24.2圆的基本性质 同步练习（含答案）

绝密★启用前
24.2圆的基本性质同步练习
沪科版初中数学九年级下册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题
如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则的直径长为
A.
B.
C.
D.
如图，的半径为，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为
A.
B.
C.
D.
往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为
A.
B.
C.
D.
已知锐角，如图，
在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；
分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，；
作射线交于点．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是
A. B.
C. D.
已知点在半径为的圆内，则点到圆心的距离可以是
A. B. C. D.
下列语句，错误的是
A. 直径是弦 B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 弦的垂直平分线一定经过圆心 D. 平分弧的半径垂直于弧所对的弦
如图，是的弦，点是优弧上的动点不与、重合，，垂足为，点是的中点．若的半径是，则长的最大值是
A.
B.
C.
D.
如图，在半径为的中，弦与交于点，，，，则的长是
A.
B.
C.
D.
如图是一个隧道的横截面，它的形状是以为圆心的圆的一部分，，直线交圆于，，则圆的半径为
A.
B.
C.
D.
如图，在网格中每个小正方形的边长均为个单位长度选取个格点．如果以点为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有个在圆内，则的取值范围为
A.
B.
C.
D.
如图，在中，弦，，，，分别为垂足，那么，的大小关系是
A.
B.
C.
D. 无法确定
如图，是的直径，点在上，点，是的三等分点，，则的度数是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为______．
如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为______．
已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为______．
我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺尺寸问这根圆形木材的直径是______寸．
在中，为直径，，点、均在上，，将沿翻折，翻折后点与点对应，当时，的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
如图，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有，，三棵树，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
如图，、、、是上四点，且，求证：．
如图，在中，．
尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点，连接不写作法，保留作图痕迹
若，，求的长．
如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点、，
若，求的度数；
若，，求的长．
已知：的半径为，弦，弦，求这两条平行弦，之间的距离．
如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点已知，．
求作此残片所在的圆不写作法，保留作图痕迹；
求中所作圆的半径．
如图，点是边上一点不与点、点重合，延长到，使，点是直线外一点，且，．
求证：≌；
已知，，连接．
若点是的外心，求的取值范围；
若，求的最小值．
如图，在中，，，点为直线上一点，点为延长线上一点，且，连接，．
求证：≌；
当时，求的度数；
点是的外心，当点在直线上运动，且点恰好在内部或边上时，直接写出点运动的路径的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】分析
连接，首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
详解
解：如图，连接．
，
，，
点是弧的中点，
，
，
，
，设，
在中，则有，
解得，
，
故选C．
2.【答案】
【解析】解：连接，
，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，
过点作轴于点，
则、，
，
又，
，
，
故选：．
由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．
本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．
【解答】
解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：
，
，
的直径为，
，
在中，，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由作图可知：射线即为的角平分线，
，
故C正确，不符合题意；
由作图可知：，，
是的垂直平分线，
，
故D正确，不符合题意；
由作图可知：，
是等边三角形，
，
，
故B正确，不符合题意；
，
当时，，
，
，
故A错误，符合题意；
故选：．
由作图知，，根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、角平分线的基本作图，逐一判断可得．
本题考查作图基本作图，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线这个基本作图，属于中考常考题型．
5.【答案】
【解析】解：点在半径为的圆内，
点到圆心的距离小于，
所以只有选项A符合，选项B、、都不符合；
故选：．
直接根据点与圆的位置关系进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
6.【答案】
【解析】解：直径是弦，A正确，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；
弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；
平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；
故选：．
根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆的有关概念判断即可．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握圆的有关概念、垂径定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆的相关概念，直角三角形斜边中线的性质，明确的最大值为的直径的长是解题的关键．
根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得的最大值是．
【解答】
解：，垂足为，
，
点是的中点．
，
的最大值是直径的长，的半径是，
的最大值为，
故选A．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
过点作于点，于，连接、、，由垂径定理得出，，得出，由勾股定理得出，
证出是等腰直角三角形，得出，，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案．
