江西省鹰潭市田中2021-2022学年高二上学期期中考试数学（文）试卷（Word版含答案）

鹰潭市田中2021-2022学年高二上学期期中考试
数学试题（文科）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题(共60分)
1．(本题5分)椭圆的焦距等于，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．(本题5分)命题：，，则命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．(本题5分)“”是“为椭圆方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(本题5分)已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位：年）与维护费用（单位：千元）之间有如下数据：
使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8
维护费用（单位：千元） 3 4.5 6.5 7.5 9
与之间具有线性相关关系，且关于的线性回归方程为．据此估计，当使用年限为7年时，维护费用约为（ ）
A．4千元 B．5千元 C．8.2千元 D．9千元
5．(本题5分)已知命题是的充要条件，命题，.下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
6．(本题5分)执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为63，则图中判断框内应填入的条件为（ ）
A． B．
C． D．
7．(本题5分)已知命题，.若命题P是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．(本题5分)椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．(本题5分)已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
10．(本题5分)最近几年网络经济发展迅速，快递行业为大家购物带来了便捷，某学生网购的物品由快递员在学校大课间的时间内直接送达其就读学校门前等候学生自主取件，如果快递员和学生在学校大课间任何时刻到达学校门前是等可能的，因某种原因快递员在学校门前只等待分钟就会离开，学生到学校门前只等待分钟就会离开，则学生能够在大课间取到所购物品的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．(本题5分)如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交抛物线的准线于点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
12．(本题5分)已知双曲线C的离心率为，，是C的两个焦点，P为C上一点，，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
二、填空题(共20分)
13．(本题5分)已知抛物线方程为，则其焦点坐标为__________．
14．(本题5分)命题“，”为假命题，则实数的取值范围是___________.
15．(本题5分)已知（，2，3，，2021）是抛物线上的点，是抛物线的焦点，若，则______.
16．(本题5分)已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为_______．
三、解答题(共70分)
17．(本题10分)某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查.经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）求该频率分布直方图中的值，并求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）；
（2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间和内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机选择2人作为“幸运客户”，求幸运客户中恰有1人来自区间的概率.
18．(本题12分)设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.
（1）若，且命题p和 q为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
19．(本题12分)已知是等比数列，是等差数列，且，，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和．
20．(本题12分)如图，在四棱锥中，底面，，，为上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）若，，求三棱锥的体积．
21．(本题12分)已知椭圆：的离心率为，且过点．右焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过右焦点为的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程．
22．(本题12分)双曲线C的离心率为，且与椭圆有公共焦点．
（1）求双曲线C的方程．
（2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．
参考答案
1．C2．D3．B4．C5．C6．C7．A8．D9．C10．C11．B12．B
13．
14．
15．2021
16．．
17．（1），0.466万元；（2）.
【详解】
（1）由题可知，
即，所以.
由频率分布直方图可得
因此，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元.
（2）记“幸运客户中恰有1人来自区间”为事件.
因为区间与频率之比为，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，故从分组区间中抽取2人，分别记为，从分组区间中抽取3人，分别记为，从这5个人中随机选择2人作为“幸运客户”，样本点表示“选出”（余类推），则样本空间为
.
所以.
答：（1）该频率分布直方图中的值为1.3，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元；（2）幸运客户中恰有1人来自区间的概率为.
18．（1）；（2）．
【详解】
（1）对于：由，得：，
又，所以，
当时，，
对于：等价于，解得：，
若真且真，则实数的取值范围是：；
（2）因为是的充分不必要条件，所以，且，即，
，，则 ，即，且，
所以实数的取值范围是．
19．（1），；（2）．
【详解】
解：（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
依题意有，即
解得或（舍去）．
所以，；
（2）由（1）的，
所以
.
20．（1）证明见解析；（2）.
（1）证明：过作交于点，连接．
，．
又，且，
，，则四边形为平行四边形，
．
又平面，平面，
平面．
（2）解：过作的垂线，垂足为．
平面，平面，．
又平面，平面，．
平面．
由（1）知，平面，
到平面的距离等于到平面的距离，即．
在中，，，．
．
21．（1）；（2）或
【详解】
（1）解：因为，所以，，
设椭圆的方程为．将点的坐标代入得：，
所以，椭圆的方程为．
（2）因为右焦点为，设直线的方程为：，
代入椭圆中并化简得：，
设，，因为，所以，
即，所以，，
即，解得，所以，
所以直线的方程为：或．
22．（1）；（2）存在，直线的方程为.
（1）椭圆：，
所以双曲线.
所以双曲线的方程为.
（2）画出图象如下图所示，设，
，
两式相减并化简得，即，
所以直线的方程为.