24.4直线与圆的位置关系 同步练习（含答案）

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24.4直线与圆的位置关系同步练习
沪科版初中数学九年级下册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题
如图，的直径，切于点，平行于弦，，则的长为
A.
B.
C.
D.
如图，是的直径，交于点，于点，要使是的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是
A.
B.
C.
D.
如图，、为圆的切线，切点分别为、，交于点，的延长线交圆于点下列结论不一定成立的是
A. 为等腰三角形
B. 与相互垂直平分
C. 点、都在以为直径的圆上
D. 为的边上的中线
如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是
A.
B.
C.
D.
如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点若的半径为，点的坐标是则点的坐标是
A. B. C. D.
如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点给出下列四种说法：
；
；
四边形有外接圆；
是外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是
A. B. C. D.
如图，菱形的顶点，，在上，过点作的切线交的延长线于点若的半径为，则的长为
A.
B.
C.
D.
如图，内接于，垂直于过点的切线，垂足为已知的半径为，，那么
A.
B.
C.
D.
如图，为的切线，切点为连接、，与交于点，延长与交于点，连接若，则的度数为
A. B. C. D.
在中，，，，以为圆心，以长为直径的与直线的位置关系为
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 相离或相交
直线和半径为的圆相交，圆心到直线的距离是，则的取值范围是
A. B. C. D.
如图，与相切于点，若，则的度数为
A.
B.
C.
D.
二、填空题
如图，在中，的半径为，点是边上的动点，过点作的一条切线点为切点，则线段长的最小值为______．
如图，为等边三角形，，以点为圆心，半径为作为边上的一动点，过点作的一条切线，切点为，则的最小值是______．
如图，在中，，以上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，若，则的半径为______．
如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为，直线切于点，则线段取最小值时，点的坐标为______．
已知为的直径且长为，为上异于，的点，若与过点的的切线互相垂直，垂足为若等腰三角形的顶角为度，则，若为正三角形，则，若等腰三角形的对称轴经过点，则，无论点在何处，将沿折叠，点一定落在直径上，其中正确结论的序号为______．
三、解答题
如图，是半圆的直径，，是半圆上不同于，的两点，，与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点．
求证：≌；
若，求证：平分．
如图，是的直径，是是一点，过点作的切线，与延长线交于点，连接，交于点，连接交于点．
求证：平分；
连接，若，求的长．
如图，已知是的直径，于点，连接，弦，直线交直线于点．
求证：直线是的切线；
若，，，求的长．
如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点．
求证：；
若，，求的长．
如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线交于．
求证：；
如果，的直径是，求的长．
已知：如图，中，，以为直径的半圆交于，是的中点．
求证：直线是半圆的切线．
如图，在中，，过延长线上的点作，交的延长线于点，以为圆心，长为半径的圆过点．
求证：直线与相切；
若，的半径为，则______．
如图，已知中，，，，点是边的一点，且，是的外接圆，
求证：；
判断与直线的位置关系，并说明理由；
请直接写出的半径．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】本题综合考查切线、平行线、圆周角的性质，锐角三角函数的定义等知识点的运用．此题是一个综合题，难度中等．
首先由切线的性质得出，根据锐角三角函数的定义求出的值；连接，由直径所对的圆周角是直角，得出，又由平行线的性质知，则，在直角中，由余弦的定义求出的长．
【解答】解：连接，
是直径，
，
，
，
，
切于点，
，
，
．
又，，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：当时，如图：连接，
是的直径，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，
是的切线．
所以B正确．
当时，，是的中位线，
是的切线．
所以C正确．
当时，，．
是的切线．
所以D正确．
故选A．
根据，连接，利用圆周角定理可以得到点是的中点，是的中位线，，然后由，得到，可以证明是的切线．
根据，，得到是的中位线，同上可以证明是的切线．
根据，，得到，可以证明是的切线．
本题考查的是切线的判断，利用条件判断是的切线，确定正确选项．
3.【答案】
【解析】解：、为圆的切线，
，
是等腰三角形，故A正确．
由圆的对称性可知：，但不一定平分，
故B不一定正确．
连接、，
、为圆的切线，
，
点、、在以为直径的圆上，故C正确．
是等腰三角形，，
为的边上的中线，故D正确．
故选：．
根据切线的性质即可求出答案．
本题考查切线的性质，解题的关键是熟练运用切线的性质，本题属于中等题型．
4.【答案】
【解析】解：与相切于点，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
；
故选：．
由切线的性质得出，求出，证出，得出，得出，由直角三角形的性质得出，，，得出，再由直角三角形的性质即可得出结果．
本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出是解题的关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出的长度．设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，证明四边形为正方形，求得，再根据垂径定理求得，进而得、，便可得点坐标．
【解答】
解：设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，
则轴，轴，
，
四边形是矩形，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：，是的两条切线，，为切点，
，所以正确；
，，
垂直平分，所以正确；
，是的两条切线，，为切点，
，，
，
点、在以为直径的圆上，
四边形有外接圆，所以正确；
只有当时，，此时，
不一定为外接圆的圆心，所以错误．
故选：．
利用切线长定理对进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对进行判断；由于只有当时，，此时，则可对进行判断．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练切线的性质定理是解题的关键．连接，根据菱形的性质得到，求得，根据切线的性质得到，即可得到结论．
【解答】
解：连接，
四边形是菱形，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、相似三角形的性质和判定等知识点，能够正确作出辅助线是解此题的关键．
作的直径，连接，求出∽，求出，再解直角三角形求出即可．
【解答】
解：如图，作的直径，连接，
垂直于过点的切线，垂足为，
，，
，
，
∽，
，
的半径为，，
，
即，
，
故选B．
9.【答案】
【解析】解：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由切线的性质得出，由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，再由三角形的外角性质即可得出答案．
本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
，
上的高为：，
即圆心到直线的距离是，
，
与直线相离，
故选：．
