24.1 旋转 同步练习（含答案）
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24.1 旋转同步练习
沪科版初中数学九年级下册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题
如图，将绕边的中点顺时针旋转嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
小明为保证嘉洪的推理更严谨，想在方框中“，”和“四边形”之间作补充，下列正确的是
A. 嘉淇推理严谨，不必补充 B. 应补充：且
C. 应补充：且 D. 应补充：且
如图，在中，，，垂足为点，一直角三角板的直角顶点与点重合，这块三角板绕点旋转，两条直角边始终与、边分别相交于、，则在运动过程中，与的关系是
A. 一定相似 B. 一定全等 C. 不一定相似 D. 无法判断
如图，在矩形中，把沿折叠，点恰好落在矩形的对称中心处，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，将绕点逆时针旋转得，点在上，若，，则
A.
B.
C.
D.
已知点关于原点的对称点在第二象限，则的取值范围是
A. B. C. D.
如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是
A.
B.
C.
D. 不能确定
如图，、、三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点逆时针旋转得到，则的值为
A.
B.
C.
D.
已知正方形和正六边形边长均为，把正方形放在正六边形中，使边与边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旋转；再绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点，间的距离可能是
A. B. C. D.
如图， 中，，，将 绕点旋转至 的位置，使点落在上，交于点，则的值为
A. B. C. D.
如图，矩形的边在轴上，点在第二象限，点在第一象限，，，将矩形绕点旋转，使点落在轴上，则点对应点的坐标是
A. B.
C. 或 D. 或
如图，在矩形中，点是的中点，点是的中点，连接，是的中点，连接在中，，若将绕点逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段长的最大值是
A. B. C. D.
二、填空题
如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是______．
如图，四边形为正方形，，把绕点逆时针旋转得到，连接，则______．
如图，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是______．
如图，正方形和，，，连接，若绕点旋转，当最大时，______．
正方形中，点在边上，，，将线段绕点逆时针旋转，使点落在直线上的点处，则的长度为______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个的正方形网格中有一个格点设网格中小正方形的边长为个单位长度．
在网格中画出向上平移个单位，在向左平移个单位后得到的；
在网格中画出绕点逆时针旋转后得到的；
从到所划过的痕迹长为多少？
在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点、的对应点分别是、．
当点恰好在上时，如图，求的大小；
若时，点是边中点，如图，求证：四边形是平行四边形．
如图，点，分别在正方形的边，上，且把绕点顺时针旋转得到．
求证：≌．
若，，求正方形的边长．
如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
当点在线段上时，如图，求证：∽．
当点在线段的延长线上时，如图，和是否相似？说明理由；若，，求的长．
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，
画出将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到的，并直接写出坐标：______，______，______，______，______，______；
画出将绕原点顺时针方向旋转得到，并直接写出坐标：______，______，______，______
在轴上存在一点，满足点到与点距离之和最小，请求出点的坐标．
如图，等腰直角三角形的直角顶点为正方形的中心，点，分别在和上，现将绕点逆时针旋转角，连接，如图．
在图中，______；用含的式子表示
在图中猜想与的数量关系，并证明你的结论．
如图，是等边内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后得到．
求点与点之间距离；
求的大小。
已知如图，正方形，为边上一点，绕点逆时针旋转后得到．
如果，求的度数；
与的位置关系如何？说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
故选B．
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
本题考查平行四边形的判定，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
，，
，
∽，
故选：．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
3.【答案】
【解析】解：如图，连接，
把沿折叠，点恰好落在矩形的对称中心处，
，，
的等边三角形，
，
，
故选：．
根据折叠的性质得到，，推出的等边三角形，根据等边三角形的性质得到，求得．
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，中心对称，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图将绕点顺时针旋转得到由旋转不变性可知：，，推出是等腰直角三角形，推出，推出当的值最大时，的值最大，利用三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题
【解答】
解：如图将绕点顺时针旋转得到．
由旋转不变性可知：，，
是等腰直角三角形，
，
当的值最大时，的值最大，
，
，
的最大值为，
的最大值为，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由旋转可得，≌，
，，
，
又，
，
又，
∽，
，即，
，
，
故选：．
根据，，即可判定∽，再根据相似三角形的性质，即可得到的长，进而得到的长．
本题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解一元一次不等式组和关于原点对称的点的坐标，关键是根据点关于原点的对称点在第二象限，则点在第四象限，得到关于的不等式组，再求解即可．
