26.3用频率估计概率 同步练习（含答案）

绝密★启用前
26.3用频率估计概率同步练习
沪科版初中数学九年级下册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题
一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．位同学进行摸球游戏，每位同学摸次摸出球后放回，摇匀后再继续摸，其中摸到红球数依次为，，，，，则估计盒中红球和白球的个数是
A. 红球比白球多 B. 白球比红球多
C. 红球，白球一样多 D. 无法估计
某小组作“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是
A. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是
B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C. 暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
黄豆在相同条件下发芽率试验，结果如表．下面个推断：当时，黄豆发芽的频率是，所以黄豆发芽概率为；根据表格数据，估计黄豆发芽的概率为；若时，估计黄豆发芽的粒数约为其中正确的个数为
每批粒数
发芽的粒数
发芽的频率
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列四种说法：
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
将减去它的，再减去剩下的，再减去余下的，再减去余下的依次减下去，一直到减去余下的，结果是；
实验的次数越多，频率越靠近理论概率；
对于任何实数、，多项式的值不小于其中正确的个数是
A. B. C. D.
小明做“用频率估计概率”的实验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是
A. 同时抛掷两枚硬币，落地后两枚硬币正面都朝上
B. 一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C. 抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是
D. 一个不透明的袋子中有个白球、个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球
一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球、个白球，若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量实验，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中的绿球数为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是
A. 在“剪刀、石头、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C. 暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是
下面四个实验中，实验结果概率最小的是
A. 如图，在一次实验中，老师共做了次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率
B. 如图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率
C. 如图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率
D. 有张卡片，分别标有数字，，；，，，；将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于”的卡片的概率
某林业部门要考察某幼苗的成活率，于是进行了试验，表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况，则下列说法不正确的是
移植总数
成活数
成活的频率
A. 在大量重复试验中，随着试验次数的增加，幼苗成活的频率会越来越稳定，因此可以用频率估计概率
B. 可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值
C. 由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为
D. 如果在此条件下再移植这种幼苗株，则必定成活株
在学习掷硬币的概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是”，小明做了下列三个模拟实验来验证．
取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值；
把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；
将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间放一个圆锥如图，从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值．
上面的实验中，不科学的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列说法错误的是
A. “若，则”是必然事件
B. 确定事件一定会发生
C. “抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“朝上的点数是”这一事件发生的频率在附近摆动
D. “人中至少有人同月同日出生”为必然事件
某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是
A. 不透明的袋中装有大小和质地都相同的个红球和个黄球，从中随机取个，取到红球
B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D. 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是或超过
二、填空题
某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示：
抽取瓷砖数
合格品数
合格品频率
则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是______精确到
足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国，是全球体育界最具影响力的单项体育运动，现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如表：
抽取的足球数个
优等品的频数个
优等品的频率
据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率是______结果精确到．
在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“”、“”、“”、“”“”、“”，在试验次数很大时，数字“”朝上的频率的变化趋势接近的值是______．
小夏同学从家到学校有，两条不同的公交线路为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时单位：分钟的数据，统计如下：
公交车用时频数
公交车线 合计
据此估计，早高峰期间，乘坐线路“用时不超过分钟”的概率为______ ；若要在分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐______ 填或线路．
某市园林部门为了扩大城市的绿化面积，进行了大量的树木移栽，下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵树与成活棵树：
移栽棵树
成活棵树
依此估计这种幼树成活的概率是______结果用小数表示，精确到
三、解答题
某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