此题首先应求得圆心到直线的距离，据直角三角形的面积公式即可求得；若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据三角形的面积求出斜边上的高的长度是解答此题关键．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
11.【答案】
【解析】见答案
12.【答案】
【解析】
【分析】
连接、，由切线的性质知，从而得，由内角和定理知，根据圆周角定理可得答案．
本题主要考查切线的性质及圆周角定理，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
【解答】
解：如图，连接、，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
13.【答案】
【解析】解：连接．
是的切线，
；
根据勾股定理知，
当时，线段最短，
在中，，
，
，
．
故答案为．
首先连接，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案．
本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当时，线段最短是关键．
14.【答案】
【解析】解：作于，过作的一条切线，切点为，连接，如图所示：
是等边三角形，，
，，
，
是的一条切线，
，，
，
当点与重合时，与重合，
此时最小，
故答案为：．
作于，过作的一条切线，切点为，连接，由等边三角形的性质和勾股定理得出，由切线的性质得出，由勾股定理求出，当点与重合时，与重合，此时最小．
本题考查了切线的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值、垂线段最短等知识；熟练掌握切线的性质和勾股定理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接，
为半径的圆与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
故，
解得：，
则的半径为：．
故答案为：．
直接利用切线的性质得出，进而利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出的半径．
此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，正确得出的度数是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：连接、，如图，
直线切于点，
，
在中，，
当最小时，最小，
当直线时，有最小值，
的最小值为．
设点的横坐标为，
，
，
点的纵坐标，
点的坐标为，
故答案为
连接、，如图，根据切线的性质得，再利用勾股定理得到，利用垂线段最短，当最小时，最小，然后求出的最小值，得到的最小值，于是得到结论．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
17.【答案】
【解析】解：，
，
和圆相切，，
，，
，，
，过点作，垂足为，
则，
而，，，
，故错误；
若为正三角形，
，，
，
，，
过点作，垂足为，
四边形为矩形，
，故正确；
若等腰三角形的对称轴经过点，如图，
，而，
，又，
，
四边形为矩形，
，故正确；
过点作，垂足为，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，，，
≌，
，
垂直平分，则点和点关于对称，
即点一定落在直径上，故正确．
故正确的序号为：，
故答案为：．
过点作，垂足为，求出，得到，再说明，利用，得到，即可判断；过点作，垂足为，证明四边形为矩形，即可判断；画出图形，证明四边形为矩形，即可判断；过点作，垂足为，证明≌，从而说明垂直平分，得到点和点关于对称，即可判断．
本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的性质，垂径定理，知识点较多，多为一些性质定理，解题时要逐一分析，利用性质定理进行推导．
18.【答案】证明：是半圆的直径，
，
在与中，，
≌；
解：，由知，
，
是半圆所在圆的切线，
，
，
由知，
，
，
，
，，
，
平分．
【解析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
根据圆周角定理得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．
19.【答案】证明：为的直径，
，
，
，
，
，
平分；
解：是的切线，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
．
【解析】根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据垂径定理即可得到结论；
根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，角平分线的判定，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
20.【答案】解：连接，
，
，，
又，
，
，
在和，
，
≌，
，
，即，
，
即，
是的切线；
在中，由勾股定理得，
，
，，
，
，
∽，
，
．
【解析】根据平行线的性质，全等三角形的判定和性质以及垂直的定义可得出即可；
在直角三角形中由勾股定理求出，再根据相似三角形的判定和性质，可求出．
本题考查切线的判定，相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法以及相似三角形、全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．
21.【答案】解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
是的切线，为切点，
，
，
，
，
，
；
，，
是的中位线，
，，
，
设，，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
【解析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的性质得到，等量代换即可得到结论；
根据三角形中位线定理得到，设，，证明∽，根据相似三角形的性质即可得到结论．
22.【答案】证明：连接，，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
；
解：，
设，，
，
，
，
，，
，
，
．
【解析】连接，，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，根据切线的性质即可得到结论；
设，，根据勾股定理得到，求得，，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
23.【答案】证明：连接，．
是直径，
，
，
又是的中点，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的切线．
【解析】连接，，利用等边对等角即可证得，从而证得是圆的切线．
本题考查了切线的判定，直角三角形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．解决本题的关键是正确作出辅助线．
24.【答案】
【解析】证明：连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
点在圆上，
直线与相切；
解：，
，
，
，
；
故答案为：．
连接，由等腰三角形的性质得出，，证出，得出，即可得出结论；
由勾股定理得出，得出，再由三角函数定义即可得出结果．
本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握切线的判定方法和等腰三角形的性质是解题的关键
25.【答案】证明：中，
，，
，
，且，
∽．
与直线相切
理由如下：
如图，作直径，交于点，连结，
为的直径，
，
，又由得，
，
，
为的直径，
与直线相切
，
，
的半径为
【解析】通过证明∽，可得；
作直径，交于点，连结，由圆周角定理可求，可证，即可得与直线的位置关系；
利用锐角三角函数可求，的长，由勾股定理可求的长，的长，可得的半径．
本题考查了直线与圆的位置关系，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，证明∽是本题的关键．
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