2021-2022学年数学苏教版（2019）必修第一册第六章幂函数、指数函数和对数函数创新测试题（Word含答案解析）

第六章幂函数、指数函数和对数函数创新测试题--苏教版（2019）必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．已知幂函数，则下列结论正确的是　　
A．的定义域为， B．在定义域上为减函数
C．是偶函数 D．是奇函数
2．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是　　
A． B． C． D．
3．已知，，，则　　
A． B． C． D．
4．已知函数的图象过定点，则　　
A． B． C． D．
5．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的　　
A．18倍 B．24倍 C．36倍 D．48倍
6．已知函数，下列说法正确的是　　
A． B．
C． D．
7．已知，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
8．函数，且的图象恒过定点，若点在直线上（其中，，则的最小值等于　　
A．10 B．8 C．6 D．4
二．多选题（共4小题）
9．下列各式比较大小，正确的是　　
A． B．
C． D．
10．已知，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．若，则
11．如果函数在上是减函数，那么　　
A．在上递增且无最大值
B．在递减且无最小值
C．在定义域内是偶函数
D．的图象关于直线对称
12．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量与净化时间（月的近似函数关系：且的图象．有以下说法：其中正确的说法是　　
A．每月减少的有害物质质量都相等
B．第4个月时，剩留量就会低于
C．污染物每月的衰减率为
D．当剩留，，时，所经过的时间分别是，，，则
三．填空题（共4小题）
13．设，，，则，，从小到大的顺序为 　　．
14．已知函数在区间，上是增函数，则实数的取值范围是 　　．
15．如图，四边形是面积为8的平行四边形，，与交于点．某对数函数的图象经过点和点，则　　．
16．已知函数对任意两个不相等的实数，，都满足不等式，则实数的取值范围为　 　　．
四．解答题（共6小题）
17．已知幂函数为偶函数．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若函数在区间，上的最大值为9，求实数的值．
18．已知函数的定义域为，，且的图象经过点．
（1）求函数的最大值；
（2）求函数的值域．
19．已知幂函数的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
20．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若正数，满足，求的最小值．
21．设指数函数，幂函数．
（1）求；
（2）设，如果存在，，，使得，求的取值范围．
22．已知函数，的定义域均为．
（1）求函数的值域；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知幂函数，则下列结论正确的是　　
A．的定义域为， B．在定义域上为减函数
C．是偶函数 D．是奇函数
解：幂函数，
对于，的定义域为，故错误；
对于，在定义域上为减函数，故正确；
对于，是非奇非偶函数，故错误；
对于，是非奇非偶函数，故错误．
故选：．
2．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是　　
A． B． C． D．
解：根据幂函数的图像以及性质得：
①是，②是，③是，④是，
故选：．
3．已知，，，则　　
A． B． C． D．
解：．
．
故选：．
4．已知函数的图象过定点，则　　
A． B． C． D．
解：因为，
又函数的图象过定点，
所以，
则则．
故选：．
5．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的　　
A．18倍 B．24倍 C．36倍 D．48倍
解：某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，
经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，
设湖泊中原来蓝藻数量为，则，
经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：．
经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍．
故选：．
6．已知函数，下列说法正确的是　　
A． B．
C． D．
解：因为，
所以，而，
故选项，错误，选项正确；
，，故选项错误．
故选：．
7．已知，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
解：由题意知，
可得，，，且，
分别作出函数，，和的图象，
如图所示，
结合图象，可得．
故选：．
8．函数，且的图象恒过定点，若点在直线上（其中，，则的最小值等于　　
