2020-2021学年安徽省淮南市田家庵区洞山学校九年级（上）第二次月考数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年安徽省淮南市田家庵区洞山学校九年级第一学期第二次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知关于x的方程x2+x﹣a＝0的一个根为2，则另一个根是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
3．对于抛物线y＝（x+3）2﹣1，有下列说法：①顶点坐标为（3，﹣1）；②开口方向向上；③当x＞﹣3时，y随x的增大减小；④与x轴有两个不同交点，其中说法正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE＝1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF＝（　　）
A． B． C．5 D．2
5．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　　）
A．（1+x）2＝ B．（1+x）2＝
C．1+2x＝ D．1+2x＝
6．抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（　　）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD
8．已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD的距离是（　　）
A．1 B．7 C．1或7 D．无法确定
9．已知抛物线与直线y2＝2x+2相交，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣1 B．x＜0 C．﹣1＜x＜0 D．x＞0或x＜﹣1
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为CD中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向点E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，S关于t的函数图象为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，将直角坐标系中的△ABO绕点O旋转90°得到△CDO，则点D的坐标是　 　．
12．如图，AB为直径，∠BED＝40°，则∠ACD＝　 　度．
13．在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　 　米．
14．对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于2﹣n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝ax2+x﹣1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则a的取值范围是 　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解一元二次方程：x2﹣4x+2＝0．
16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△A1B1C1；
（2）△A1B1C1和△DEF组成的图形是中心对称图形吗？如果是，请直接写出对称中心点的坐标．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知抛物线的对称轴是直线x＝3，且在x轴上所截得的线段AB的长等于4，与y轴交于点P（0，6），求此抛物线的解析式．
18．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；
（2）若AB＝24，CD＝8，求⊙O的半径长．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分
19．新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”．
（1）试判断二次函数y＝2x2﹣5x﹣7的图象是否为“定点抛物线”？
（2）若定点抛物线y＝x2﹣mx+2﹣k与x轴只有一个公共点，求k的值．
20．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元） x
销售量y（件） 　 　
销售玩具获得利润w（元） 　 　
（2）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？
六、（本题满分12分）
21．如图，E是△ABC的内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D．
（1）BD与DE相等吗？为什么？
（2）若∠BAC＝90°，DE＝2，求△ABC外接圆的半径．
七、（本题满分12分）
22．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA＝，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为 　 　，正方形ABCD的边长为 　 　．
（变式猜想）（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．
（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：
如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为 　 　．
八、（本题满分14分）
23．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），（﹣2，0），与y轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，连结PA、PB．设△PAB的面积为S．点P的横坐标为m．
①试求S关于m的函数关系式；
②请说明当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：A．
2．已知关于x的方程x2+x﹣a＝0的一个根为2，则另一个根是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t＝﹣1，然后解一元一次方程即可．
解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t＝﹣1，解得t＝﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
故选：A．
