郫都区 2021—2022学年度上期期中考试
高一数学
说明：1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，时间 120 分钟.
2. 所有试题均在答题卡相应的区域内作答.
第 I卷（选择题 共 60分）
一．选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是最符合题目要求的）
1．已知集合M 2,0,1 ， N 1,0,1,2 ，则M N （ ）
A． 2, 1,0,1, 2 B． 0,1 C． 2, 1,2 D． 2,2
2．下列各组函数是同一函数的是（ ）
x x 1, x 1
A． y 与 y 1 B． y x 1与 y
x 1 x, x 1
C x
3 x
． y x x 1 与 y 2x 1 D． y 与 y x
x2 1
ex 1, x 0
3．若函数 f x f ( f 1 ) x2 ，则 x, x 0
A． e2 B． e 2 C． e 4 e 2 D． e
4．利用二分法求方程 log3 x 3 x的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A． (0,1) B． (1,2) C． (2,3) D． (3, 4)
1
5．若 a 2.1 3，b 32 ， c log2 0.5，则（ ）
A．b c a B．b a c C． a c b D． a b c
12
6．已知集合 A x x N , N ，则集合 A的真子集个数为（ ）
6 x
A．32 B．16 C．15 D．31
7．若奇函数 f x 在 x 0 2时的解析式为 f x x x，则当 x 0时， f x （ ）
A． x2 x B． x2 x C． x2 x D． x2 x
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1
8．函数 y ln x 1 的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
2 1
9．设3a 4b 36，则 =（ ）a b
A．3 B．-3 C．1 D．-1
10．若 f x 是偶函数，且对任意的 x1、 x2 0,
f x1 f x2
都有 0，若 f 2 1，
x1 x2
则不等式 f x 1 1 0的解集为（ ）
A． x x 1或 3 x 0 B． x x 1或 x 3
C． x x 1或0 x 3 D． x 1 x 3
11．若函数 f (x) ln(e2x 2ex a)对 x R恒有意义，则实数 a的取值范围是 ( )
A． ( , ) B． (1, ) C． ( 1,1) D． ( , 1)
12 ．函数 lgx , x 0f (x) ，若 f a f (b) f (c) f (d ) ，且 a,b,c,d 互不相等，
x2 2x 1, x 0
则 abcd的取值范围是（ ）
A． ( ,1) B． ,0 C． 0,1 D． 0,1
第 II卷（非选择题 共 90分）
注意事项：必须使用 0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答,作图题可先用铅
笔绘出，确认后再用 0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.
二．填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13．函数 y log 2 (x 1)的定义域是___________.
3
k
14．已知函数 f (x) x3 2， f a 5,则 f a ___________.
x
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15．已知 A x | 2 x 1 ,B x | a x 2a 7 且 A B，则实数 a的范围是___________.
x2 1, x 0
16 f x f 3a 1 f 2．已知函数 x ，则不等式 (a
2 )
的解集为___________.
e , x 0
三．解答题（本题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或者演
算步骤）
17.（本小题满分 10分）
已知全集U R 2，集合 A x | 2 x 1 ,B x | x 2x 3 0 .
（1）求 A B；
（2）求如图阴影部分表示的集合.
18．（本小题满分 12分）
1 3 0 9 0.5
计算：（1 ） 4 4
2 1
( 2 e) ；
5 4
（2） 2lg 2 lg 25 22 log 22 6 ln e．
3
19．（本小题满分 12分）
f x 1 已知幂函数 的图象经过点 2, 4 .
（1）求函数 f x 的解析式；
（2）用定义证明：函数 f x 在 0, 上是减函数．
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20．（本小题满分 12分）
最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某
种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为 4200年（即：
每经过 4200年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为 a（参
考数据： lg 2 0.3）.
（1）写出该元素的存量 y与时间 x（年）的关系；
2a
（2）经检测古生物中该元素现在的存量为 ，请推算古生物距今大约多少年？
5
21．（本小题满分 12分）
已知函数 f x lg x 8 lg x 8 ．
（1）求 f x 的定义域；
（2）判断 f x 的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式 f x 1的解集．
22．（本小题满分 12分）
已知定义在 R上的偶函数 f (x)和奇函数 g(x)满足 f (x) g(x) 2 3 x .
