北师大版八年级数学上册 4.4 利用两个一次函数的图象解决问题（教案）

捕捉有效的图像信息
一次函数的应用
设计思路：
这节课是北师大版数学八年级第四章一次函数的一节数学活动课。主要是用函数的图象决策方案。目的在于：一方面通过实际生活中的问题，进一步突出函数这种数学模型应用的广泛性和有效性；另一方面使学生在解决实际问题的情景中运用所学数学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力，本章在学生已有的建立方程式的数学模型的基础上，继续重视数学与实际的联系，在建立函数这种应用更广泛的数学模型的进程中继续体现建模思想。
教学目标：
1、知识与能力目标：
初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识。
2、过程与方法目标：
（1）经历提出问题，收集和整理数据，获取信息，处理信息的过程，形成如何决策的具体方案。
（2）在利用图像探究方案的决策过程中，体会“数形结合”思想在数学应用中的重要地位。
3、情感态度与价值观：
在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
教学重点：利用函数图象解决简单的实际问题，提高数学的应用意识和能力。
教学难点：体会函数与方程的关系，发展“数形结合”的思想。
教学准备：学生学案（例题及补充习题展示）、多媒体课件
教学过程：
一、创设情境，引入课题
“数学活动一”：让学生讲述龟兔赛跑的故事，并选择适合这一内容的函数图象。
设计意图：由学生熟悉的故事引出课题，启动学生的数学学习的思维，调动学生学习的兴趣，从而由兴趣促生动机，由动机进而探索，由探索到成功，在成功的快感中延伸兴趣，使学生积极主动地投入到探索学习中去，为引出下一环节作好铺垫。
二、合作探究，学习新知
关于这个故事你能提出那些数学问题 并解答自己的问题.
“数学活动二”：让学生从图像中发现问题、提出问题、解决问题
设计理念：在传统教学中，教师是权威的向征，在具体的教学中老师总是以一种居高临下的传道者的身份出现，老师讲，学生学。而在本问题情景中所设计的“生生互动”，更利于激发学生的探索欲望，在学生充分研讨的基础上，获得更多的数学知识。
三、熟练性质，应用练习
例 一列慢车从甲地驶往乙地，同时一列快车从乙地驶往甲地，如图所示，图中的线段y1 、y2分别表示两车离甲地的距离y(km)与所用时间t(h)的关系。结合图象回答问题:
（1）图中y1和y2表示快车的图象是 ; 甲、乙两地的距离 。
（2）由点C、A位置可知，当t=0时， y1 = ; y2= .
（3）由点E位置可知，当t= 时， y1 = ; y2= .点E表示的实际意义为 .
（4）由点D位置可知，当t= 时， y1 = ; 点D表示的实际意义为 .
（5）由点B位置可知，点B表示的实际意义为 .
“数学活动三”：本活动为这节课的重点和难点。学生独立思考回答问题，进一步体会特殊点的实际意义，解决实际问题。
设计理念：这个环节主要是应用本节课所学的知识以及所积累形成的学习经验和体验解决问题的过程，即课堂巩固训练。教学中设计了问题串，由简到难，逐层深入突破难点。要求学生能使用正确的数学语言发表自己的观点。
四、回顾所学，知识小结
解答图像信息题主要运用数形结合思想,化图像信息为数字信息.
主要步骤如下:
(1)了解横、纵轴的意义.
(2)从图像形状上判定函数类型.
(3)抓住特殊点的实际意义,由图像上的特殊点获取解题信息.
(4)通过方程,函数等数学模型化实际问题为数学问题.
“数学活动四”：通过前面的活动引导学生总结出解答图像信息题时所用到的数学思想及方法步骤。
设计理念：在“解决问题”中明确规定通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。
五、教师检测，强化重点
一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为t(h)，两车之间的距离为d(km)，图中的折线表示d与t之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）请解释图中A、B、C、D点的实际意义；
即 甲、乙两地的距离为 km；
（2）慢车和快车的速度和 ；
（3）求慢车的速度 ；
（4）求快车的速度 ；
（5）写出DC所在直线的函数解析式.
“数学活动五”：由上面两个题目的分析，学生已经学会从图像中获取相关信息及对信息进行处理。
设计理念：学生在独立思考的基础上，进行合作交流。老师可在学生分工合作交流的过程中参与到学生的学习之中并作适时的指导，鼓励学生充分的交流，表白自己的见解。同时要求学生学会聆听，培养学生的合作意识。
作业布置：
《龟兔赛跑》故事新编，并用适当的函数图像表示出来
设计理念：结合学生的实际情况，贯彻面向全体学生因材施教的原则，使学困生在解决问题的同时获得成功的喜悦，提高信心。使中等在知识上得以掌握。优秀生不仅掌握了知识，从思维能力，表达能力等多方面得到提高。
板书设计
一次函数的应用
现实问题 数学问题(模型) 数学问题的解 现实问题的解。
教学反思：
函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，是初中阶段数学学习的一个重要内容．在本节教学设计中，进一步体现了“问题情境——建立数学模型——应用与拓展”的模式．让学生从实际问题中抽象出函数及一次函数的概念、图象、性质，进而利用一次函数及其图象解决有关现实问题．
优点：
本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上，对有关知识进行应用和拓展．在教学过程中，教师应通过寓言故事之一问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动．在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决实际问题的能力．
在教学活动中教师尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，关注学生对图象的识图能力和解决问题的过程，关注学生对基本知识技能的掌握情况和对一次函数与方程之间的关系的理解．教学过程中通过学生对五个教学活动的探究情况和学生对反馈练习的完成情况分析学生的认识状况。对于学生的回答，只要学生的方法有道理，就给予鼓励和恰当的评价，帮助学生认识自我，建立自信，真正在教学的过程中发挥评价的教育功能.
缺点：
学生活动的时间还不够充分，应该分层次让尽可能多的同学都能在课堂中进行展示。另外，最后一道习题选得稍有难度，由于课堂时间的影响，部分学生可能没有理解，需要在辅导课上加强。
今后需要努力的地方：
继续加强基本功的训练，在现代化教学方面应该多学、多看。
终点
路程(米)
时间(分)
起点 0
乌龟
兔子
时间(分)
起点 0
终点
路程(米)
时间(分)
起点 0
终点
路程(米)
时间(分)
起点 0
终点
路程(米)
时间(分)
起点 0
终点 1200
路程(米)
20
60
40
70
小树800
A
B
C
D
2
4
6
8
10
12
300
450
600
750
900
时间（小时）
距离（千米）
150
E
y1
y2
O
900
t/h
A
d /km
12
4
B
C
D