四川省广安市代市高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学（理）试卷（Word版含答案）

广安市代市高级中学2021-2022学年高二上学期高二第1次月考
数学（理科） 试题
考试时间120分钟 总分150分
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若a与b是异面直线，且直线c∥a，则c与b的位置关系是 （ ）
A．相交 　 B．异面 C．平行 D．异面或相交
2.已知直线过点且与直线垂直，则的方程是 （ ）
A． B．
C． D．
3.已知点和点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4.若三点共线 则的值为（　 ）
A. B. C. D.
5.已知三棱锥的三视图如右图所示，则它的外接球的体积为（ ）
A．π B． C． D．4π
6.在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a．则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7.直线3x+2y+6=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则有　(　　)
A.k=-,b=-3 B.k=-,b=-2 C.k=-,b=3 D.k=,b=2
8.若圆与圆（）的公共弦长为，则实数为（ ）
A．1 B．2 C. D．
9.设α、β、r是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β ②若α⊥r，β⊥r，则α∥β
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β ④若m∥α，n⊥α，则m⊥n
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，折后连结BD，构成三棱锥D-ABC,若棱BD的长为a．则此时三棱锥D-ABC的体积是（ ）
A．a3 B．a3 C．a3 D．a3
11.设直线被圆所截弦的中点的轨迹为，则曲线与直线的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C. 相离 D．不确定
12.已知点A(-1,-2),B(2,3),若直线l:x+y-c=0与线段AB有公共点,则直线l在y轴上的截距的取值范围是　(　　)
A. [-5,-3] B.[-5,3] C.[3,5] D.[-3,5]
二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.过点P(2,1)与直线l：y=3x-4平行的直线方程为 .
14.经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　.
15.若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°,其中正确答案的序号是　　　　.(写出所有正确答案的序号)
16.已知集合，集合，若有两个元素，则实数的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）在三棱锥V—ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=，VC=1，求二面角V—AB—C的大小．
18. (12分)如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：AB⊥BC
19. (12分)已知点，直线及圆
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值.
20. (12分)已知点P（2，－1）.
（1）求过P点与原点距离为2的直线的方程；
（2）求过P点与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
21. (12分) 已知点，，曲线上的动点满足，定点，由曲线外一点向曲线引切线，切点为，且满足.
（1）求曲线的方程；
（2）若以点为圆心的圆与和曲线有公共点，求半径取最小值时圆的标准方程.
22. (12分)如图，矩形OABC的顶点O为原点，AB边所在直线的方程为3x+4y-25=0，顶点B的纵坐标为10.
（1）求OA,OC边所在直线的方程；
（2）求矩形OABC的面积
理科数学（解析及答案）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-5DADCB; 6-10BAABC 11-12CD
二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. y=3x-5
14. 3x+4y=0或x+y+1=0
15.①⑤
16.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）在三棱锥V—ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=，VC=1，
求二面角V—AB—C的大小．
解： 取AB的中点O，连接VO，CO-----------1分
因为△VAB为等腰三角形
∴VO⊥AB---------1分
又因为△CAB为等腰三角形
∴CO⊥AB------------1分
则∠VOC为二面角V—AB—C的平面角-------1分
∵AB=，∴AO=------- 1分
又VA=2
则在Rt△VOA中，VO=1------------1分
同理可求：CO=1---------------1分
又已知VC=1
则△VOC为等边三角形，∴∠VOC=-------------------------------2分
∴二面角V—AB—C为.------------------------------------------1分
18.如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：AB⊥BC
证明：在平面PAB上过点A做AD垂直于PB，交PB与点D
因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC,所以PA⊥BC
因为AD平面PAB，AD⊥PB，平面PAB平面PBC=PB，所以AD⊥平面PBC
所以AD⊥BC
所以BC⊥平面PAB
所以BC⊥AB
19.已知点，直线及圆
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值.
解：（1）由题意知圆心的坐标为，半径为，
当过点的直线的斜率不存在时，方程为.
由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切
当过点的直线的斜率存在时，设方程为
即，由题意知，解得.
∴方程为，即.
故过点的圆的切线方程为或.
（2）∵圆心到直线的距离为.
∴
解得.
20.已知点P（2，－1）.
（1）求过P点与原点距离为2的直线的方程；
（2）求过P点与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
解：（1）过P点的直线与原点距离为2，而P点坐标为（2，－1），可见，过P（2，－1）垂直于x轴的直线满足条件. 此时的斜率不存在，其方程为x＝2. 若斜率存在，设的方程为y＋1＝k（x－2），
即kx－y－2k－1＝0. 由已知，得｜－2k－1｜k2＋1 ＝2，解得k＝34 . 此时的方程为2x－4y－10＝0. 综所，可得直线的方程为x＝2或2x－4y－10＝0.
（2）作图可证过P点与原点O距离最大的距离是过P点且与
PO垂直的直线，由⊥OP，得，所以
kOP ＝2. 由直线方程的点斜式得y＋1＝2（x－2）， 即2x－y－5＝0. 即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点
O距离最大的直线，最大距离为｜－5｜5 ＝5 . （3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超达5 的直线，因此不存在过点P点且到原点距离为6的直线.
21. 已知点，，曲线上的动点满足，定点，由曲线外一点向曲线引切线，切点为，且满足.
（1）求曲线的方程；
（2）若以点为圆心的圆与和曲线有公共点，求半径取最小值时圆的标准方程.
（1）设，则，，
∴，
即曲线的方程为
（2）∵为切点，则，由勾股定理，，
又由已知，故，
化简得，即，设圆的半径为，∵与曲线有公共点，
∴，即且
而
故当时，，此时，，
∴圆的标准方程为
22.如图，矩形OABC的顶点O为原点，AB边所在直线的方程为3x+4y-25=0，顶点B的纵坐标为10．
（1）求OA,OC边所在直线的方程； （2）求矩形OABC的面积
解：（1）∵OABC是矩形，∴OA⊥AB，OC∥AB．
由直线AB的方程3x+4y-25=0可知kAB＝-，
∴kOA＝，kOC＝-，
∴OA边所在直线的方程为y＝x，即4x-3y=0，
OC边所在直线的方程为y＝-x，即3x+4y=0．
（2）∵点B在直线AB上，且纵坐标为10，
∴点B的横坐标由3x+4×10-25=0解得x为-5，即B（-5，10）．
∴|OA|＝，
∴|AB|＝|＝10，（11分）
∴矩形OABC的面积S=|OA||AB|=50 （12分））
P
A
B
C
V
C
B
A
P
A
B
C