“射中九环以上”的频数
“射中九环以上”的频率
根据上表估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为______结果保留两位小数
小明想了解该运动员连续两次射击都“射中九环以上”的概率，他将这个问题进行了简化，制作了三张不透明卡片，其中两张卡片的正面写有“中”，第三张卡片的正面写有“未中”，卡片除正面文字不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录文字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上都写有“中”的概率．
小南发现操场中有一个不规则的封闭图形为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为米的圆，在不远处向圈内掷石子，若石子落在图形以外，则重掷记录如下：
石子落在圆内含圆上的次数
石子落在阴影内的次数
根据以上的数据，小南得到了封闭图形的面积．
请根据以上信息，回答以下问题：
求石子落在阴影内的频率；
估计封闭图形的面积．
某射击选手在同一条件下进行射击训练，结果如表所示：
射击次数
击中靶心次数
击中靶心频率 ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
计算表中击中靶心的各个频率；
试估计这个射手射击一次，击中靶心的概率是多少？
一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在．
估计摸到黑球的概率是 ；
如果袋中原有红球个，又放入个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，求的值．
全国政协十三届四次会议和十三届全国人大四次会议相继于年月日、日在北京召开某校党支部为了解在校生收看两会的总时长单位：小时的情况，从在校生中随机抽取了名学生进行调查，并完成调查问卷有关两会的基本知识测试，共分个部分，分别为“两会常识、民生部分、科技部分、政治部分”，各部分满分分校党支部回收所有问卷后，进行整理、统计，绘制了如表所示的频数分布表不完整．
表受调查者收看两会的总时长统计表
总时长小时 频数 频率
表甲、乙、丙三位学生的问卷成绩
甲 乙 丙
两会常识权重：
民生部分权重：
科技部分权重：
政治部分权重：
总分
本次抽样调查的样本容量是 表中 ， ， ．
从受调查者中随机抽取一人，求抽到的受调查者收看两会的总时长在“”范围内的概率．
该校党支部欲从收看两会的总时长在“”的范围内的受调查者中，选取问卷成绩较好的一人作为学生代表，在校周会上进行发言经过初步筛选后，有甲、乙、丙三位学生入选，各自对应的问卷成绩如表所示不完整根据表，请你判断甲、乙、丙三位学生中，哪位学生可以作为学生代表进行发言，并说明理由．
下表是某口罩生产厂对一批口罩质量检测的情况：
抽取口罩数
合格品数
合格品频率 精确到
， ；
从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率估计值是多少？精确到
若要生产个合格的口罩，该厂估计要生产多少个口罩？
对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频率表如下：
抽取件数
合格频数
合格频率
计算表中，的值并估计任抽一件衬衣是合格品的概率．
估计出售件衬衣，其中次品大约有几件．
在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数
摸到白球的频数
摸到白球的频率
按表格数据格式，表中的______；______；
请估计：当次数很大时，摸到白球的频率将会接近______精确到；
请推算：摸到红球的概率是______精确到；
试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：位同学摸到红球的频率的平均数为，
红球比白球多．
故选：．
计算出摸出红球的平均数后分析，若得到到的平均数大于，则说明红球比白球多，反之则不是．
考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．易错点是得到红球可能的情况数．
2.【答案】
【解析】解：、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的概率为，故A符合题意；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是：；故B不符合题意；
C、暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故C不符合题意；
D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故D不符合题意．
故选：．
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
3.【答案】
【解析】解：当时，黄豆发芽的频率是，所以黄豆发芽概率为；此推断错误；
根据表格数据，估计黄豆发芽的概率为；此推断正确；
若时，估计黄豆发芽的粒数约为此结论正确．
故选：．
根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于，由于试验次数较多，可以用频率估计概率．
本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
4.【答案】
【解析】解：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误；
将减去它的，再减去剩下的，再减去余下的，再减去余下的依次减下去，一直到减去余下的，结果是，正确，
．
故正确；
实验的次数越多，频率越靠近理论概率，故正确；
对于任何实数、，多项式的值不小于，正确，
，
，，
，
故正确．
其中正确的个数是．
故选：．
根据平行线的性质即可判断；
根据题意列出算式，进行化简计算即可；
利用频率估计概率的方法即可判断；
根据配方法先将多项式进行配方，再利用非负数的性质进行计算即可．
本题考查了频数估计概率、非负数的性质：偶次方、配方法的应用、平行线的性质、规律型：数字的变化类，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
5.【答案】
【解析】
【解答】
解：根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率
A、同时抛掷两枚硬币，落地后两枚硬币正面都朝上的概率为，故A选项错误；
B、一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故 B选项错误；
C、抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是的概率是，故C选项正确；
D、一个不透明的袋子中有个白球、个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球的概率为，故 D选项错误．
故选：．
【分析】
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．

6.【答案】
【解析】解：设袋中绿球有个，
根据题意，得：，
解得，
即袋中绿球数为，
故选：．
设袋中绿球有个，根据经大量实验，发现摸到绿球的频率稳定在估计摸到绿球的频率为，据此建立关于的方程，解之即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】解：、如图，在一次实验中，老师共做了次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率为．
B、如图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为．
C、如图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率为．
D、有张卡片，分别标有数字，，；，，，；将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于”的卡片的概率为，
