2021—2022学年北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程单元练习题（Word版含答案）

一元二次方程单元卷
一．选择题
1．若一元二次方程x2+2x+a＝0有一根为1，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
2．一元二次方程x2+6x﹣6＝0配方后化为（　　）
A．（x+3）2＝15 B．（x﹣3）2＝15 C．（x﹣3）2＝3 D．（x+3）2＝3
3．不解方程，判断关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2017年手机支付用户约为3.56亿人，连续两年增长后，2019年手机支付用户达到约5.27亿人．如果设这两年手机支付用户的年平均增长率为x，则根据题意可以列出方程为（　　）
A．3.56（1+x）＝5.27B．3.56（1+2x）＝5.27 C．3.56（1+x2）＝5.27D．3.56（1+x）2＝5.27
5．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n＝0无实数根，则一次函数y＝（2﹣n）x+n的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第一轮后患流感的人数为（　　）
A．10 B．50 C．55 D．45
7．把方程2x（x﹣1）＝3x化成一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，5，0 B．2，5，1 C．2，﹣5，0 D．2，1，0
8．如果m、n是一元二次方程x2+x＝5的两个实数根，那么多项式2n2﹣mn﹣2m的值是（　　）
A．16 B．17 C．14 D．10
9．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，菜地就变成正方形，则原菜地的长是（　　）
A．10 B．12 C．13 D．14
10．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣3B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝1，x2＝3
二．填空题
11．若m2+3m+2＝0，n2+3n+2＝0，m≠n，则mn＝　 　．
12．如果一元二次方程9x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，那么m的值可以为　 　．（写出一个值即可）
13．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的根，则式子x12﹣2x1+x2的值为　 　．
14．在一块面积为600cm2的矩形材料的四角，各剪掉一个大小相同的正方形（剪掉的正方形作废料处理不再使用），做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为20cm，宽为高的2倍，则盒子的高为　 　cm．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　．
16．若一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数根，则k的取值范围是 　 　．
17．已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式4﹣2a2+6a的值为 　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就同时停止运动．设运动时间为t秒．当t＝　 　s时，△CPQ的面积为16cm2．
19．一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，则本次比赛共有 　 　个参赛棋手．
20．若等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2﹣22x+120＝0的两个解，则等腰△ABC底边上的高为 　 　．
三．解答题
21．解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣25＝0．（2）（x﹣5）2﹣x+5＝0．（3）x2﹣6x+2＝0（配方法）．（4）x2﹣7x+6＝0．
22．某班级的一个小组同学每两个都握手一次，共握手66次，求该小组共有多少人？
23．我们知道，32+42＝52，这是一个由三个连续正整数组成，且前两个数的平方和等于第三个数的平方的等式，是否还存在另一个“由三个连续正整数组成，且前两个数的平方和等于第三个数的平方”的等式？试说出你的理由．
24．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数且m≠1）．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
25．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．
（1）已知x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，求c的值；
（2）若一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，求证：它的倒方程也一定无解；
（3）一元二次方程ax2﹣2x+c＝0（a≠c）与它的倒方程只有一个公共解，它的倒方程只有一个解，求a和c的值．
26．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套200平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.5折销售；②不打折，送三年物业管理费．物业管理费为每平方米每月5元．请问哪种方案更优惠？
