2021-2022学年上海市第三女子中学高三（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年上海市第三女子中学高三（上）期中数学试卷
一、填空题
1．已知z∈C，且满足＝i，求z＝　 　．
2．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b＝　 　．
3．已知函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2x，则f（﹣1）＝　 　．
4．已知球的表面积为16π，则该球的体积为　 　．
5．在（x+）6的二项展开式中，常数项是 　 　.（结果用数值表示）
6．一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球．这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是　 　．
7．已知向量，，若向量∥，则实数m＝　 　．
8．数列{an}前n项和Sn＝n2+n+1，则an＝　 　．
9．若无穷等比数列{an}满足：a2a3＝a4，a5＝，（n∈N*），则数列{a2n﹣1}的所有项的和为　 　．
10．已知函数f（x）＝满足对任意的x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是　 　．
11．已知函数f（x）＝（x2+8x+15）（ax2+bx+c）（a，b，c∈R）是偶函数，若方程ax2+bx+c＝1在区间[1，2]上有解，则实数a的取值范围是　 　．
12．正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为　 　．
二、选择题
13．已知x∈R，则“x≠1”是“x2﹣4x+3≠0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则（　　）
A．b＝2，c＝3 B．b＝2，c＝﹣1 C．b＝﹣2，c＝﹣1 D．b＝﹣2，c＝3
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，an+1＝2Sn，则下列关于{an}的论断中正确的是（　　）
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．可能是等差数列，但不会是等比数列
D．可能是等比数列，但不会是等差数列
16．若不等式（|x﹣a|﹣b）sin（πx+）≤0对x∈[﹣1，1]恒成立，则a+b的值等于（　　）
A． B． C．1 D．2
三、解答题
17．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝4，点M是棱C1D1上的动点．
（1）求三棱锥D﹣A1B1M的体积；
（2）当点M是棱C1D1上的中点时，求直线AB与平面DA1M所成的角（结果用反三角函数值表示）．
18．已知函数f（x）＝．
（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝，a＝4，b+c＝5，求△ABC的面积．
19．定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数f（x）＝ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）＝﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；
（2）若f（x）＝2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝an+2n﹣1，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn；
（3）设，Rn是数列{cn}的前n项和，若对任意n∈N*均有Rn＜λ恒成立，求λ的最小值．
21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，an}，n∈N*，集合A中的元素个数记为d（A），定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A的个数记为d（A+A），当时，称集合A具有性质Γ．
（1）设集合M＝{1，x，y}具有性质Γ，判断集合M中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；
（2）设正数列{dn}的前n项和为Sn，满足，其中，数列{dn}中的前2020项：d1，d2，d3，…，d2020组成的集合{d1，d2，d3，…，d2020}记作D，将集合D+D中的所有元素t1，t2，t3，…，tk（k∈N*）从小到大排序，即t1，t2，t3，…，tk满足t1＜t2＜t3＜…＜tk，求t2020；
（3）已知集合C＝{c1，c2，…，cn}，其中数列{cn}是等比数列，cn＞0，且公比是有理数，判断集合C是否具有性质Γ，说明理由．
参考答案
一、填空题
1．已知z∈C，且满足＝i，求z＝　5﹣i　．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．
故答案为：5﹣i．
2．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b＝　2　．
【分析】根据增广矩阵的定义得到是方程组的解，解方程组即可．
解：由题意知是方程组的解，
即，
则a+b＝1+1＝2，
故答案为：2．
3．已知函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2x，则f（﹣1）＝　　．