【解答】
解：依题意得点在第四象限，
解得：．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形的面积等于三角形的面积是解此题的关键．
根据正方形的性质得出，，，推出，证出≌．
【解答】
解：
四边形和四边形都是正方形，
，，，
．
在与中，
，
≌，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：如图所示：连接，，
由网格利用勾股定理得：，，，
，
是直角三角形，
则，
，
故选：．
利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，根据锐角三角函数关系进而得出答案．
此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理及其逆定理和锐角三角函数关系，得出是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，在这样连续次旋转的过程中，点的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点，间的距离大于等于小于等于，
当正方形和正六边形的边重合时，点，间的距离可能是或，
故选：．
如图，在这样连续次旋转的过程中，点的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点，间的距离大于等于小于等于，由此即可判断．
本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
10.【答案】
【解析】解：过点作于点，如图所示：
，，
．
绕点旋转至 的位置，
，，
，
，
．
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
在中，，
，，
，
∽，
．
故选：．
过点作于点，由等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和旋转的性质可求得、、、和的度数；进而可判定为等腰直角三角形，设，用含的式子分别表示出、和；由可判定∽，由相似三角形的性质可得比例式，将相关线段代入计算即可得出答案．
本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、解直角三角形和相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质以及分类讨论的思想，先求出，然后分两种情况讨论：当顺时针旋转至矩形时，当逆时针旋转至矩形时，分别求解即可．
【解答】
解：在矩形中，，，，
由勾股定理得：，
，
．
当顺时针旋转至矩形时，如图，
，，
过点作于，则，，
；
当逆时针旋转至矩形时，如图，
，，
过点作于，则，，
综上所述，点对应点的坐标是或，
故选 C．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，含角的直角三角形性质，解题关键是判断出最长时点的位置连接、，在旋转的过程中，的长度保持不变始终等于，在中，，当，，三点共线且点在、之间时，最大，求出即可求解．
【解答】
解：如图，旋转到图中位置，连接、，
在中，，，，
，，
旋转前点是的中点，点是的中点，
，，
．
在中，点是的中点，
．
在的旋转过程中，的长不变，
在中，，
当，，三点共线且点在、之间时，最大，此时，，
的最大值为．
故选C．
13.【答案】
【解析】解：绕直角顶点顺时针旋转得到，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
根据旋转的性质可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得结果．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接，，过作于，
由旋转可得，，，，
，
≌，
，
由旋转可得，，，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
中，，
．
连接，，过作于，判定≌，即可得出，再根据勾股定理求得的长，即可得到的长．
本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
15.【答案】
【解析】解：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，，，
，
，
，
由旋转的性质得：，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，，
；
故答案为．
连接交于，由菱形的性质得出，，，，，由直角三角形的性质求出，，得出，由旋转的性质得：，，得出，证出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：作于，如图，
，当绕点旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上，
当为此圆的切线时，最大，即，
在中，，
，
，
，
，
在和中
，
≌，
，
．
故答案为．
作于，如图，由于，则绕点旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上，当为此圆的切线时，最大，即，利用勾股定理计算出，接着证明≌得到，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
17.【答案】或
【解析】解：，，
正方形的边长为，
绕点旋转后点落在点处，
，
四边形为正方形，
，，
在和中，，
≌，
，
如图，点在线段上时，，
如图，点在的延长线上时，，
所以，、两点的距离为或．
故答案为：或．
先求出正方形的边长，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，根据正方形的性质可得，，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再分点在上与的延长线上两种情况列式计算即可得解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
18.【答案】解：如图所示．
如图所示．
从到所划过的痕迹长
【解析】分别作出，，的对应点，，即可．
分别作出，，的对应点，，即可．
利用弧长公式计算即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换，轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19.【答案】解：如图，
绕点顺时针旋转得到，点恰好在上，
，，，
，
，
；
证明：连接，如图，
点是边中点，
，
，，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，，，
