2021-2022学年度高二上学期数学期中测试
参考答案 2021.11
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．C 3．B 4．A 5．C 6．A 7．D 8．A
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. CD 10. AB 11．ACD 12．BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． (答案不唯一) 15． 16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(本小题满分10分)
解：（1）由题意，三个顶点坐标分别为,,，
设中点坐标为，由中点公式可得，，
即中点坐标为，又由斜率公式，可得，
所以中线所在直线的方程为，即 ----------------分
（2）由,可得,
所以上的高所在直线的斜率为，
则上的高所在直线的方程为，即. ----------------分
18．(本小题满分12分)
解：（1）设圆心坐标为，半径为，
因为圆心在直线 上，所以.
又圆与轴相切于点，所以
所以圆的圆心坐标为,则圆的方程为 ----------------分
（2）如果选择条件①，因为,
所以圆心到直线的距离 ---------------分
则,解得 --------------分
如果选择条件②，因为，
由垂径定理可知圆心到直线的距离 ----------------分
则,解得 ----------------分
如果选择条件③，因为,所以
得,又
所以圆心到直线的距离 ---------------分
则,解得 --------------分
19．(本小题满分12分)
解：（1）动点满足,所以点的轨迹是以为焦点的椭圆且，
又因为，是焦点，所以椭圆焦点在轴且，，
故动点的轨迹的标准方程为. ----------------分
（2）由（1）知，是椭圆的两个焦点，设,
在中，因为，所以，即 -------分
又，所以， ----------------分
在中，
又，所以，得点的纵坐标为 ---------------分
20．(本小题满分12分)
解：（1）由双曲线的右顶点为， ----------------分
即可得抛物线的焦点，，，
所以抛物线的方程为. ----------------分
（2）由题意可得直线的方程：，
将直线与抛物线联立，整理可得， ----------------分
设，，所以，，
， ----------------分
原点到直线的距离， ----------------分
所以. ----------------分
21．(本小题满分12分)
解：（1）∵点在上，∴，得.
∴双曲线的方程为. ----------------分
（2）过点的直线斜率显然存在， ----------------分
设的方程为：，，，
将的方程代入双曲线的方程并整理得 ----------------分
依题意，且，
所以且，又， ----------------分
因此，可得，.
----------------分
----------------分
----------------分
22． (本小题满分12分)
解：（1）由题意得：，解得
∴椭圆的方程为：； ----------------分
（2）设，，
由得： ----------------分
∵直线与椭圆相交于两点，
∴得： （） ----------------分
由韦达定理：，；
∵以为直径的圆过椭圆的右顶点， ----------------分
由于，所以
从而
即 ----------------分
或，均符合（）
当时，直线，即，所以恒过定点，
当时，直线，过定点，舍去．
综上可知：直线过定点，该定点为． ----------------分扬州市江都区2021-2022学年高二上学期期中测试
数学
2021.11
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D．
2.若直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B. C. 或 D．或
3.若抛物线上的点到焦点的距离为，则它到轴的距离是（ ）
A. B. C. D．
4.已知圆与圆相外切，则的值为（ ）
A. B. C. D．
5.已知椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A. B. C. 或 D．或
6.阿基米德是古希腊著名的数学家 物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积。已知在平面直角坐标系中，椭圆
的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）
A. B. C. D．
7.平面直角坐标系中，已知，在两坐标轴上分别有动点，且，是的中点，则长度的最小值是（ ）
A. B. C. D．
8.若双曲线:的一条渐近线被以焦点为圆心的圆所截得的弦长为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A．过两点的直线方程为
B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C．若方程表示圆，则
D．圆上有且只有三点到直线的距离都等于
10.已知双曲线，对于且，则下列四个选项中因改变而变化的
是（ ）
A．顶点坐标 B. 焦距 C. 渐近线方程 D．离心率
11.设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程是
B．当轴时，取最小值
C．若，则的最小值为
D．以线段为直径的圆与轴相切
12.某同学利用图形计算器研究教材中一问题“设点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后，进行了如图所示的作图探究：
参考该同学的探究，下列结论正确的有（ ）
A．时，点的轨迹为椭圆（不含与轴的交点）
B．时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含与轴的交点）
C．时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含与轴的交点）
D．时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线（不含与轴的交点）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.抛物线的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为__________．
14.已知双曲线的渐近线方程为，写出双曲线的一个标准方程___________.
15.已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是__________.
16.已知圆，点在抛物线上运动，过点引直线,与圆相切，切点分别为、，则的取值范围为__________.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，.
（1）设线段的中点为，求中线所在直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程.
18.已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线交于两点，_____________，求的值.
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：；
条件③：.
19.已知平面上两点，，动点满足.
（1）求动点的轨迹的标准方程；
（2）当动点满足时，求点的纵坐标.
20．已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于两点.
（1）求抛物线方程； （2）若为坐标原点，求的面积.
21.已知双曲线，点在上.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于不同的两点（均异于点），求直线的斜率之和.
22.已知椭圆的右顶点为，焦距是，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（均为常数）与椭圆相交于不同的两点（均异于点），若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，试判断直线能否过定点？若能，求出该定点坐标；若不能，也请说明理由．
试卷第1页，共3页