【分析】根据函数与反函数点关于y＝x对称，代入求出．
解：把y＝﹣1代入反函数f﹣1（x）＝log2x＝﹣1，
故x＝，
故答案为：．
4．已知球的表面积为16π，则该球的体积为　　．
【分析】通过球的表面积求出球的半径，然后求出球的体积
解：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2，
所以这个球的体积为：＝．
故答案为：．
5．在（x+）6的二项展开式中，常数项是 　60　.（结果用数值表示）
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得常数项的值．
解：∵（x+）6的二项展开式的通项公式为Tr+1＝ 2r x6﹣3r，
令6﹣3r＝0，求得r＝2，可得展开式的常数项等于 ×4＝60，
故答案为：60．
6．一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球．这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是　　．
【分析】设事件A表示“任意抽取2个球，所抽的球都是红色球”，则事件A包含的基本事件个数为，而基本事件的总数为，代入古典概型的概率公式即可．
解：依题意，设事件A表示“任意抽取2个球，所抽的球都是红色球”，
则事件A包含的基本事件个数为＝6，
而基本事件的总数为＝15，
所以P（A）＝＝，
故答案为：．
7．已知向量，，若向量∥，则实数m＝　　．
【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出m的值．
解：向量，，
则﹣2＝（1﹣2m，8），
又∥，
则﹣3（1﹣2m）﹣8m＝0，
解得m＝﹣．
故答案为：﹣．
8．数列{an}前n项和Sn＝n2+n+1，则an＝　　．
【分析】利用当n＝1时，a1＝S1．当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1即可得出．
解：当n＝1时，a1＝S1＝1+1+1＝3．
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]＝2n．
∴an＝．
故答案为：．
9．若无穷等比数列{an}满足：a2a3＝a4，a5＝，（n∈N*），则数列{a2n﹣1}的所有项的和为　　．
【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，结合题意可得，解可得a1与q的值，进而可得数列{a2n﹣1}的首项为a1＝1，其公比为q2＝，由等比数列前n项和公式分析可得答案．
解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若a2a3＝a4，a5＝，则有，
解可得a1＝1，q＝，
则数列{a2n﹣1}的首项为a1＝1，其公比为q2＝，
则数列{a2n﹣1}的所有项的和S＝＝；
故答案为：．
10．已知函数f（x）＝满足对任意的x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是　（0，]　．
【分析】由已知可得：函数f（x）＝在R上为减函数，进而，解得a的取值范围．
解：对任意的x1≠x2，都有＜0成立，
则函数f（x）＝在R上为减函数，
∴，
解得a∈（0，]，
故答案为：（0，]
11．已知函数f（x）＝（x2+8x+15）（ax2+bx+c）（a，b，c∈R）是偶函数，若方程ax2+bx+c＝1在区间[1，2]上有解，则实数a的取值范围是　　．
【分析】由f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，可知，3，5是ax2+bx+c＝0的两个根，根据方程的根与系数关系可求得a，b，c的关系，然后结合二次函数的性质可求a的范围．
解：∵f（x）＝（x2+8x+15）（ax2+bx+c）是偶函数，图象关于y轴对称，
令x2+8x+15＝0可得，x＝﹣3或x＝﹣5，
根据偶函数图象的对称性可知，3，5是ax2+bx+c＝0的两个根，
，
∴，
由ax2+bx+c＝1可得，ax2﹣8ax+15a＝1，
∵x∈[1，2]时，x2﹣8x+15∈[3，8]，
∴a＝
故答案为：．
12．正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为　﹣7　．
【分析】建立坐标系，根据，求出P点坐标，设出M，N坐标分别为（a，﹣2），（﹣a，2），将转化为关于a，λ的函数，即可得到其最小值．
解：如图，以O为坐标原点，以过O且平行于AB的直线为x轴，以过O且垂直于AB的直线为y轴建立坐标系，
则B（2，﹣2），C（2，2），
∴2＝+（1﹣λ）＝λ（2，﹣2）+（1﹣λ）（2，2）＝（2，2﹣4λ），∴＝（1，1﹣2λ）
即P点坐标为（1，1﹣2λ），
设M（a，﹣2），则N（﹣a，2），﹣2≤a≤2，
∴＝（a﹣1，2λ﹣3），＝（﹣a﹣1，2λ+1）
∴＝（a﹣1）（﹣a﹣1）+（2λ﹣3）（2λ+1）＝1﹣a2+4λ2﹣4λ﹣3，
当a＝±2且λ＝﹣＝时，有最小值﹣7．
故答案为：﹣7．
二、选择题
13．已知x∈R，则“x≠1”是“x2﹣4x+3≠0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：由x2﹣4x+3≠0得（x﹣1）（x﹣3）≠0，
得x≠1且x≠3，
即“x≠1”是“x2﹣4x+3≠0”的必要不充分条件，
故选：B．
14．若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则（　　）
A．b＝2，c＝3 B．b＝2，c＝﹣1 C．b＝﹣2，c＝﹣1 D．b＝﹣2，c＝3