27．阅读下面的例题与解答过程：
例．解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2＝0．
设|x|＝y，则y2﹣y﹣2＝0．
解得 y1＝2，y2＝﹣1．
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2；
当y＝﹣1时，|x|＝﹣1，∴无实数解．
∴原方程的解是：x1＝2，x2＝﹣2．
在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：
（1）x2﹣2|x|＝0；
（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5＝0．
28．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P、Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P、Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2cm？
29．如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为1500平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60米，宽为40米．
（1）求通道的宽度；
（2）晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，计划种植“四季青”和“黑麦草”两种绿草，该公司种植“四季青”的单价是30元/平方米，超过50平方米后，每多出5平方米，所有“四季青”的种植单价可降低1元，但单价不低于20元/平方米，已知小区种植“四季青”的面积超过了50平方米，支付晨光园艺公司种植“四季青”的费用为2000元，求种植“四季青”的面积．
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：将x＝1代入方程可得：1+2+a＝0，∴a＝﹣3，
故选：D．
2．【解答】解：∵x2+6x﹣6＝0，∴x2+6x+9＝15，∴（x+3）2＝15，
故选：A．
3．【解答】解：∵x2+ax﹣1＝0，∴Δ＝a2﹣4×1×（﹣1）＝a2+4，
∵不论a为何值，a2+4＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
4．【解答】解：设这两年手机支付用户的年平均增长率为x，依题意，得：3.56（1+x）2＝5.27．
故选：D．
5．【解答】解：由已知得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（2n）＝16﹣8n＜0，解得：n＞2，
∵一次函数y＝（2﹣n）x+n中，k＝2﹣n＜0，b＝n＞0，∴该一次函数图象在第一、二、四象限，
故选：C．
6．【解答】解：设每轮传染中每人传染x人，
依题意，得：5+5x+x（5+5x）＝605，整理，得：x2+2x﹣120＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去），
∴5+5x＝55．
故选：C．
7．【解答】解：2x（x﹣1）＝3x，2x2﹣2x﹣3x＝0，2x2﹣5x＝0，所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣5，0，
故选：C．
8．【解答】解：∵n是一元二次方程x2+x＝5的根，∴n2+n＝5，即n2＝﹣n+5，
∵m、n是一元二次方程x2+x＝5的两个实数根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣5，
∴2n2﹣mn﹣2m＝2（﹣n+5）﹣mn﹣2m＝﹣2（m+n）﹣mn+10＝2+5+10＝17．
故选：B．
9．【解答】解：∵长减少2m，菜地就变成正方形，∴设原菜地的长为x米，则宽为（x﹣2）米，
根据题意得：x（x﹣2）＝120，解得：x＝12或x＝﹣10（舍去），
故选：B．
10．【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3＝1或2x+3＝﹣3，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣3．
故选：A．
二．填空题
11．【解答】解：∵m2+3m+2＝0，n2+3n+2＝0，∴m，n是方程x2+3x+2＝0的两根．∴mn＝2，
故答案为：2．
12．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4×9m＞0，解得m＜1，所以m可取0．
故答案为0．
13．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的根，∴x1+x2＝3，x12﹣3x1﹣1＝0，
∴x12﹣3x1＝1，∴x12﹣2x1+x2＝x12﹣3x1+x1+x2＝1+3＝4．
故答案为：4．
14．【解答】解：设盒子的高为x，则宽为2x，4x（20+2x）＝600解得：x1＝5，x2＝﹣15（舍），∴盒子的高为5cm．
故答案为：5．
15．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤，
由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1 x2＝﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
16．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数根，∴（﹣4）2﹣4k＜0，解得k＞4．
故答案为：k＞4．
17．【解答】解：∵x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，∴a2﹣3a﹣5＝0，∴a2﹣3a＝5，