3．对于抛物线y＝（x+3）2﹣1，有下列说法：①顶点坐标为（3，﹣1）；②开口方向向上；③当x＞﹣3时，y随x的增大减小；④与x轴有两个不同交点，其中说法正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据函数的表达式和函数的性质逐个求解即可．
解：①由函数表达式知，抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣1），故①错误，不符合题意；
②a＝1＞0，故抛物线开口方向向上，故②正确，符合题意；
③函数的对称轴为x＝3，抛物线开口向上，故当x＞﹣3时，y随x的增大增大，故③错误，不符合题意；
④令y＝（x+3）2﹣1＝0，解得x＝﹣2或﹣4，故抛物线与x轴有两个不同交点，故④正确，符合题意；
故选：B．
4．如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE＝1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF＝（　　）
A． B． C．5 D．2
【分析】根据旋转变换的性质求出FC、CE，根据勾股定理计算即可．
解：由旋转变换的性质可知，△ADE≌△ABF，
∴∠ABF＝∠D＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠ABC＝180°，
∴C，B，F共线，
根据题意得：BC＝5，BF＝DE＝1，
∴FC＝6，CE＝4，
∴EF＝＝＝2．
故选：D．
5．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　　）
A．（1+x）2＝ B．（1+x）2＝
C．1+2x＝ D．1+2x＝
【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x．
解：假设股票的原价是1，设平均每天涨x．
则90%（1+x）2＝1，
即（1+x）2＝，
故选：B．
6．抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（　　）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
解：因为y＝x2+6x+7＝（x+3）2﹣2．
所以将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线y＝x2+6x+7．
故选：A．
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD
【分析】由圆周角定理和角平分线得出∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，由等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠OBC，得出∠DBC＝∠OCB，证出OC∥BD，选项A成立；
由平行线的性质得出AD⊥OC，选项B成立；
由垂径定理得出AF＝FD，选项D成立；
△CEF和△BED中，没有相等的边，△CEF与△BED不全等，选项C不成立，即可得出答案．
解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，
∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，
∴AD⊥BD，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD，选项A成立；
∴AD⊥OC，选项B成立；
∴AF＝FD，选项D成立；
∵△CEF和△BED中，没有相等的边，
∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；
故选：C．
8．已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD的距离是（　　）
A．1 B．7 C．1或7 D．无法确定
【分析】由于弦AB、CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB＝6，CD＝8，
∴CE＝4，AF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴由勾股定理得：EO＝＝3，OF＝＝4，
∴EF＝OF﹣OE＝1；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接OA，OC，
EF＝OF+OE＝7，
所以AB与CD之间的距离是1或7．
故选：C．
9．已知抛物线与直线y2＝2x+2相交，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣1 B．x＜0 C．﹣1＜x＜0 D．x＞0或x＜﹣1
【分析】联立两函数解析式求交点坐标，画出函数的大致图象，根据函数图象写出抛物线直线上方部分的x的取值范围即可．
解：联立与y2＝2x+2并解得：，
∴两个函数的交点坐标分别是（﹣1，0），（0，2）；
函数的大致图象如下图所示，
由图可知，﹣1＜x＜0时，y1＞y2．
由图可知，﹣1＜x＜0时，y1＞y2．
故选：C．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为CD中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向点E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，S关于t的函数图象为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用等高模型搞清楚△EMN，△EBM，△EAB之间的关系即可解决问题．
【解答】
解：连MB
由勾股定理AE＝BE＝4
已知，AM＝t，EN＝t，ME＝NB＝4﹣t
∵
∴
∵
∴
∴
∵a＝﹣0
∴当t＝2时，S的最大值为4
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，将直角坐标系中的△ABO绕点O旋转90°得到△CDO，则点D的坐标是　（﹣2，3）　．
【分析】根据旋转的性质及直角三角形的性质解答．
解：由图易知DC＝AB＝2，CO＝AO＝3，∠OCD＝∠OAB＝90°，
∵点A在第二象限，
∴点D的坐标是（﹣2，3）．
12．如图，AB为直径，∠BED＝40°，则∠ACD＝　50　度．
【分析】连接OD，由∠BED的度数，推出∠BOD的度数，然后由邻补角的性质即可推出∠AOD的度数，最后根据圆周角定理即可推出∠ACD的度数．
解：连接OD，
∵∠BED＝40°，
∴∠BOD＝80°，
∵AB为直径，
∴∠AOB＝180°，
∴∠AOD＝100°，
∴∠ACD＝50°．
故答案为50．
13．在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　10　米．
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故答案为：10．