【分析】利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．
解：∵1﹣i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，
∴1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，
∴，解得b＝﹣2，c＝3．
故选：D．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，an+1＝2Sn，则下列关于{an}的论断中正确的是（　　）
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．可能是等差数列，但不会是等比数列
D．可能是等比数列，但不会是等差数列
【分析】由题设条件可得Sn+1＝3Sn，分类讨论即可得出结论．
解：由an+1＝2Sn，得Sn+1﹣Sn＝2Sn，即Sn+1＝3Sn，
当S1＝0时，数列{an}为等差数列；
当S1≠0时，数列{Sn}为以S1为首项，3为公比的等比数列，
∴，则an＝2S1 3n﹣2（n≥2），
综上，数列{an}可能是等差数列，但不会是等比数列．
故选：C．
16．若不等式（|x﹣a|﹣b）sin（πx+）≤0对x∈[﹣1，1]恒成立，则a+b的值等于（　　）
A． B． C．1 D．2
【分析】设f（x）＝|x﹣a|﹣b，得出f（x）的符号变化情况，根据f（x）的单调性和对称性即可得出a，b的值．
解：当﹣1≤x≤﹣或≤x≤1时，sin（πx+）≤0，
当﹣≤x≤时，sin（πx+）≥0，
∴当﹣1≤x≤﹣或≤x≤1时，|x﹣a|﹣b≥0，当﹣≤x≤时，|x﹣a|﹣b≤0，
设f（x）＝|x﹣a|﹣b，则f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
且f（x）的图象关于直线x＝a对称，
∴f（﹣）＝f（）＝0，
∴2a＝﹣+＝，即a＝，又f（）＝|﹣|﹣b＝0，故b＝．
∴a+b＝．
故选：B．
三、解答题
17．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝4，点M是棱C1D1上的动点．
（1）求三棱锥D﹣A1B1M的体积；
（2）当点M是棱C1D1上的中点时，求直线AB与平面DA1M所成的角（结果用反三角函数值表示）．
【分析】（1）三棱锥D﹣A1B1M的体积为＝，由此能求出结果．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面DA1M所成的角．
解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝4，点M是棱C1D1上的动点
∴三棱锥D﹣A1B1M的体积为：
＝＝＝．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（4，0，0），B（4，2，0），D（0，0，0），A1（4，0，4），M（0，1，4），
＝（0，2，0），＝（4，0，4），＝（0，1，4），
设平面DA1M的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，4，﹣1），
设直线AB与平面DA1M所成的角为θ，
则sinθ＝＝＝，
∴直线AB与平面DA1M所成的角为arcsin．
18．已知函数f（x）＝．
（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝，a＝4，b+c＝5，求△ABC的面积．
【分析】（1）由已知利用行列式的计算，三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）＝sin（2x+）+，结合范围2x+∈[，]，利用正弦函数的性质即可得解值域．
（2）由已知可求sin（A+）＝，结合范围A+∈（，），可得A＝，由余弦定理解得：bc＝3，利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】（本题满分为14分，第1小题满分为6分，第2小题满分为8分）
解：（1）∵f（x）＝＝cos2x+sinxcosx＝sin（2x+）+，
∵x∈[0，]，2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[﹣，1]，可得：f（x）＝sin（2x+）+∈[0，1+]．
（2）∵f（）＝sin（A+）+＝，可得：sin（A+）＝，
∵A∈（0，π），A+∈（，），可得：A+＝，解得：A＝．
∵a＝4，b+c＝5，
∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得：16＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝25﹣3bc，解得：bc＝3，
∴S△ABC＝bcsinA＝3×＝．
19．定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数f（x）＝ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）＝﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；
（2）若f（x）＝2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
【分析】（1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；
（2）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（﹣x）＝﹣f（x）有解的实数m的取值范围，可得答案．