A．10 B．8 C．6 D．4
解：令，求得，可得函数，且的图象恒过定点，
若点在直线上（其中，，则，即．
由基本不等式可得，即，即，当且仅当时，取等号．
则，
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．下列各式比较大小，正确的是　　
A． B．
C． D．
解：对于选项函数在上单调递增，且，
，故选项错误，
对于选项，
函数在上单调递增，且，
，故选项正确，
对于选项，，
，故选项正确，
对于选项函数在上单调递减，且，
，
又函数在上单调递增，且，
，
，故选项错误，
故选：．
10．已知，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．若，则
解：，
，
，
，
对于，，，故正确；
对于，，，，故错误；
对于，设，，则，，是减函数，
，，故正确；
对于，，，
，
若，则，故错误．
故选：．
11．如果函数在上是减函数，那么　　
A．在上递增且无最大值
B．在递减且无最小值
C．在定义域内是偶函数
D．的图象关于直线对称
解：因为函数在上是减函数，
所以在上为减函数，
而是减函数，
故，
所以当时，，是增函数，而，
则在上递增且无最大值，
故选项正确，选项错误；
函数的定义域为，，，不关于原点对称，
所以为非奇非偶函数，
故选项错误；
因为，
所以的图象关于直线对称，
故选项正确．
故选：．
12．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量与净化时间（月的近似函数关系：且的图象．有以下说法：其中正确的说法是　　
A．每月减少的有害物质质量都相等
B．第4个月时，剩留量就会低于
C．污染物每月的衰减率为
D．当剩留，，时，所经过的时间分别是，，，则
解：且的图象经过点，
，，即．
故1月到2月，减少的有害物质质量为，2月到3月，减少的有害物质质量为，
故每月减少的有害物质质量都相等是错误的，即错，
当时，有害物质的剩留量，故正确，
污染物每月的衰减率为，故正确，
当剩留，，时，所经过的时间分别是，，，
则，，，
则，，，则，故错，
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．设，，，则，，从小到大的顺序为 　　．
解：，，
，，
，，
，
故答案为：．
14．已知函数在区间，上是增函数，则实数的取值范围是 　，　．
解：由的图象向右平移1个单位，可得的图象，
所以函数在，上单调递增，
因为，，，
所以，即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
15．如图，四边形是面积为8的平行四边形，，与交于点．某对数函数的图象经过点和点，则　　．
解：设点，则，，，
则，解得，，
故答案为：．
16．已知函数对任意两个不相等的实数，，都满足不等式，则实数的取值范围为　 　　．
解：函数对任意两个不相等的实数，，都满足不等式，
函数在上单调递增，
令，而是减函数，
在上单调递减，且在上恒成立，
，解得，
实数的取值范围为，．
故答案为：，．
四．解答题（共6小题）
17．已知幂函数为偶函数．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若函数在区间，上的最大值为9，求实数的值．
解：（Ⅰ）是幂函数，
，解得：，或，
时，，是奇函数，舍，
时，；
综上，函数是解析式是；
（Ⅱ），
对称轴是，函数图像开口向上，
（1）即时，（4），解得：，
（2）即时，，不合题意，
故．
18．已知函数的定义域为，，且的图象经过点．
（1）求函数的最大值；
（2）求函数的值域．
解：的图象经过点，
，，，
，
（1），定义域为，，
函数在，上单调递减，在，上单调递增，
函数在，上单调递减，
函数的最大值为（1）．
（2），
函数的定义域为，，
，解得，
函数的定义域为，，
对勾函数在，上单调递增，而函数是增函数，
函数在，上单调递增，
（2），（3），
函数的值域为，．
19．已知幂函数的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）幂函数的图象过点，
（2），，
．
（2）函数，
，它的对称轴为，在，上为减函数，
，时，，，
的取值范围为．
20．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若正数，满足，求的最小值．
解：（1）幂函数是偶函数，且在上单调递增．
，解得，，
．
（2），
，，
，
当且仅当，即，时，取“”，
的最小值为2．
21．设指数函数，幂函数．
（1）求；
（2）设，如果存在，，，使得，求的取值范围．
解：（1）由指数函数，幂函数，
可得，，且，
求得．
（2）由（1）知，，
存在，，，使得，
等价于当，，时，，
又，所以，
，由，得，
所以，．
22．已知函数，的定义域均为．
（1）求函数的值域；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
解：（1），，
令，，则，开口向上，对称轴为，
在，上单调递减，在，上单调递增，
所以所求函数的值域为，．
（2）由式可得，
因为，的定义域均为，
所以，
令，，则，，有解，
当时，，
当，且时，，
所以当时，的最小值为10，
所以．
即实数的取值范围，．