24.7弧长与扇形面积 同步练习（含答案）

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24.7弧长与扇形面积同步练习
沪科版初中数学九年级下册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题
如图，线段经过的圆心，，分别与相切于点，若，，则的长度为
A. B. C. D.
一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的倍，则这条弧的半径为
A. B. C. D.
如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为
A.
B.
C.
D.
如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面不计损耗，则该圆锥的底面半径为
A. B. C. D.
如图，是的直径，是弦，点，在直径的两侧．若：：：：，，则的长为
A.
B.
C.
D.
如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为
A.
B.
C.
D.
如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗，则圆锥的底面半径为
A. B. C. D.
如图，半径为的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为、若为，则图中阴影部分的面积为
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，，以的中点为圆心，的长为半径作半圆交于点，则图中阴影部分的面积为
A. B. C. D.
如图，将边长为的正六边形铁丝框面积记为变形为以点为圆心，为半径的扇形面积记为，则与的关系为
A. B. C. D.
下列选项中，能够被半径为的圆及其内部所覆盖的图形是
A. 长度为线段 B. 斜边为的直角三角形
C. 面积为的菱形 D. 半径为，圆心角为的扇形
下列说法：优弧比劣弧长；三点可以确定一个圆；长度相等的弧是等弧；经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题
如图，内接于，为的直径，，为上一点，，则劣弧的长为______．
如图，已知四边形是的内接四边形，且是等边三角形，的半径为，则劣弧的长为______．
如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点顺时针旋转，点旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为______．
如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______
如图，点、分别是半圆上的三等分点，若阴影部分的面积是，则半圆的半径的长为______．
如图所示的扇形中，，，为上一点，，连接，过作的垂线交于点，则图中阴影部分的面积为______．
三、解答题
如图，内接于，，点在直径的延长线上，且．
试判断与的位置关系，并说明理由；
若，求阴影部分的面积．
如图，是的直径，为的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点．
求证：为的切线；
若于点，且，，求图中阴影部分的面积．
如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是的最大扇形，
求的长；
求图中阴影的面积；
若用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径．
如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求图中阴影部分的面积．
在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边长为个单位长度．
画出关于原点的中心对称图形；
画出将绕点顺时针旋转得到．
在的条件下，求点旋转到点所经过的路线长结果保留．
如图，是的直径，是的弦，，垂足为，：：，．
求的半径；
点为圆上一点，，将沿弦翻折，交于点，求图中阴影部分的面积．
在一空旷场地上设计一落地为矩形的小屋，，拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为
如图，若，则______．
如图，现考虑在中的矩形小屋的右侧以为边拓展一正区域，使之变成落地为五边形的小屋，其他条件不变，则在的变化过程中，当取得最小值时，求边的长及的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得是解题的关键．
连接、，根据切线性质和，易证得和是等腰直角三角形，进而求得，，根据弧长公式求得即可．
【解答】
解：连接、，
，分别与相切于点，．
，，
，
，
，
，，
，
，
，
的长度为：，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：设弧所在圆的半径为，
由题意得，，
解得，．
故选：．
设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为的圆的周长的倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．
解决本题的关键是熟记圆周长的计算公式和弧长的计算公式，根据题意列出方程．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．连接，根据圆周角定理得出为圆的直径，解直角三角形求出，根据扇形面积公式求出即可．
【解答】
解：如图所示
连接，
从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，即，
为直径，即，扇形的半径相等，
，
，
阴影部分的面积是，
故选A．

4.【答案】
【解析】解：过作于，，，
，
，
弧的长，
设圆锥的底面圆的半径为，则，解得．
故选：．
根据等腰三角形的性质得到的长，再利用弧长公式计算出弧的长，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
5.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了勾股定理和弧长公式，能求出半径的长是解此题的关键．
根据平角定义和已知求出，，，求出，解直角三角形求出半径，再根据弧长公式求出即可．
【解答】
解：：：：：，
，
，，，
，
，，
，
，
的长是，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
四边形是矩形，
连接，
点是的中点，
，
，
≌，
，
矩形是正方形，
，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，连接，根据全等三角形的性质得到，得到矩形是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是圆锥的表面积，其中根据已知制作一个无盖的圆锥形容器的扇形铁皮的相关几何量，计算出圆锥的弧长，是解答本题的关键．由圆锥的几何特征，我们可得用半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径．
【解答】
解：扇形的半径为，面积为，
扇形的圆心角的度数为．
扇形的弧长为．
圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，
，
．
故选B．

