可列方程为，
解得.
设主叫时间为分钟时，两种方式收费相同．
由题意，得，
解得.
答：当主叫时间为分钟时，两种方式收费相同．
由可知，方式一主叫超时费元，
方式二主叫超时费元，
若某月主叫时间为分钟，
则方式一收费为(元)；
方式二收费为(元)，
又，
故某月主叫时间为分钟时，选择方式一收费更省钱．
【考点】
一元一次方程的应用——其他问题
由实际问题抽象出一元一次方程
有理数的乘法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可列方程为，
解得.
设主叫时间为分钟时，两种方式收费相同．
由题意，得，
解得.
答：当主叫时间为分钟时，两种方式收费相同．
由可知，方式一主叫超时费元，
方式二主叫超时费元，
若某月主叫时间为分钟，
则方式一收费为(元)；
方式二收费为(元)，
又，
故某月主叫时间为分钟时，选择方式一收费更省钱．
33.
【答案】
存在．理由如下：
由知，，
若，
则，
解得：或，
存在，当或时，.
设秒后，
则点表示的数为，
点表示的数为，
点表示的数为.
①当点在点，之间时，
，
解得：；
②当点与点重合时，
，
解得：.
综上，或．
答：它们同时出发，秒或秒后点到点和的距离相等．
【考点】
数轴
两点间的距离
一元一次方程的应用——路程问题
【解析】
本题考查非负数的性质，新定义问题．先根据非负数性质求出，值，由，再根据新定义列出方程求解即可．
本题考查新定义问题，非负数的性质．先由非负数性质求出、值，再根据新定义，由列出方程求解即可．
本题考查新定义问题，一元一次方程的应用－路程问题．设秒后，则此时表示的数为，表示的数为 表示的数为 ，再分类讨论，列出方程．当点在、之间时，则；当点与点重合时，则，分别求解即可．
【解答】
解：，
，，
，.
,
，
解得：.
故答案为：．
存在．理由如下：
由知，，
若，
则，
解得：或，
存在，当或时，.
设秒后，
则点表示的数为，
点表示的数为，
点表示的数为.
①当点在点，之间时，
，
解得：；
②当点与点重合时，
，
解得：.
综上，或．
答：它们同时出发，秒或秒后点到点和的距离相等．试卷第2页，总2页
试卷第1页，总3页