【解答】
解：过点作于点，于，连接、、，如图所示：
则，，
，
在中，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，，
；
故选：．
9.【答案】
【解析】解：连接，
是的弦的中点，
根据垂径定理：，
设圆的半径是，
在中，有，
即：，
解得：，
所以圆的半径长是．
故选：．
因为是的弦的中点，根据垂径定理，，在中，有，进而可求得半径．
此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，理解题意，属于中考常考题型，
如图求出、、、即可解决问题．
【解答】
解：如图，
，，，
，
时，以为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有个在圆内，
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，能根据垂径定理得出和是解此题的关键．连接、，根据垂径定理求出，，求出，根据勾股定理得出，，即可求出答案．
【解答】
解：连接、，
，过，
，
同理，
，
，
，，
，
由勾股定理得：，，
，，
．
故选C．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了弧与圆心角的关系、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质．
由，可求得，继而可求得的度数然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数．
【解答】
解：D、两点是的三等分点，
，
点是圆心，，
，
，
是直径，
，
，
，
，
．
13.【答案】
【解析】解：连接，
为的直径，，
，
设的半径为，
则，，
在中，，
，
解得：，
的半径为，
故答案为：．
连接，由垂径定理知，点是的中点，，在直角中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．
本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：过点作于点，
则，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为．
首先过点作于点，由，，，可求得的长，又由直角三角形斜边上的高等于两直角边乘积除以斜边，即可求得的长，由勾股定理求得的长，然后由垂径定理求得的长．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，作于，连接，
则，
在中，，
所以圆心到的距离为．
故答案为．
如图，作于，连接，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算的长即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
16.【答案】
【解析】解：由题意可知，
为半径，
尺寸，
设半径，
，
，
则中，根据勾股定理可得：，
解得：，
木材直径为寸；
故答案为：．
根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．
本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．
17.【答案】或
【解析】解：连接，
为直径，，
，
，，
或，
或，或，
，
，
，
或．
故答案为或．
连接，根据垂径定理，由折叠的性质得出或，进而求得，由勾股定理求得，然后根据勾股定理即可求得的长．
本题考查了垂径定理，对称的性质，以及勾股定理的应用，作出辅助线求得的长是解题的关键．
18.【答案】解：如图，即为所求作的花坛的位置．
【解析】本题考查确定圆的条件，找到圆心和半径是解题的关键．
作出两边、垂直平分线的交点即为的外接圆圆心，再以此点为圆心，以此点到点的长度为半径画圆，此圆即为花坛的位置．
19.【答案】证明：，
，
，
，
．
【解析】想办法证明即可．
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：如图，的外接圆即为所求；
连接，
．
是的直径，
，
，，
，
平分，
，
，，
．
答：的长为．
【解析】本题考查了作图复杂作图、角平分线的定义、三角形的外接圆与外心，
作的垂直平分线，即可作的外接圆；再作的角平分线交于点，连接即可；
根据，可得，再根据是的平分线即可求的长．
21.【答案】解：，
，
；
设半径是，
在直角中，，
则，
解得，
则．
【解析】根据垂径定理得到弧弧，然后根据相等的弧所对的圆心角相等求解；
在直角中利用勾股定理即可列方程求得半径，则即可求得．
本题考查了垂径定理，在圆中半径、弦长和弦心距的计算一般就是转化为直角三角形的计算．
22.【答案】解：如图，连接，，做交于点，
，
，
，，
，，
的半径为，
，
，，
，
，
如图，连接，，做直线交于点，
，
，
，，
，，
的半径为，
，
，，
，
．
平行弦，之间的距离为或．
【解析】分情况进行讨论，如图，和再圆心的同侧，连接，，作交于点，由，即可推出，则为，之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出和的长度，根据图形即可求出，通过计算即可求出的长度，和在圆心两侧，连接，，做直线交于点，由，即可推出，则为，之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出和的长度，根据图形即可求出，通过计算即可求出的长度．
本题主要考查垂径定理和勾股定理的运用，平行线间的距离的定义，平行线的性质等知识点，关键在于根据题意分情况进行讨论，正确的做出图形，认真的做出辅助线构建直角三角形，熟练运用垂径定理和勾股定理推出和的长度，利用数形结合的思想即可求出结果．
23.【答案】解：作弦或的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心，或、长为半径作圆，就是此残片所在的圆，如图．
如图，连接，设，则．
，
．
根据勾股定理列方程，得，
解得．
故所作圆的半径为．
【解析】本题主要考查了尺规作图，垂径定理，中垂线的性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决此题的关键．
由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心；
在中，由勾股定理可求得半径的长．
24.【答案】证明： ，
，
，
，
，
，
≌；
解：连接，
，，
，
点是边上一点不与点、点重合，
，
点是的外心，
；
当于时，最小，
，
，
，

，
．
【解析】本题考查全等三角形的判定，锐角三角函数，以及三角形的外心，综合运用所学知识解题是解题关键．
先得出，再根据平行线的性质得出，，即可判定；
先求出，进而得出，再根据点是的外心，得出，进而得出结论；
当于时，最小，求出，利用三角函数定义得出，然后根据求出即可．
25.【答案】证明：，
，
在和中，
，，，
≌；
若点在线段上时，
，，
，
，
．
≌，
，
若点在延长线上时，
≌，
，
综上所述：的度数为或；
点是的外心，
点在线段的垂直平分线上随点的运动而运动，
如图，过点作于点，
点恰好在的内部，
即为所求的点的运动路径，且，
，
．
即点运动的路径的长．
【解析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助线解决问题，学会用转化的思想思考问题．
根据边角边即可证明≌；
分两种情况：点在线段上时，点在延长线上时，根据，即可求的度数；
根据点是的外心，可得点在线段的垂直平分线上随点的运动而运动，过点作于点，根据点恰好在的内部，可得即为所求的点的运动路径，且，根据勾股定理求解．
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