2021-2022学年数学苏教版（2019）必修第一册第7章 三角函数 单元综合测试卷（Word含答案解析）

第7章 三角函数 单元综合测试卷
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．设MP，OM和AT分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
5．同时具有性质“（1）最小正周期是π；（2）图象关于直线x＝对称；（3）在上单调递增”的一个函数是（ ）
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
6．函数的部分图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
7．某公园有一摩天轮，其直径为110米，逆时针匀速旋转一周所需时间约为28分钟，最高处距离地面120米，能够看到方圆40公里以内的景致.某乘客观光3分钟时看到一个与其视线水平的建筑物，试估计建筑物多高？（ ）
（参考数据：）
A．50 B．38 C．27 D．15
8．已知函数，下面结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上是增函数
C．函数的图像关于直线对称
D．函数是偶函数
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．函数(，，)在一个周期内的图象如图所示，则( )
A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，
C．该函数的增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
10．已知函数（其中）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则下列判断正确的是（ ）
A．函数中
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．点是函数的一个对称中心
D．函数与的图象的所有交点的横坐标之和为
11．如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（ ）
A．转动后点距离地面
B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C．第和第点距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为
12．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增 D．的最小值为1
三、填空题。本大题共4小题。
13．已知，则的值为______．
14．已知，，则______.
15．关于有如下说法：
①若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1x2是π的整数倍，
②函数解析式可改为，
③函数图象关于对称，
④函数图象关于点对称．
其中正确的是____（填正确的序号）
16．已知角φ的终边经过点P(，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f＝________．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．函数（，）的部分图象如图所示．
（1）求的值及的增区间；
（2）若图象的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移个单位长度，最后向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若在上函数的图象与x轴恰有10个交点，求实数b的取值范围．
18．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数的图象的一部分，后一段DBC是函数(，，，)的图象，图象的最高点为，且，垂足为点F．
（1）求函数()的解析式；
（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积．
19．已知函数(，，)，在同一个周期内，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1．
（1）求函数的解析式．
（2）函数的图象经过怎样的变换可得到的图象
（3）求方程在内的所有实数根之和．
20．设函数的部分图象如图所示，求的表达式．
21．若sin＝，cos＝，且0＜α＜＜β＜，求cos(α＋β)的值．
22．已知函数f（x）=2cos2，g（x）=2.
（1）求证：f=g（x）；
（2）求函数h（x）=f（x）-g（x）（x∈[0，π]的单调区间，并求使h（x）取到最小值时x的值.
参考答案
1．B
【解析】解：分别作角的正弦线、余弦线和正切线，如图，
∵，，．
∴．
故选：B．
2．C
【解析】∵，
∴913°角为第三象限角，
∴，，
∴点位于第三象限.
故选:C．
3．A
【解析】因函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，则有，
于是得，显然对于是递增的，
而时，，，当时，，，
所以|φ|的最小值为.
故选：A
4．A
【解析】由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2 A＝3．
，则．故选:A
5．C
【解析】由（1）知T＝π＝，ω＝2，排除A．
由（2）（3）知x＝时，f(x)取最大值，
对于B，当时，，取到最小值，不合题意，
对于C，当时，，符合题意，
对于D，当时，，不合题意，
故选：C
6．C
【解析】定义域为，关于原点对称，
，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D；
当时，令可得或，
所以时，两个相邻的零点为和，
当时，，，，
故排除选项A，
故选：C.
7．C
【解析】设走了3分钟到达（如图所示），
走过的圆心角为，
，
因为 ，
所以，
所以
所以，
所以建筑物的高度：
故选：C
8．B
【解析】解：，
对于A，的最小正周期为，所以A正确；
对于B，在区间上是减函数，所以B错误；
对于C，因为，所以的图像关于直线对称，所以C正确；
对于D，因为，所以是偶函数，所以D正确，
故选：B
9．ACD
【解析】由题图可知，，周期，
所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，
从而，故A正确；
令，，得，，故B错误；
令，，
得，，故C正确；
函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
可得到，故D正确．
故选：ACD.
10．ACD
【解析】解：函数（其中，，的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，
则，
，
进一步解得，，故A正确．
由于函数（其中，，的图象关于点成中心对称，
，
解得，
由于，
当时，．
．
对于B：当时，，故B不正确；
对于C：由，，解得，，
当时，对称中心为：，故C正确；
对于D：由于：，
则：，
函数的图象与有6个交点．
根据函数的交点设横坐标从左到右分别为、、、、、，
由，，解得，，
所以，，，
所以
所以函数的图象的所有交点的横坐标之和为，故D正确．
正确的判断是ACD．
故选：ACD．
11．AC
【解析】解：摩天轮转一圈，
在内转过的角度为，
建立平面直角坐标系，如图，
设是以轴正半轴为始边，表示点的起始位置为终边的角，
以轴正半轴为始边，为终边的角为，
即点的纵坐标为，
又由题知，点起始位置在最高点处，
点距地面高度关于旋转时间的函数关系式为：
即
当时，，故A正确；
若摩天轮转速减半，，则其周期变为原来的2倍，故B错误；
第点距安地面的高度为
第点距离地面的高度为
第和第时点距离地面的高度相同，故C正确；
摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于，
即，
即，，
得，
或，
解得或，
共，故D错误．
故选：AC．
12．AD
【解析】因为,，所以是偶函数，A正确；
显然是周期函数，
因为，所以B错误；
因为当时，
，
所以在区间上单调递增，在上单调递减，C错误；
因为
当时，设，则，∴，∴，
同理：当时，，
由B中解答知，是的周期，所以的最小值为1，D正确.
故选：AD.
13．2
【解析】原式
.
故答案为：
14．
【解析】因为，，
所以，
所以，
故答案为：
15．②③
【解析】①若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1x2是半个周期的整数倍，而函数 的周期为π，故x1x2是的整数倍，故不正确．
②函数解析式，故正确．
③当时，y＝3是函数的最小值，故函数图象关于对称，故正确．
④当 时，y＝3是函数的最大值，故函数图象关于 对称，故不正确．
故答案为：②③．
16．－
【解析】由条件|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，可知函数f(x)的最小正周期为
，则由，得ω＝3．又因为角φ的终边经过点P(，－1)，
，，，所以不妨取φ＝－，
则f(x)＝sin，于是f＝sin＝－．
故答案为：－．
17．
（1）；（2）
解：（2）由题意知．
令，即，即或，得或．
所以在上函数的图象与x轴恰有两个交点，若在上函数的图象与x轴恰有10个交点，则b不小于第10个交点的横坐标，小于第11个交点的横坐标，
即b的取值范围为且，解得．
故实数b的取值范围为．
18．
（1），（2）
19．
（1）（2）答案见解析（3）
20．．
【解析】由图象可得，，
∴，从而，
又∵点在函数的图象上，∴，
从而，即，
∵，∴，
故的表达式：．
故答案为：.
21．－.
【解析】解:　∵0＜α＜＜β＜，
∴＜＋α＜π，－＜－β＜0.
又sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－，
∴cos(α＋β)＝sin＝sin
＝sincos－cossin
＝.
22．（1）证明见解析；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，当x=时，函数h（x）取到最小值.
【解析】（1）因为，
，
，
所以.
（2）函数，
∵，如图，结合函数的图像，
∴函数h（x）在的单调递减区间为，单调递增区间为，
根据函数h（x）的单调性，可知当x=时，函数h（x）取到最小值.