解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）＝﹣f（x）有解．
当f（x）＝ax2+2x﹣4a（a∈R）时，
方程f（﹣x）＝﹣f（x）即2a（x2﹣4）＝0，有解x＝±2，
所以f（x）为“局部奇函数”．
（2）当f（x）＝2x+m时，f（﹣x）＝﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m＝0，
因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m＝0在[﹣1，1]上有解．
令t＝2x，t∈[，2]，则﹣2m＝t+
设g（t）＝t+，则g'（t）＝1﹣＝，
当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，
当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．
所以t∈[，2]时，g（t）∈[2，]．
所以﹣2m∈[2，]，即m∈[﹣，﹣1]．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝an+2n﹣1，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn；
（3）设，Rn是数列{cn}的前n项和，若对任意n∈N*均有Rn＜λ恒成立，求λ的最小值．
【分析】（1）由Sn＝2an﹣2可得Sn+1＝2an+1﹣2，两式相减并整理得an+1＝2an，结合S1＝a1＝2即可得到{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而an＝2n；
（2）由（1）可知bn＝an+2n﹣1＝2n+2n﹣1，从而利用分组求和法即可求出Tn；
（3）cn＝＝＝2（﹣），从而即可求得Rn＝2（﹣），进一步结合{Rn}的单调性即可确定λ的最小值．
解：（1）由Sn＝2an﹣2，得Sn+1＝2an+1﹣2，两式相减得Sn+1﹣Sn＝2an+1﹣2an，即an+1＝2an，
又当n＝1时，S1＝a1＝2a1﹣2，解得a1＝2，
所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2 2n﹣1＝2n；
（2）由（1）可知bn＝an+2n﹣1＝2n+2n﹣1，
所以Tn＝21+1+22+3+…+2n+（2n﹣1）＝21+22+…+2n+1+3+…+（2n﹣1）＝+（1+2n﹣1）＝2n+1+n2﹣2；
（3）cn＝＝＝2（﹣），
所以Rn＝2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝2（﹣），
由于n∈N*，所以Rn＜，所以λ≥，即λ的最小值为．
21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，an}，n∈N*，集合A中的元素个数记为d（A），定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A的个数记为d（A+A），当时，称集合A具有性质Γ．
（1）设集合M＝{1，x，y}具有性质Γ，判断集合M中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；
（2）设正数列{dn}的前n项和为Sn，满足，其中，数列{dn}中的前2020项：d1，d2，d3，…，d2020组成的集合{d1，d2，d3，…，d2020}记作D，将集合D+D中的所有元素t1，t2，t3，…，tk（k∈N*）从小到大排序，即t1，t2，t3，…，tk满足t1＜t2＜t3＜…＜tk，求t2020；
（3）已知集合C＝{c1，c2，…，cn}，其中数列{cn}是等比数列，cn＞0，且公比是有理数，判断集合C是否具有性质Γ，说明理由．
【分析】（1）根据集合M＝{1，x，y}具有性质Γ，可以得到d（M+M）以及M+M的元素性质，运用反证法可以判断出集合M中的三个元素不能组成等差数列；
（2）根据递推公式求出数列{dn}的通项公式，根据题意写出集合D，根据题目中所给的定义，结合等比数列的性质求出t2020；
（3）只要能够证明当n1＜n2≤n3＜n4 时，不成立，运用反证法结合整除的知识，就可以判断出集合C具有性质Γ．
解：（1）集合M中的三个元素不能组成等差数列，理由如下：
因为集合M＝{1，x，y}具有性质Γ，所以，由题中所给的定义可知：M+M中的元素应是：2，x+1，y+1，2x，2y，x+y，这6个元素应该互不相等，假设M中的三个元素能构成等差数列，不妨设1，x，y 成等差数列，这时有2x＝1+y，这与集合元素集合中的6个元素互不相等矛盾，其它二种情况也是一样，故M中的三个元素不能能构成等差数列；
（2）由，得：（n≥2，n∈N ），
以上两式相减得dn+1＝2dn，说明数列从第二项起，数列{dn}等比数列，
因为，，所以有，所以，所以，显然n＝1时也满足上式，因此．
所以，
令dm+dn﹣1＜dn，则，则可得m＜n﹣1，显然1≤m＜n﹣1（m，n∈N ），
根据定义在dn之间增加的元素个数为：，这样包括dn在内前面一共有个元素．
当n＝63时，包括d63在内前面共有2016个，显然不到第2020个数，所以只有当n＝64时，能找到，
因此；
（3）集合C具有性质Γ，理由如下：设等比数列{cn}的公比为q，所以通项公式为：，q为有理数，
设假设当n1＜n2≤n3＜n4 时，成立，则有，故，
因为q为有理数，所以设 且m，n互质，因此有，则，
式子的左边是m的倍数，右边是n的倍数，而m，n互质，显然不成立，因此C+C集合中的元素个数为：，
因此它符合已知所下的定义，因此集合C具有性质Γ．