因为最小，
故选：．
利用概率公式求出概率后即可判断．
本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.【答案】
【解析】解：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，幼苗成活的频率会越来越稳定，因此可以用频率估计概率，此选项正确；
B.可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值，此选项说法正确；
C.由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为，此选项说法正确；
D.如果在此条件下再移植这种幼苗株，则大约成活株，此选项说法错误；
故选：．
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．据此逐一判断即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．据此逐一判断即可．
10.【答案】
【解析】解：由于一枚质地均匀的硬币，只有正反两面，故正面朝上的概率是；
由于把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，标奇数和偶数的转盘各占一半．指针落在奇数区域的次数与总次数的比值为．
由于圆锥是均匀的，所以落在圆形纸板上的米粒的个数也是均匀的分布的，与纸板面积成正比，可验证其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值为．
三个试验均科学，故选A．
分析每个试验的概率后，与原来的掷硬币的概率比较即可．
选择和抛硬币类似的条件的试验验证抛硬币实验的概率，是一种常用的模拟试验的方法．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】解：由合格品的频率都在上下波动，
所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是，
故答案为：．
根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．
14.【答案】
【解析】解：从这批足球中，任意抽取一只足球是优等品的概率的估计值是．
故答案为：．
由表中数据可判断频率在左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只足球是优等品的概率为．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
15.【答案】
【解析】解：如果试验的次数增多，出现数字“”的频率的变化趋势是接近．
故答案为：．
根据概率公式直接求解即可．
考查了利用频率估计概率的知识，实验次数越多，出现某个数的变化趋势越接近于它所占总数的概率．
16.【答案】
【解析】解：由表知，早高峰期间，乘坐线路“用时不超过分钟”的概率为，
线路分钟之内到达学校的概率为，线路分钟之内到达学校的概率为，
若要在分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐线路，
故答案为：，．
用乘坐线路“用时不超过分钟”的班次数量除以总数量即可得出答案；先结合表中数据得出两线路分钟之内到达学校的概率，从而得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
17.【答案】
【解析】解：
，
依此估计这种幼树成活的概率是，
故答案为：．
首先计算出总的成活树的数量，再计算出总数，然后利用成活的树的数量总数即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】
【解析】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近，
这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为．
故答案为：；
根据题意列表如下：
共有种等可能的情况数，其中两次抽取的卡片上都写有“中”的有种，
则两次抽取的卡片上都写有“中”的概率是．
根据大量的试验结果稳定在左右即可得出结论；
根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：观察表格得：随着投掷次数的增大，石子落在阴影内的频率值稳定在；
设封闭图形的面积为，根据题意得：
，
解得：，
则封闭图形的面积为平方米．
【解析】本题考查了几何概率、利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
根据大量试验时，频率可估计概率解答；
利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积即可．
20.【答案】
【解析】解：填表如下：
射击次数
击中靶心次数
击中靶心频率
故答案为：，，，，，，，，；
由于击中靶心的频率都在左右摆动，故这个射手射击一次，击中靶心的概率约是．
根据表格中所给的样本容量和频数，求比值算出击中靶心的频率，填入表中．
用频率来估计概率，频率一般都在左右摆动，所以估计概率为，这是概率与频率之间的关系，即用频率值来估计概率值．
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：；
原来有红球个，
原来共有球个，
原来有黑球个，
由题意可得：，
解得：．
经检验是方程的解，
的值为．
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是弄清频率与概率的关系．
取出黑球的概率取出红球球的概率；
先求出原来的球的总数，然后可得原来黑球的数量，然后根据关系式：列出关于的方程解之即可．
【解答】
解：摸到黑球的概率是：，
故答案为；
见答案．
22.【答案】解：；；；；
从受调查者中随机抽取一人，共有种等可能情况，其中“抽到的受调查者收看两会的总时长在“”范围内”记为事件的情况有种，
乙学生可以作为学生代表进行发言．
理由如下：分，
，
乙学生可以作为学生代表进行发言．
【解析】
【分析】
本题考查了频数率分布表，频数与频率，样本估计总体，利用频率估计概率，加权平均数的知识，关键是读懂题意，从频数分布表中获取信息；
根据频率进行计算即可；
利用频率估计概率即可；
利用加权平均数计算出甲的成绩，然后进行比较大小即可．
【解答】
解：，
，
，
时，频数为，
，
故答案为；；；；
见答案；
见答案．
23.【答案】解：；；
由图可知，随着抽取的口罩数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动，所以任意抽取的一个是合格品的概率估计值是；
．
答：该厂估计要生产个口罩．
【解析】
【分析】
本题考查了频数与频率及利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
利用频率的定义计算；
根据频率估计概率，频率都在左右波动，所以可以估计这批口罩合格品概率的估计值是；
根据 计算即可．
【解答】
解：；，
故答案为；；
见答案；
见答案．
24.【答案】解：，，
估计任抽一件衬衣是合格品的概率为；
次品的件数约为件．
【解析】根据频率合格频数抽取件数可得、的值，再根据大量重复实验下，频率稳定的数值即可估计任抽一件衬衣是合格品的概率；
用总数量合格的概率列式计算即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
25.【答案】；；
；
；
【解析】
【分析】
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为．
根据频率频数样本总数分别求得、的值即可；
从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在左右；
摸到红球的概率为；
根据红球的概率公式得到相应方程求解即可．
【解答】
解：，；
当次数很大时，摸到白球的频率将会接近；
摸到红球的概率是；
设红球有个，根据题意得：，
解得：；
故答案为：，；；；．

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