14．对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于2﹣n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝ax2+x﹣1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则a的取值范围是 　a＞1　．
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，判别式大于0可确定a的取值范围，再根据抛物线开口方向不同分两种情况讨论a的取值范围即可得结论．
解：根据题意，可得
两个相异的二合点x1，x2是方程
an2+n﹣1＝2﹣n的两个根，
整理，得
an2+2n﹣3＝0，
Δ＞0，
即4+12a＞0，解得a＞﹣．
①当a＞0时，抛物线开口向上，
∵x1＜x2＜1，
当x＝1时，y＞0，
即a+2﹣3＞0，解得a＞1．
所以a＞1．
②当a＜0时，抛物线开口向下，
当x＝1时，y＜0，
即a+2﹣3＜0，解得a＜1，
所以﹣＜a＜0．
此时并不能确保x1＜x2＜1，也可能1＜x1＜x2，不符合题意，
综上所述：a＞1．
故答案为a＞1．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解一元二次方程：x2﹣4x+2＝0．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
解：∵x2﹣4x+2＝0，
∴x2﹣4x＝﹣2，
∴x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△A1B1C1；
（2）△A1B1C1和△DEF组成的图形是中心对称图形吗？如果是，请直接写出对称中心点的坐标．
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△A1B1C1；
（2）根据中心对称的性质可以判断△A1B1C1和△DEF组成的图形是中心对称图形，进而可得对称中心点的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）△A1B1C1和△DEF组成的图形是中心对称图形，
对称中心点G的坐标为（﹣1，3）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知抛物线的对称轴是直线x＝3，且在x轴上所截得的线段AB的长等于4，与y轴交于点P（0，6），求此抛物线的解析式．
【分析】设A在左边，根据抛物线的对称性可得出A的坐标为（1，0），B的坐标为（5，0），从而设出抛物线的交点式，将P点坐标代入可得出抛物线的解析式．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
又∵在x轴上所截得的线段AB的长为4，设A在左边，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），
将点P（0，6）代入可得：6＝a（0﹣1）（0﹣5），
解得：a＝，
故抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣x+6．
18．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；
（2）若AB＝24，CD＝8，求⊙O的半径长．
【分析】（1）根据垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠BOD＝∠AOD＝60°，然后根据圆周角定理得到∠DEB的度数；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣8，根据垂径定理得到AC＝BC＝12，然后利用勾股定理得到（r﹣8）2+122＝r2，再解方程即可．
解：（1）∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠BOD＝∠AOD＝52°，
∴∠DEB＝∠BOD＝×52°＝26°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣8，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×24＝12，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r﹣8）2+122＝r2，
解得：r＝13，
即⊙O的半径长为13．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分
19．新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”．
（1）试判断二次函数y＝2x2﹣5x﹣7的图象是否为“定点抛物线”？
（2）若定点抛物线y＝x2﹣mx+2﹣k与x轴只有一个公共点，求k的值．
【分析】（1）把x＝﹣1代入y＝2x2﹣5x﹣7求解．
（2）把（﹣1，0）代入y＝x2﹣mx+2﹣k可得k与m的关系，抛物线与x轴只有一个交点式，顶点落在x轴上，从而可得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，进而求解．
解：（1）把x＝﹣1代入y＝2x2﹣5x﹣7得y＝2+5﹣7＝0，
∴抛物线经过点（﹣1，0），是“定点抛物线”．
（2）把（﹣1，0）代入y＝x2﹣mx+2﹣k得0＝1+m+2﹣k，
整理得m＝k﹣3，
∴y＝x2﹣（k﹣3）x+2﹣k，
当抛物线与x轴只有一个交点时，（﹣1，0）为抛物线顶点，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝＝﹣1，
∴k＝1．
20．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元） x
销售量y（件） 　1000﹣10x　
销售玩具获得利润w（元） 　﹣10x2+1300x﹣30000　
（2）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？
【分析】（1）根据销售量y＝600﹣20（x﹣40）÷2，再根据利润＝销售量×每件的利润，即可解决问题．
（2）首先根据题意确定自变的取值范围，再根据二次函数的性质，即可解决问题．
解：（1）y＝600﹣20（x﹣40）÷2＝1000﹣10x，
w＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000．
故答案为1000﹣10x，﹣10x2+1300x﹣30000．
（2）w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，
1000﹣10x≥400，
∴44≤x≤60，此时y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，最大利润为：12000元．
六、（本题满分12分）
