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2.1二次函数
北师大版 九年级下册
情景导入
节日的喷泉给人们带来喜庆,夏日的喷泉给人们带来凉爽.
你是否注意过喷泉水流所经过的路线
它会与某种函数有联系吗
复习旧知
函 数
一次函数
反比例函数
y=kx+b (k≠0)
(正比例函数) y=kx (k≠0)
思考 一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？
y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数.
思考：这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧.
新知讲解
问题：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
增种的棵树和平均每棵树结的橙子个数是变量.
增种的棵树是自变量,平均每棵树结的橙子个数是因变量.
新知讲解
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树 这时平均每棵树结多少个橙子
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600－5x).
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
y=(100+x)(600-5x)
=-5x +100x+60000.
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
归纳总结
一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.
a为二次项系数，ax2叫做二次项；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.
新知讲解
注意事项：
（1）关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,a≠0.
（2）等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
（3）判断一个函数是不是二次函数，先把它化成一般形式.
做一做
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式（不考虑利息税）.
y=100(1+x)(1+x)=100x2+200x+100
典例精析
例
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：
（1）由题可知
解得
（2）由题可知
解得 m=3
方法点拨
解此类题，先根据次数计算字母的值，然后再根据二次项系数a≠0这一限制条件得出正确的答案.
想一想
S=a2(正方形面积与边长的关系)
S=πr2(圆面积与半径的关系)
h=gt2(自由落体下落高度与时间的关系)
你可以举例说明还有哪些可以表示为二次函数关系？
总结归纳
二次函数的一般式：
特殊式：
练一练
下列函数中,哪些是二次函数
先化简后判断
是
不是
是
不是
课堂练习
1.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
C
2．下列函数是二次函数的是 ( )
A．y＝2x＋1 B．
C．y＝3x2＋1 D．
C
课堂练习
3.把y=(2-3x)(6+x)变成y=ax +bx+c的形式，二次项为
_____,一次项系数为______，常数项为 .
-3x2
-16
12
4. 已知函数 y=3x2m-1－5
① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；
② 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 .
1
课堂练习
5.圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm2.
(1)写出y与x之间的关系式;
(2)当圆的半径分别增加1cm, cm,2cm时,圆的面积各增
加多少
(1)y=π(x+1)2－π=πx2+2πx
(2)当x=1cm时, y=3π(cm2)
当x=cm时, y=(2+2 )π(cm2)
当x=2cm时, y=8π(cm2)
作业布置
1.课本习题2.1第1、2题
2.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2.求
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
课堂小结
二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数)
一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).
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2.1二次函数教学设计
课题 2.1二次函数 单元 2 学科 数学 年级 九
学习 目标 经历探索、分析和建立两个变量之间的函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系 经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
重点 对二次函数概念的理解
难点 由实际问题确定函数表达式
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 请同学们先欣赏几幅图片，如图2－1－2.(教师播放课件) 图2－1－2 在客观世界中存在很多这样的图形形状，我们把它们叫做抛物线．我们如何用数学方法描述它、研究它呢？从本节课开始，我们就一起来研究这一问题． 我们学习过哪些函数呢？试着举例说明一下． 教师提出问题，引导学生回答，师生共同回顾、交流，适时做好总结． 回顾以前学习过的具体实例能更好地帮助学生了解函数的本质所在，而回顾同学们比较熟悉的一次函数、反比例函数更能让他们回忆起学习函数的过程．学习新的内容，注重知识之间的联系，调动学生学习的积极性与主动性，也为接下来的学习做好铺垫.
讲授新课 【探究1】 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式． (4)大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？ 做一做 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．(本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存期付给的“报酬”，本息和就是本金与利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间)) 设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式． 1.从我们刚才所推导出的关系式：y＝100x2＋200x＋100中分析出y是x的函数，你能说出它的结构特点吗？请小组内思考探究． 2.你能根据它的特点归纳出二次函数的定义吗？它的一般表达式是怎样的？ 归纳总结： 一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数． 提问：1.上述概念中的a为什么不能等于0 2.概念中的b和c可否为0，若b和c有一个为0或b和c均为0，上述表达式可以怎样改写？你认为它们还是二次函数吗？ 例题： y= （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？ 想一想： 你可以举例说明还有哪些可以表示为二次函数关系？ 学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生黑板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨论，达到互通有无、查缺补漏的作用 老师及时提醒注意的问题. 继续引导学生回答下列问题，并推选该组的学生进行展示自己的答案 学生思考，自主回答，老师订正。 通过解决生活中的数学问题，进一步熟悉用函数表达式反映变化过程．若学生对本金、利息、利率、本息和等概念熟悉，则能够较容易地列出函数表达式. 通过例题的解决，加深学生对二次函数概念的理解.
课堂练习 1.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数 2．下列函数是二次函数的是 ( ) A．y＝2x＋1 B． C．y＝3x2＋1 D．y= 3.把y=(2-3x)(6+x)变成y=ax +bx+c的形式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为 . 4. 已知函数 y=3x2m-1－5 ① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数； ② 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 . 5.圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm2. (1)写出y与x之间的关系式; (2)当圆的半径分别增加1cm, cm,2cm时,圆的面积各增加多少 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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