，和为等边三角形，
，
点为的边的中点，
，
则，，，
≌，
，
，
而，
四边形是平行四边形．
【解析】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．
如图，利用旋转的性质得，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，从而利用互余计算出的度数；
如图，利用直角三角形斜边上的中线性质得到，利用含度的直角三角形三边的关系得到，则，再根据旋转的性质得到，，，从而得到，和为等边三角形，接着证明≌得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．
20.【答案】证明：≌，
，，
，，
，
，
，
≌．
解：设，则，，
≌，
，
，
，
，
，
，
解得，或舍弃，
正方形的边长为．
【解析】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
想办法证明，根据证明三角形全等即可．
设，则，，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
21.【答案】证明：和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
∽；
∽；理由如下：
，
即，
，
，
又，
∽；
，
的顶点与的斜边的中点重合，
，
，
解得：，
，
在中，，
，
，，
在中，．
【解析】由等腰直角三角形的性质得出，由三角形外角性质得出，即，推出，即可得出结论；
由三角形外角性质得出，即，推出，又，得出∽；得出，由题意得出，则，解得，推出，在中，，得出，，在中，由勾股定理即可求出的长．
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：如图所示，为所求作的三角形．
，，．
故答案为，，，，，；
如图所示，为所求作的三角形．
，．
故答案为，，，；
作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点
坐标为，坐标为，
所在直线的解析式为：，
令，则，
点的坐标．
分别将点、、向上平移个单位，再向右平移个单位，然后顺次连接得到，然后写出，，的坐标即可；
根据网格结构找出点、、以点为旋转中心顺时针旋转后的对应点，然后顺次连接得到，然后写出，的坐标即可；
首先作点关于轴的对称点，再连接与轴的交点即为点利用待定系数法求出直线的解析式，将代入，计算出的值，即可得到点的坐标．
本题考查了利用旋转和平移变换作图，轴对称的性质，利用待定系数法求直线的解析式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置作出所需图形是解题的关键．
23.【答案】
理由如下：
如图，四边形为正方形，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中
，
≌，
．
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．
如图，利用旋转的性质得到，再根据正方形的性质得到，从而得到；
如图，利用正方形的性质得，，再利用为等腰直角三角形得到，利用的结论得到，则可证明≌，从而得到．
【解答】
解：如图，
绕点逆时针旋转角，
，
四边形为正方形，
，
；
故答案为；
见答案．
24.【答案】解：如图，连接，由题意可知，，
故为等边三角形，
；
利用勾股定理的逆定理可知：
，
为直角三角形，且
．
【解析】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理的知识点，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变
由已知绕点逆时针旋转后，得到，可得，旋转角，所以为等边三角形，即可求得；
由为等边三角形，得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出，可求的度数．
25.【答案】解：绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，
，
．
结论：．
理由：延长交于，
绕点按逆时针方向旋转得到，
，
，
，
，
．
【解析】根据旋转的性质得，，，求出，进而可解决问题．
延长交于，根据旋转的性质得，由于，则，根据三角形内角和定理可计算出，于是可判断．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
第8页，共27页
第7页，共27页
24.1 旋转同步练习
沪科版初中数学九年级下册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题
如图，将绕边的中点顺时针旋转嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
小明为保证嘉洪的推理更严谨，想在方框中“，”和“四边形”之间作补充，下列正确的是
A. 嘉淇推理严谨，不必补充 B. 应补充：且
C. 应补充：且 D. 应补充：且
如图，在中，，，垂足为点，一直角三角板的直角顶点与点重合，这块三角板绕点旋转，两条直角边始终与、边分别相交于、，则在运动过程中，与的关系是
A. 一定相似 B. 一定全等 C. 不一定相似 D. 无法判断
如图，在矩形中，把沿折叠，点恰好落在矩形的对称中心处，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，将绕点逆时针旋转得，点在上，若，，则
A.
B.
C.
D.
已知点关于原点的对称点在第二象限，则的取值范围是
A. B. C. D.
如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是
A.
B.
C.
D. 不能确定
如图，、、三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点逆时针旋转得到，则的值为
A.
B.
C.
D.
已知正方形和正六边形边长均为，把正方形放在正六边形中，使边与边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旋转；再绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点，间的距离可能是
A. B. C. D.
如图， 中，，，将 绕点旋转至 的位置，使点落在上，交于点，则的值为
A. B. C. D.
如图，矩形的边在轴上，点在第二象限，点在第一象限，，，将矩形绕点旋转，使点落在轴上，则点对应点的坐标是
A. B.
C. 或 D. 或
如图，在矩形中，点是的中点，点是的中点，连接，是的中点，连接在中，，若将绕点逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段长的最大值是