21．如图，E是△ABC的内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D．
（1）BD与DE相等吗？为什么？
（2）若∠BAC＝90°，DE＝2，求△ABC外接圆的半径．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，于是得到∠DBC＝∠CAD，根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）连接CD，根据圆周角定理得到BC是直径，根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）DE＝DB．
理由：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴，
∴∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAE，
∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB；
（2）连接CD，如图所示：由（1）得：，
∴CD＝BD＝DE＝2，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∴△ABC外接圆的半径：r＝．
七、（本题满分12分）
22．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA＝，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为 　2　，正方形ABCD的边长为 　　．
（变式猜想）（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．
（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：
如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为 　　．
【分析】（1）由旋转的性质得BP＝BP′＝3，P′C＝PA＝，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB＝135°，则△BPP′为等腰直角三角形，再由勾股定理得PC＝2，过点A作AE⊥BP交BP的延长线于E，则△AEP是等腰直角三角形，得AE＝PE＝1，得BE＝4，然后由勾股定理即可求解；
（2）由旋转的性质得△BPP′是等边三角形，则PP′＝BP＝4，∠BPP′＝60°，AP＝3，AP′＝PC＝5，再由勾股定理得逆定理得△APP′为直角三角形，即可求解；
（3）由旋转的性质得AK＝AD＝3，CK＝BD，∠KAD＝90°，则△DAK是等腰直角三角形，得DK＝3，∠ADK＝45°，再证∠CDK＝90°，即可解决问题．
解：（1）∵△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，
∴BP＝BP′＝3，P′C＝PA＝，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB＝135°，
∴△BPP′为等腰直角三角形，
∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB＝3，
∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，
在Rt△PP′C中，由勾股定理得：PC＝＝＝2，
过点A作AE⊥BP交BP的延长线于E，如图1所示：
∵∠APB＝135°，
∴∠APE＝180°﹣135°＝45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴AE＝PE＝PA＝×＝1，
∴BE＝PB+PE＝3+1＝4，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
故答案为：2，；
（2）∠APB的度数为150°，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，如图2所示：
则△BPP′是等边三角形，
∴PP′＝BP＝4，∠BPP′＝60°，
∵AP＝3，AP′＝PC＝5，
∴P'P2+AP2＝AP'2，
∴△APP′为直角三角形，
∴∠APP′＝90°，
∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝90°+60°＝150°；
（3）∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，
∴△BAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC，
将△ABD绕点A顺时针旋转90°，得到△ACK，连接DK，如图3所示：
由旋转的性质得：AK＝AD＝3，CK＝BD，∠KAD＝90°，
∴△DAK是等腰直角三角形，
∴DK＝AD＝3，∠ADK＝45°，
∴∠CDK＝∠ADC+∠ADK＝45°+45°＝90°，
∴△CDK是直角三角形，
∴CK＝＝＝，
∴BD＝，
故答案为：．
八、（本题满分14分）
23．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），（﹣2，0），与y轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，连结PA、PB．设△PAB的面积为S．点P的横坐标为m．
①试求S关于m的函数关系式；
②请说明当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
【分析】（1）通过待定系数法求函数解析式．
（2）①过点P作直线垂直于x轴交AB于点D，交x轴于点E，作AF⊥PE于点F，通过S△PAB＝S△PAD+S△PBD可得S＝3PD，进而求解．②将①中含m的代数式配方求解．
解：（1）将（6，0），（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+6得，
解得，
∴y＝﹣2+2x+6．
（2）①如图，过点P作直线垂直于x轴交AB于点D，交x轴于点E，作AF⊥PE于点F，
则S△PAB＝S△PAD+S△PBD＝PD AF+PD BE＝（xB﹣xA） PD＝3PD，
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+6得y＝6，
∴点A坐标为（0，6），
设直线AB为y＝kx+b，把（0，6），（6，0）代入y＝kx+b得，
解得．
∴y＝﹣x+6，
∵点P横坐标为m，
∴点P坐标为（m，﹣m2+2m+6），点D坐标为（m，﹣m+6），
∴PD＝﹣m2+2m+6﹣（﹣m+6）＝﹣m2+3m．
∴S＝3PD＝﹣m2+9m．
②∵S＝﹣m2+9m＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，S有最大值为．