2021—2022学年第一学期期中考试试卷
高二数学
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
l.本试卷共4页,包含【选择题(l-12)填空题(笫13题-第16题,共80分)、解答题
(第17~22题,共70分).木次考试时间120分钟,满分150分考试结束后,请将答
题卡交回
2.答题前,请考生务必将自己的姓名、学校、班级,座位号、考试证号用05毫米的黑色
签字笔写在答題卡上相应的位置,并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位
置
3.答题时请用0.5毫米的黑色莶字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律
无效
4.如有作图需要,可用2B铅笔作图,并请加黑加粗,描写清楚
单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中
只有一个选项是符合题目要求
1.若倾斜角为的直线过A(2,23),B(1,a)两点,则实数a
A
3
C.3√3
D
2.抛物线y=2x2的准线方程是
A. y
3.若三条直线2x++8=0,x-y-1=0和2x-y=0交于一点,则k的值为
A.-2
4.点(1,1关于直线/:x+y+2=0对称的点的坐标为
1,-1)
D.(-3,-3)
5.已知圆E:x2-ax+y2-2y-2=0关于直线l:x-y=0对称,则a
6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线,用垂直于圆锥轴
的平面去截圆锥,得到的截面是圆;把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为
144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆r,且r与矩形ABCD的四边相切.设椭圆r在平面
直角坐标系中的方程为ab251(a>b>0),下列选项中满足题意的方程为
B
16
7过点M(2,1的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,当∠ACB最小时,直线l的
高二数学第1页共4页
方程为
A: r-y=0
B.x+y-3=0
C.x-y+3=0
D.x+y-1=0
8.已知双曲线c:-=1(a>0.b>0)的左顶点为A,右焦点为F,P为双曲线渐近线上
点,且PF⊥AF,若tan∠PAF
3
则双曲线C的离心率为
A
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在毎小题给出的选项中,有
多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分
9.下列说法正确的是
A.直线y=ax-2a(a∈R)必过定点(2,0)
B.直线y+1=3x在y轴上的截距为
C.直线x+3y+1=0的倾斜角为120°
D.过点(-23)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y+1=0
10.关于x,y的方程
=1(其中m2≠6)表示的曲线可能是()
A.焦点在y轴上的双曲线
圆心为坐标原点的圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.长轴长为42的椭圆
11.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心重心、垂心位于同一直线上这
条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在△ABC中,已知AB=AC,点B(-2,4),点
C(5,-3),且其“欧拉线”与园M:(x-5)+y2=r2相切,则
A.“欧拉线”方程为x-y+1=0
B.四M上点到“欧拉线”的最大距离为42
C.若点(x,y)在圆M上,则x+y的最小值是
D.若点(x,y)在圆M上,则x2+y2-4x+6y的取值范围是[-1137]
12.十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明,方程a2-x2=k2(k>0
k≠1,a≠0)表示椭圆,费马所依据的是椭圆的重要性质。若从椭圆上任意一点P(异
于A,B两点)向长轴AB引垂线,垂足为Q,记M
A.方程a2-x2=ky2(k>0,k≠1,a≠0)表示的椭圆的焦点落在x轴上
高二数学第2页共4页2021―2022 学年第一学期期中考试
数学参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的．
1.A 2.B 3. C 4. D 5. C 6. A 7. B 8. C．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. AD 10. BC 11. BCD 12.BD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 3 14. 10 15. 18， 7．16. 2[ ，1)
2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1
17 解：（1）因为直线 l1 的斜率 k1 = ，且 l∥l ， 2 1 2
1 a 1
所以 k2 = k1 = = ， ……3 分 2 a +1
1
解得 a = ． ……2 分
3
1
（2）因为直线 l1 的斜率 k1 = ，且 l1 ⊥ l2 ， 2
1 a 1
所以 k2 = = 2 = ， ……3 分 k1 a +1
解得 a = 3 ． ……2 分
2x + 3y +8 = 0, x = 1,
18 解：因为方程组 的解为
x y 1= 0 y = 2,
所以两条直线 2x + 3y +8 = 0和 x y 1= 0的交点坐标为 ( 1， 2)． ……3 分