A. B. C. D.
二、填空题
如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是______．
如图，四边形为正方形，，把绕点逆时针旋转得到，连接，则______．
如图，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是______．
如图，正方形和，，，连接，若绕点旋转，当最大时，______．
正方形中，点在边上，，，将线段绕点逆时针旋转，使点落在直线上的点处，则的长度为______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个的正方形网格中有一个格点设网格中小正方形的边长为个单位长度．
在网格中画出向上平移个单位，在向左平移个单位后得到的；
在网格中画出绕点逆时针旋转后得到的；
从到所划过的痕迹长为多少？
在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点、的对应点分别是、．
当点恰好在上时，如图，求的大小；
若时，点是边中点，如图，求证：四边形是平行四边形．
如图，点，分别在正方形的边，上，且把绕点顺时针旋转得到．
求证：≌．
若，，求正方形的边长．
如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
当点在线段上时，如图，求证：∽．
当点在线段的延长线上时，如图，和是否相似？说明理由；若，，求的长．
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，
画出将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到的，并直接写出坐标：______，______，______，______，______，______；
画出将绕原点顺时针方向旋转得到，并直接写出坐标：______，______，______，______
在轴上存在一点，满足点到与点距离之和最小，请求出点的坐标．
如图，等腰直角三角形的直角顶点为正方形的中心，点，分别在和上，现将绕点逆时针旋转角，连接，如图．
在图中，______；用含的式子表示
在图中猜想与的数量关系，并证明你的结论．
如图，是等边内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后得到．
求点与点之间距离；
求的大小。
已知如图，正方形，为边上一点，绕点逆时针旋转后得到．
如果，求的度数；
与的位置关系如何？说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
故选B．
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
本题考查平行四边形的判定，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
，，
，
∽，
故选：．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
3.【答案】
【解析】解：如图，连接，
把沿折叠，点恰好落在矩形的对称中心处，
，，
的等边三角形，
，
，
故选：．
根据折叠的性质得到，，推出的等边三角形，根据等边三角形的性质得到，求得．
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，中心对称，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图将绕点顺时针旋转得到由旋转不变性可知：，，推出是等腰直角三角形，推出，推出当的值最大时，的值最大，利用三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题
【解答】
解：如图将绕点顺时针旋转得到．
由旋转不变性可知：，，
是等腰直角三角形，
，
当的值最大时，的值最大，
，
，
的最大值为，
的最大值为，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由旋转可得，≌，
，，
，
又，
，
又，
∽，
，即，
，
，
故选：．
根据，，即可判定∽，再根据相似三角形的性质，即可得到的长，进而得到的长．
本题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解一元一次不等式组和关于原点对称的点的坐标，关键是根据点关于原点的对称点在第二象限，则点在第四象限，得到关于的不等式组，再求解即可．
【解答】
解：依题意得点在第四象限，
解得：．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形的面积等于三角形的面积是解此题的关键．
根据正方形的性质得出，，，推出，证出≌．
【解答】
解：
四边形和四边形都是正方形，
，，，
．
在与中，
，
≌，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：如图所示：连接，，
由网格利用勾股定理得：，，，
，
是直角三角形，
则，
，
故选：．
利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，根据锐角三角函数关系进而得出答案．
此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理及其逆定理和锐角三角函数关系，得出是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，在这样连续次旋转的过程中，点的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点，间的距离大于等于小于等于，
当正方形和正六边形的边重合时，点，间的距离可能是或，
故选：．
如图，在这样连续次旋转的过程中，点的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点，间的距离大于等于小于等于，由此即可判断．
本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
10.【答案】
【解析】解：过点作于点，如图所示：
，，
．
绕点旋转至 的位置，
，，
，
，
．
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
在中，，
，，
，
∽，
．
故选：．
过点作于点，由等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和旋转的性质可求得、、、和的度数；进而可判定为等腰直角三角形，设，用含的式子分别表示出、和；由可判定∽，由相似三角形的性质可得比例式，将相关线段代入计算即可得出答案．
本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、解直角三角形和相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质以及分类讨论的思想，先求出，然后分两种情况讨论：当顺时针旋转至矩形时，当逆时针旋转至矩形时，分别求解即可．
【解答】
解：在矩形中，，，，
由勾股定理得：，
，
．
当顺时针旋转至矩形时，如图，
，，
过点作于，则，，
；
当逆时针旋转至矩形时，如图，
，，
过点作于，则，，
综上所述，点对应点的坐标是或，
故选 C．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，含角的直角三角形性质，解题关键是判断出最长时点的位置连接、，在旋转的过程中，的长度保持不变始终等于，在中，，当，，三点共线且点在、之间时，最大，求出即可求解．
【解答】
解：如图，旋转到图中位置，连接、，
在中，，，，
，，
旋转前点是的中点，点是的中点，
，，
．
在中，点是的中点，
．
在的旋转过程中，的长不变，
在中，，
当，，三点共线且点在、之间时，最大，此时，，
的最大值为．
故选C．
13.【答案】
