2021-2022学年数学苏教版（2019）必修第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数 单元综合测试卷（Word含答案解析）

2021-2022学年高一数学（苏教版2019必修第一册）
第6章 幂函数、指数函数和对数函数 单元综合测试卷
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．若指数函数的图像与射线（）相交，则（ ）
A． B．
C． D．
3．幂函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
4．已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
5．函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为（ ）
A．y＝x－4 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
7．函数y＝的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”.在下面的五个点M，N，P，Q，G中，可以是“好点”的个数为　（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．某学校为了加强学生核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，让学生以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下，其中研究成果正确的是（ ）
A．函数的定义域为，且是偶函数
B．对于任意的，都有
C．对于任意的a，，都有
D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，，总满足
10．已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．的值域为 B．的图象与直线有两个交点
C．是单调函数 D．是偶函数
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的函数值可能为（ ）
A． B． C． D．
12．已知为定义在R上的偶函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（ ）
A．
B．函数在定义域上是周期为2的函数
C．直线与函数的图象有2个交点
D．函数的值域为
三、填空题。本大题共4小题。
13．设，，，则a，b，c的大小关系是____________.
14．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是________．
15．若，，则______．
16．已知函数f（x）＝x+1，g（x）＝2|x+2|+a若对任意x1∈[3，4]，存在x2∈[﹣3，1]，使f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是 _________.
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知函数是偶函数．
（1）求k的值．
（2）若函数，，是否存在实数m使得的最小值为0？
若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
18．已知，函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的取值范围．
19．已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若，对于任意恒成立，求实数的取值范围.
20．若在上单调递增，解不等式.
21．设，且)，其图象经过点，又的图象与的图象关于直线对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的值；
（3）若在区间上的值域为，且，求的值.
22．设，函数．
（1）若函数为奇函数，求；
（2）若，判断并证明函数的单调性；
（3）若，函数在区间上的取值范围是，求的取值范围．
参考答案
1．B
【解析】当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，
当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，
由图可知，大于1，，大于0小于1．
又由图可知，即．，即．
，，，与1的大小关系是．
故选：．
2．D
【解析】当时，代入射线得，
若，指数函数的图象过第一、二象限，且单调递减，要使指数函数的图象与射线有交点，则当时，，所以，
若，则可知两图象在第一象限一定有交点，
综上，或，
故选：D
3．B
【解析】由题意，可得，解得.
所以，所以.
故选：B.
4．D
【解析】设幂函数的解析式为，
将点的坐标代入解析式得，解得，
∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，
故选：D.
5．A
【解析】由，可得，
因为由图像可知函数是减函数，所以，所以，
因为，
所以，所以，
故选：A
6．A
【解析】函数y＝x－4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；
函数y＝x－1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；
函数y＝x2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；
函数y＝x为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
故选：A.
7．A
【解析】由题意，设，，所以函数的奇函数，故排除C;
当时，，当时，，排除,
故选:A.
8．C
【解析】设此指数函数为，显然不过点M、P，
若设对数函数为，显然不过N点，
故选：C.
9．BC
【解析】A：由，解得，故的定义域为．
又，
∴为奇函数，故错误．
B：由，，故正确．
C：，
，
∴，故正确．
D：取，，则，，
∴，故错误．
故选：BC．
10．ACD
【解析】函数的图象如图所示，由图可知的值域为，结论A错误，结论C，D显然错误，的图象与直线有两个交点，结论B正确．
故选：ACD
11．ABC
【解析】因为，所以，
所以，即，
因为，因为，，所以，所以，所以
即
当时，，所以，，此时，
当时，，所以，，此时，
当时，，此时，，此时，
所以函数的值域为.
故选：ABC
12．AD
【解析】当时，有，
时，是周期为2的函数，且为定义在R上的偶函数，
故图象如图
， ，
，故选项A正确.
由图知，所以函数在定义域上不是周期为2的函数，故选项B错误.
由图知直线与函数的图象有1个交点，故选项C错误.
函数的值域为，故选项D正确.
故选：AD.
13．
【解析】由题意，，，
，
∴.
.
故答案为：.
14．3
【解析】解：因为函数f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，
所以，解得m＝3.
所以数m的值是3.
故答案为：3.
15．
【解析】由指数的运算性质可得.
故答案为：.
16．（﹣∞，3]
【解析】若对任意，，存在，，使，
可得，
由在，递增，可得的最小值为（1），
在，上递减，在，递增，可得的最小值为，
所以，
解得．
即的取值范围是，．
故答案为：，．
17．
（1）（2）存在，m的值为
18．
（1）或（2）
19．（1）；（2）.
【解析】解：（1）当时，，舍去；
当时，，即，．
解得，
（2）当，时，，即，
即．
因为，所以．
由，所以．
故的取值范围是．
20．答案见解析
【解析】由已知得，得，解得，
又因为，所以，或或，
当或时，，
因为函数在上为增函数，由可得，
即，解得或；
当时，，故函数为上的增函数，
由可得，解得或.
综上所述，当或时，原不等式解集为或；
当时，原不等式的解集为或.
21．（1）；（2）；（3）.
【解析】(1)因为，且的图象经过点，
所以，所以，所以.
(2)因为，所以，
所以10，所以，所以.
(3)因为的图象与的图象关于直线对称，
所以，且为增函数，
所以在区间上的值域为，
因为，所以，所以，
所以.
22．（1）或；（2）上的单调递增函数，证明见解析；（3）．
【解析】解：（1）当时，函数的的定义域为，当时，定义域为，
因为函数为奇函数，
所以，即，
，整理得，
所以，解得或，
当时，的定义域为，关于原点对称，
所以或，
（2）当时，因为，所以，
所以函数的定义域为．
结论：函数为上的单调递增函数．
证明：设对任意的，，且，
则
，
因为，所以，即，
又因为，，，
所以，
于是，即函数为上的单调递增．
（3）因为，所以，从而，
由，知，所以，
因为，所以或．
当时，由（2）知，函数为上单调递增函数．
因为函数在区间上的取值范围是
所以，即，
从而关于的方程有两个互异实数根．
令，则，所以方程，有两个互异的正实数根，
所以，从而．
当时，函数在区间，上均单调递减．
若，则，于是，这与矛盾，故舍去．
若，则，于是，即，
所以，两式相减整理得，，
又，故，从而，因为，所以．
综上可得，当时，
当时，．
所以的取值范围为．