若选①，可设直线 l 的方程为 2x 3y + c = 0，
点 ( 1， 2)代入方程 2x 3y + c = 0可得 c = 4 ，即 l : 2x 3y 4 = 0． ……5 分
在直线 l 上取两点 ( 1， 2)和 (2，0)，
点 ( 1， 2)关于点 (1，0)对称的点的坐标为 (3，2) ，
点 (2，0)关于点 (1，0)对称的点的坐标为 (0，0)，
所以直线m 的方程为 2x 3y = 0． ……10 分
1
( 2)
5
若选②，可得直线 l 的斜率 k = 2 = ，
0 ( 1) 2
5 1
所以直线 l 的方程为 y = x + ． ……5 分
2 2
在直线 l 上取两点 (1，3)和 ( 1， 2)，
点 ( 1， 2)关于点 (1，0)对称的点的坐标为 (3，2) ，
点 (1，3)关于点 (1，0)对称的点的坐标为 (1， 3) ，
所以直线m 的方程为5x 2y 11= 0 ． ……10 分
2 3 c a2 + b2 4 b 3
19 解：（1）因为 e = ，所以 = = ，即 = ，
3 a a 3 a 3
3
故双曲线的渐近线方程为： y = x． ……5 分
3
p
（2）因为抛物线的准线方程为： x = ，
2
3
y = x, 3 p 3
由 得 A( ， p) ， ……8
p 2 6x = ,
2
分
p 3 3
同理可得 B( ， p)，所以 AB = p ， ……10
2 6 3
分
1 p
因为 S△ = AB = 3 ， 解得 p = 2 3 . ……12 分 OAB
2 2
20 解：（1）设C(2t + 2,t)，因为 AC = BC ，
所以 (2t + 2)2 + (t 4)2 = (2t 2)2 + (t 6)2 ，解得 t =1，即C(4，1)
所以圆C 的标准方程为： (x 4)2 + (y 1)2 = 25． ……4 分
（2）解法一：以 PC 为直径的圆的方程为： (x 4)(x +1) + (y 1)y = 0 ，
(x 4)(x +1) + (y 1)y = 0，
由 得5x + y + 4 = 0，
(x 4)2 + (y 1)
2 = 25
即直线 EF 的方程为5x + y + 4 = 0． ……8 分
5 4+1+ 4 = 0 25
圆心C 到直线 EF 的距离 d = = ，
52 +12 26
25 10 10 26
所以 EF = 2 25 = = ． ……12 分
26 26 26
解法二：因为 PE = PF = PC2 CE2 = ( 1 4)2 + (0 1)2 25 =1，
所以四边形 PECF的面积 S = 2 1 PE CE = 5．
2
又因为 PC = ( 1 4)2 + (0 1)2 = 26 ， S = 1 PC EE = 5，
2
所以 EE = 10 10 10 26= = ． ……12 分
PC 26 26
21 解：（1）设椭圆C 的焦距为 2c ．
c2 y2 b2
令 x = c ，得 + =1，因为点 P在第一象限，解得 y = ，
a2 b2 a
b2 c
所以 tan POF = = e = ，所以b = c ， a = 2c．
ac a
1 b2 2 2 2因为△ POF 的面积为 c = c = ，
2 a 4 2
解得 c = 2 ， a = 2c = 2，b = c = 2 ，
x2 y2
所以椭圆C 的标准方程： + =1． ……4 分
4 2
2 2
（2）因为 kOP = ，所以可设 l : y= x + t ． 2 2
因为直线 l ∥ PO ，所以 t 0 ．
x2 y2
+ =1，
4 2
由 2 2 得 x + 2tx + t 2 = 0．
2y= x + t，
2
因为 = ( 2t)2 4(t2 2) 0，所以 2 t 2且 t 0 ． ……6 分
2
因为 AB = 12 + ( )2 8 2t2 = 12 3t2 ，
2
t 2
点 P 到直线 l 的距离 d = = t2 ， ……8 分
2 2
3
1 + ( )2
2
1 1 2
所以△ APB的面积 S = AB d = 12 3t2 t2
2 2 3
2
1 2 2 t +(4 t
2 )
= 8t2 2t4 = t2 (4 t2 )≤ = 2 ， ……10 分
2 2 2 2
当且仅当 t = 2 时等号成立，
所以△ APB的面积最大值为 2 ． ……12 分
a
22 解：（1）因为抛物线C 2 的焦点 F ( ，0) ， 1：y = ax(a 0) 1 4
抛物线C ：y2 = 4ax的焦点 F2 (a，0) ， 2
a 3a
所以 a = = 3，所以 a = 4． ……2 分
4 4
4
2 x = ， y = 4x， 2 4 4
（2）由 得
k
即 A( ， )． ……4 分
， 4 k2 y = kx ky = ，
k
16
x = ，
y2 =16x， k 2 16 16由 得 即 B( ， )． ……6 分
， 16 k 2 y = kx ky = ，
k
t 2 t 2 4 4
设 D( 1 ，t1)，所以 F
1
4 1
D = ( 1，t1)， F1A = ( 1， )． 4 k 2 k
t 2 4 4
因为 F1D∥F A，所以 (
1
1 1) ( 1)t ， 4 k 1
= 0
k 2
所以 (t1 + k)(t1k 4) = 0．
4 k 2
因为 t ，所以 t1 = k ，所以D( ， k) ． ……8 分 1 k 4
t 2 2
设 E( 2
t 16 16
，t ，所以2 ) F2E = (
2 4，t )， F B = ( 4， ) ．
16 16 2 2 k2 k
t 2 16 16
因为 F2E∥F2B ，所以 (
2 4) ( 4)t = 0，
16 k 2k 2
所以 (t2 + 4k)(t2k 16) = 0．
16
因为 t ，所以 t2 = 4k ，所以 E(k
2 ， 4k)． ……10 分 2 k
OE
因为OE = 4OD，所以 = 4． ……12 分
OD
