2021-2022学年数学苏教版（2019）必修第一册第4章 指数与对数 单元综合测试卷（Word含答案解析）

2021-2022学年高一数学（苏教版2019必修第一册）
第四章 指数与对数 单元综合测试卷
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．有以下四个结论：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
3．（ ）
A． B． C． D．
4．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学
5．已知，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．或1
6．已知对数式（Z）有意义，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．2
8．方程的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若10a＝4，10b＝25，则（ ）
A．a+b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab＞8lg22 D．b﹣a＜lg6
11．若，，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．下列运算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题。本大题共4小题。
13．已知，则__________________________.
14．_______________________．
15．已知幂函数在上单调递减，则___________.
16．已知，则_________.
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．（1）已知，，试用表示；
（2）已知（），求．
18．若是方程的两个实根，求的值．
19．已知，求的值.
20．设，且，求证：
21．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8的值．
22．已知函数，求证：
（1）；
（2）.
参考答案
1．C
【解析】对于A：，故A不正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：∵,∴，故C正确，
对于D：，故D不正确，
故选： C.
2．C
【解析】对于①：因为，所以，故①正确；
对于②：因为，所以，故②正确；
对于③：由，得，故，故③错误；
对于④：由，得，故，故④错误，
所以正确的是①②，
故选：C.
3．C
【解析】.
故选：C.
4．C
【解析】，．∵．∴．
又∵，，∴．
∴有．
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．
故选：C.
5．B
【解析】，.
∴.
∵，∴，解之得:或.
∵，∴，∴.
∴.
6．C
【解析】由题意可知:，解之得:且.
∵Z，∴的取值范围为.
故选：C.
7．A
【解析】，，
，
，，
，
故选：A
8．B
【解析】，
∴．
设，则，解之得：．
∴或，解之得：或．
经检验，和均符合题意，∴该方程的解集是．
故选：B
9．BC
【解析】解：对于A，令满足，则，所以A错误，
对于B，因为，所以，当且仅当时取等号，所以B正确，
对于C，因为，当且仅当时取等号，所以C正确，
对于D，令满足，则，所以D错误，
故选：BC
10．AC
【解析】∵10a＝4，10b＝25，∴a＝lg4，b＝lg25，∴a+b＝lg4+lg25＝lg100＝2，
b﹣a＝lg25﹣lg4＝lg＞lg6，ab＝2lg2×2lg5＝4lg2 lg5＞4lg2 lg4=8lg22．
故选：AC．
11．BCD
【解析】A选项，若,则，说法正确；
B选项，时不满足条件，说法错误；
C选项，若，则，不一定，说法错误；
D选项，时不满足要求，说法错误；
故选 ：BCD
12．ABC
【解析】对于A， ，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确．
故选ABC．
13．
【解析】
.
故答案为：
14．
【解析】原式.
故答案为:
15．
【解析】由题意，解得或，
若，则函数为，在上递增，不合题意．
若，则函数为，满足题意．
故答案为：．
16．
【解析】因为，所以，
所以.
故答案为：.
17．（1）；（2）.
【解析】（1）由换底公式得．
（2）由于，且，所以；
又；
所以．
18．
【解析】原方程可转化为，令，则，
设方程的两根为，可设，，
.
19．
【解析】由，
解得：（舍去）或.
20．证明见解析.
【解析】设，，则，，.
因为，所以，
即.
所以，即.
21．
【解析】由对数的运算法则，可将等式化为
loga[(x2＋4)·(y2＋1)]＝loga[5(2xy－1)]，
∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)．
整理，得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0，
配方，得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0，
∴
∴＝.
∴log8＝log8＝log2－1＝－log22＝－.
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明：（1），
，
；
（2），
.