（1）求函数 f (x)， g(x)的解析式；
（2）若函数 (x) 2 f (x) g(x) a有且仅有两个零点，求实数 a的取值范围；
（3）若 g(a) 2 3 f (a) 3 0，求实数 a的取值范围．2 2
高一半期 第 4 页 共 4 页郫都区高一半期数学参考答案
一、选择题：BDDCB DCACD DC
1
二、填空题：13． 1, 14．-1 15． 3, 2 16． ,
2
1,
三、解答题：
17 2．解：（1）由 B x | x 2x 3 0 ,得 B {x 1 x 3}， …………………2分
由 A {x 2 x 1}，得 A B x 2 x 3 …………………5分
（2）CuB x x 1或x 3 …………………7分
得阴影部分为 A CuB x 2 x 1 . …………………10分
法二：由（1）知得 A B x 2 x 3 ，B {x 1 x 3}
得C A B B x 2 x 1 …………………10分
1
2 1 2 3 218．（1）原式 1
2 e
2 1 2 1 2
2 2 1 1 e 2 . …………………4分
3
e 2 …………………6分
3
2 1
（2）原式= lg4 lg25 lg100 1 …………………11分
3 3
2 -1 1 （老师们酌情给发，不要只看答案） …………………12分
19．（1）设幂函数 f x xa， …………………2分
1
则有 f 2 2 a –2 2，即 2 a， a –2， …………………5分
4
2 1
所以， f x x 2 ； …………………6分x
（2）证明：任取 x1、 x2 0, 且 x1 x2， …………………7分
2 2
f x f x 1 1 x x x 2 1 2 x1 x2 x1 则 1 2 x2 x2 x x 2 x x 2 ， …………………10分1 2 1 2 1 2
因为 x2 x1 0，故 x2 x1 0，即 f x1 f x2 0，
所以， f x1 f x2 ， …………………11分
答案第 1页，共 3页
因此，函数 f x 在 0, 上是减函数. …………………12分
1
20．（1 4200）由半衰期的定义可知，每年古生物中该元素的存量是上一年该元素存量的 1 ，
2
x
4200
所以，该元素的存量 y与时间 x（年）的关系式为 y a 1 ， x 0 ；
2
（不写定义域扣一分） …………………5分
x x
（2 1 4200）由 a 2 a可得 1
4200 2 4
， …………………7分
2 5 2 5 10
lg 4x log 4 10 1 2lg 2
4200
x 1 2 lg 2 所以， ， 5600 . …………………11分
4200 12 10 lg 1 lg 2 lg 2
2
因此，该古生物距今大约5600年. …………………12分
x 8 021．（1）要使 f x 有意义，则 ， …………………2分
8 x 0
解得： 8 x 8． …………………3分
∴ f x 的定义域为 8,8 . …………………4分
（2） f x 为奇函数， …………………5分
证明如下：由（1）知： x 8,8 ，定义域关于原点对称 …………………6分
又 f x lg 8 x lg x 8 f x ， …………………7分
∴ f x 为奇函数，得证． …………………8分
x 8
（3）由 f x 1，得 lg lg10 …………………9分
8 x
又因为 y lg x在 R上单增
8 x
∴ 10
72
，解得 x ， …………………11分
8 x 11
x 8 0
又
8 x 0
∴不等式 f
72
x 1 的解集是 ,8 . …………………12分
11
答案第 2页，共 3页
22．（1）由偶函数 f (x)和奇函数 g(x)满足 f (x) g(x) 2 3 x
有偶函数 f (x)和奇函数 g(x)满足 f ( x) g( x) 2 3x，可得 f (x) g(x) 2 3x
可得 g(x) 2 3 x g(x) 2 3x，有 g(x) 3x 3 x ， f ( x ) 3 x 3 x
故函数 f (x)， g(x)的解析式分别为 f (x) 3 x 3 x ， g(x) 3x 3 x ；…………………4分
（2）由 (x) 2(3x 3 x ) (3x 3 x ) a 3 3x 3 x a
令 (x) 0，可化为3 32x a 3x 1 0 …………………5分
令 3x ( 0)，方程可化为3 2 a 1 0 …………………6分
由函数 y 3x 单调递增，若函数 (x)有且仅有两个零点，只需要方程3 2 a 1 0有两个
不相等的正根，记为 x1， x2 .
a2 12 0,
有 x1 x
a
2 0, 解得3 a 2 3
1
x1x 0, 2 3
故若函数 (x)有且仅有两个零点，则实数 a的取值范围为 (2 3, )；…………………8分
2 3 3
（3）由 g(a) f (a) 0
2 2
3a 3 a 2 3 3a 3 a 3得 0
2 2
变形得 3a 2 3 5 3 a 3a 3 a 0 …………………9分
2 2
令3a 3 a t t 2
t 2 3 t 5得 0
2 2
-1 t 5 2 t 5 2 3a 5解得 ，即 ， 3 a …………………10分
2 2 2
1 5 1
令u 3a u 0 ，则 2 u ，解得 u 2
u 2 2
1 a
因为 3 2，解得 log3 2 a log3 2 …………………12分2
答案第 3页，共 3页