∴4﹣2a2+6a＝4﹣2（a2﹣3a）＝4﹣2×5＝﹣6．
故答案为﹣6．
18．【解答】解：由运动知，AP＝4tcm，CQ＝2tcm，∵AC＝20cm，∴CP＝（20﹣4t）cm，
∵△CPQ的面积为16cm2．∴2t×（20﹣4t）＝16，解得：t＝1或t＝4，
答：当t＝1秒或4秒时，△CPQ的面积为16cm2．
故答案为：1s或4．
19．【解答】解：设本次比赛共有x个参赛棋手，
依题意得：x（x﹣1）＝45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
故答案为：10．
20．【解答】解：∵x2﹣22x+120＝0，∴（x﹣10）（x﹣12）＝0，则x﹣10＝0或x﹣12＝0，解得x＝10或x＝12，
①若等腰三角形的腰长为10，则底边长度为12，此时底边上的高为＝8；
②若等腰三角形的腰长为12，则底边长度为10，此时底边上的高为＝；
综上，等腰△ABC底边上的高为8或，故答案为：8或．
三．解答题
21．【解答】解：（1）∵（x﹣3）2﹣25＝0，∴（x﹣3）2＝25，∴x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5，解得x1＝8，x2＝﹣2；
（2）∵（x﹣5）2﹣x+5＝0，∴（x﹣5）2﹣（x﹣5）＝0，则（x﹣5）（x﹣6）＝0，∴x﹣5＝0或x﹣6＝0，∴x1＝5，x2＝6；
（3）∵x2﹣6x+2＝0，∴x2﹣6x＝﹣2，则x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，∴x﹣3＝±，∴x1＝，x2＝；
（4）∵x2﹣7x+6＝0，∴（x﹣1）（x﹣6）＝0，则x﹣1＝0或x﹣6＝0，解得x1＝1，x2＝6．
22．【解答】解：设该小组共有x人，依题意得：x（x﹣1）＝66，整理得：x2﹣x﹣132＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣11（舍去）．
答：该小组共有12人．
23．【解答】解：假定存在这样的三个数，其中中间的数为n，则有（n﹣1）2+n2＝（n+1）2，整理得n2﹣4n＝0，
∴n＝0，或n＝4，又∵n≥2，∴n＝4∴除了32+42＝52外，不存在另一个这样的等式．
24．【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（m﹣4）2﹣4（m﹣1）×（﹣3）＝m2﹣8m+16+12m﹣12＝m2+4m+4＝（m+2）2．
∵（m+2）2≥0，∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵（x+1）[（m﹣1）x﹣3]＝0，∴x1＝﹣1，，
∵方程的两个实数根都是整数，且m是正整数，∴m﹣1＝1或m﹣1＝3，∴m＝2或m＝4．
25．【解答】（1）解：x2+2x+c＝0的倒方程为cx2+2x+1＝0，把x＝2代入cx2+2x+1＝0得4c+4+1＝0，解得c＝﹣；
（2）证明：∵一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，∴Δ＝（﹣2）2﹣4ac＜0，∴ac＞1，
一元二次方程ax2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+a＝0，∵△′＝（﹣2）2﹣4ca＝4﹣4ac，而ac＞1，∴△′＜0，
∴它的倒方程也一定无解；
（3）一元二次方程ax2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+a＝0，而倒方程只有一个解，∴c＝0，则﹣2x+a＝0，解得x＝，
把x＝代入ax2﹣2x＝0得a×﹣a＝0，而a≠0，∴a＝2或a＝﹣2．
26．【解答】解：（1）设平均每次降价的百分率是x，依题意得5000（1﹣x）2＝4050，解得：x1＝10%，（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分率为10%．
（2）方案①的房款是：4050×200×0.95＝769500（元），方案②的房款是：4050×200﹣200×3×12×5＝774000（元），
∵769500＜774000
答：选方案①更优惠．
27．【解答】解：（1）原方程可化为|x|2﹣2|x|＝0，设|x|＝y，则y2﹣2y＝0．解得 y1＝0，y2＝2．
当y＝0时，|x|＝0，∴x＝0；当y＝2时，∴x＝±2；∴原方程的解是：x1＝0，x2＝﹣2，x3＝2．
（2）原方程可化为|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4＝0．设|x﹣1|＝y，则y2﹣4y+4＝0，解得 y1＝y2＝2．即|x﹣1|＝2，
∴x＝﹣1或x＝3．∴原方程的解是：x1＝﹣1，x2＝3．
28．【解答】解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5）此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，
由BP BQ＝4，得（5﹣x） 2x＝4，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x1＝1，x2＝4（舍）．
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于2，由PQ2＝BP2+BQ2，得（2）2＝（5﹣t）2+（2t）2，
解得：t1＝﹣1（舍去），t2＝3．
答：则3秒后，PQ的长度为2cm．
29．【解答】解：（1）设通道的宽度为x米．由题意（60﹣2x）（40﹣2x）＝1500，解得x＝5或45（舍弃），
答：通道的宽度为5米．
（2）设种植“四季青”的面积为y平方米．由题意：y（30﹣）＝2000，
解得y＝100，
答：种植“四季青”的面积为100平方米．