【解析】解：绕直角顶点顺时针旋转得到，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
根据旋转的性质可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得结果．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接，，过作于，
由旋转可得，，，，
，
≌，
，
由旋转可得，，，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
中，，
．
连接，，过作于，判定≌，即可得出，再根据勾股定理求得的长，即可得到的长．
本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
15.【答案】
【解析】解：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，，，
，
，
，
由旋转的性质得：，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，，
；
故答案为．
连接交于，由菱形的性质得出，，，，，由直角三角形的性质求出，，得出，由旋转的性质得：，，得出，证出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：作于，如图，
，当绕点旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上，
当为此圆的切线时，最大，即，
在中，，
，
，
，
，
在和中
，
≌，
，
．
故答案为．
作于，如图，由于，则绕点旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上，当为此圆的切线时，最大，即，利用勾股定理计算出，接着证明≌得到，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
17.【答案】或
【解析】解：，，
正方形的边长为，
绕点旋转后点落在点处，
，
四边形为正方形，
，，
在和中，，
≌，
，
如图，点在线段上时，，
如图，点在的延长线上时，，
所以，、两点的距离为或．
故答案为：或．
先求出正方形的边长，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，根据正方形的性质可得，，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再分点在上与的延长线上两种情况列式计算即可得解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
18.【答案】解：如图所示．
如图所示．
从到所划过的痕迹长
【解析】分别作出，，的对应点，，即可．
分别作出，，的对应点，，即可．
利用弧长公式计算即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换，轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19.【答案】解：如图，
绕点顺时针旋转得到，点恰好在上，
，，，
，
，
；
证明：连接，如图，
点是边中点，
，
，，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，，，
，和为等边三角形，
，
点为的边的中点，
，
则，，，
≌，
，
，
而，
四边形是平行四边形．
【解析】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．
如图，利用旋转的性质得，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，从而利用互余计算出的度数；
如图，利用直角三角形斜边上的中线性质得到，利用含度的直角三角形三边的关系得到，则，再根据旋转的性质得到，，，从而得到，和为等边三角形，接着证明≌得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．
20.【答案】证明：≌，
，，
，，
，
，
，
≌．
解：设，则，，
≌，
，
，
，
，
，
，
解得，或舍弃，
正方形的边长为．
【解析】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
想办法证明，根据证明三角形全等即可．
设，则，，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
21.【答案】证明：和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
∽；
∽；理由如下：
，
即，
，
，
又，
∽；
，
的顶点与的斜边的中点重合，
，
，
解得：，
，
在中，，
，
，，
在中，．
【解析】由等腰直角三角形的性质得出，由三角形外角性质得出，即，推出，即可得出结论；
由三角形外角性质得出，即，推出，又，得出∽；得出，由题意得出，则，解得，推出，在中，，得出，，在中，由勾股定理即可求出的长．
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：如图所示，为所求作的三角形．
，，．
故答案为，，，，，；
如图所示，为所求作的三角形．
，．
故答案为，，，；
作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点
坐标为，坐标为，
所在直线的解析式为：，
令，则，
点的坐标．
分别将点、、向上平移个单位，再向右平移个单位，然后顺次连接得到，然后写出，，的坐标即可；
根据网格结构找出点、、以点为旋转中心顺时针旋转后的对应点，然后顺次连接得到，然后写出，的坐标即可；
首先作点关于轴的对称点，再连接与轴的交点即为点利用待定系数法求出直线的解析式，将代入，计算出的值，即可得到点的坐标．
本题考查了利用旋转和平移变换作图，轴对称的性质，利用待定系数法求直线的解析式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置作出所需图形是解题的关键．
23.【答案】
理由如下：
如图，四边形为正方形，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中
，
≌，
．
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．
如图，利用旋转的性质得到，再根据正方形的性质得到，从而得到；
如图，利用正方形的性质得，，再利用为等腰直角三角形得到，利用的结论得到，则可证明≌，从而得到．
【解答】
解：如图，
绕点逆时针旋转角，
，
四边形为正方形，
，
；
故答案为；
见答案．
24.【答案】解：如图，连接，由题意可知，，
故为等边三角形，
；
利用勾股定理的逆定理可知：
，
为直角三角形，且
．
【解析】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理的知识点，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变
由已知绕点逆时针旋转后，得到，可得，旋转角，所以为等边三角形，即可求得；
由为等边三角形，得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出，可求的度数．
25.【答案】解：绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，
，
．
结论：．
理由：延长交于，
绕点按逆时针方向旋转得到，
，
，
，
，
．
【解析】根据旋转的性质得，，，求出，进而可解决问题．
延长交于，根据旋转的性质得，由于，则，根据三角形内角和定理可计算出，于是可判断．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
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