8.【答案】
【解析】解：连接，
，，，
四边形是矩形，
，
，
由矩形易得到≌，
图中阴影部分的面积扇形的面积，
图中阴影部分的面积，
故选：．
连接，易证得四边形是矩形，则≌，得到，图中阴影部分的面积扇形的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形的面积等于阴影的面积是解题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查扇形面积的计算、锐角三角函数定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，作出合适的辅助线，即可求得的长、的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积减去的面积和扇形的面积，从而可以解答本题．
【解答】
解：连接，，作于．
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积是：，
故选A．
10.【答案】
【解析】解：由题意：，
，
，
，
故选：．
由正六边形的性质的长的长，根据扇形面积公式弧长半径，可得结果．
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：半径为的圆的直径为，
A、，
长度为线段不能够被半径为的圆及其内部所覆盖；
B、，
斜边为的直角三角形不能够被半径为的圆及其内部所覆盖；
C、面积为的菱形的长的对角线，
面积为的菱形不能够被半径为的圆及其内部所覆盖；
D、半径为，圆心角为的扇形的弦为，
半径为，圆心角为的扇形能够被半径为的圆及其内部所覆盖；
故选：．
根据图形中最长的的线段与圆的直径相比较即可判断．
本题考查了三角形的外接圆，菱形的性质，求得图形中最长的线段是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：优弧比劣弧长，不一定，在同圆或等圆中结论成立，故错误．
三点可以确定一个圆，错误，应该是过不在同一直线上的三个点确定一个圆．故错误．
长度相等的弧是等弧，错误，长度相等的弧不一定相等，等弧的长度相等，故错误．
经过圆内的一个定点可以作无数条弦，故正确．
故选：．
根据等弧的定义，优弧，劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义一一判断即可．
本题考查等弧的定义，优弧，劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
的直径，
劣弧的长为：．
故答案为：．
根据同弧所对的圆周角相等，可求得，又可以求得，继而可以求劣弧的长．
此题考查了圆的有关性质和弧长的计算．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14.【答案】
【解析】解：连接、，
是等边三角形，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
则劣弧
故答案为：
连接、，根据圆内接四边形的性质得出，根据圆周角定理求出的度数，然后根据弧长公式求解．
本题考查了弧长的计算，圆内接四边形的性质，解答本题的关键是根据圆周角定理求出的度数，注意掌握弧长公式．
15.【答案】
【解析】解：由图可得，
图中阴影部分的面积为：，
故答案为：．
根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形的面积之和减去半圆的面积．
本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键．
求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．
【解答】
解：如图，连接，，，
，，，
≌，
，
，
是等边三角形，
，
由题意得，阴影扇形的半径为，圆心角的度数为，
则扇形的弧长为：，
而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：
，
解得，，
故答案为：．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查扇形的面积，解题的关键是理解阴影部分的面积等于扇形的面积．
连接、，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形的面积，列式计算就可．
【解答】
解：连接、、．
和等底等高，
．
点，为半圆的三等分点，
，
阴影部分的面积，
阴影部分的面积是，
，
，
故答案为．
18.【答案】
【解析】解：，，
，
扇形中，，
，
是等边三角形，
过作的垂线交于点，
，
，
，，
图中阴影部分的面积
．
故答案为．
根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算．
本题考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等边三角形的判定和性质．
19.【答案】为的切线．
理由：连接、，如图，
为的直径，
，
又，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
为的切线；
解：由可知为直角三角形，且，，
，
阴影部分的面积为．
故阴影部分的面积为．
【解析】连接、，可求得，可证明为等边三角形，求得，即可证明为的切线；
结合可得到，，再根据三角形的面积公式和扇形面积公式即可求解．
本题主要考查切线的判定和性质，掌握切线的证明方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点证明垂直，没有切点时，作垂直证明距离等于半径．注意这类问题的常用辅助线的作法．
20.【答案】证明：连接，如图所示：
是的切线，
，
，
，
，
，
，
即，
点在上，
为的切线；
解：，
，，
，
，
，
，
．
【解析】首先连接，由是的切线，可得，又由，，易证得，即可证得为的切线；
在中，求出，得出的度数，又由，即可求得答案．
此题考查了切线的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及扇形的面积；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：，
为的直径，即，
；
；
设所得圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得．
【解析】根据圆周角定理由得为的直径，即，根据等腰直角三角形的性质得；
用圆的面积减去扇形的面积即可求解；
由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则，然后解方程即可．
本题考查了扇形的面积计算以及圆锥的计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：．
22.【答案】解：直线与相切，
理由：连接，
，
，
，
，
在中，，
，
即：，
，
又是半径，
直线与相切；
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积．
【解析】根据等边对等角得到，，推出，即，于是得到结论；
根据三角形的内角和定理得到，推出是等边三角形，得到，求得，，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，含角直角三角形，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；
由勾股定理可得，
弧的长．
【解析】首先根据中心对称的性质，找出对应点的位置，再顺次连接即可；
先根据旋转方向，旋转角度以及旋转中心，找出对应点的位置，再顺次连接即可；
依据弧长计算公式，即可得到点旋转到点所经过的路线长．
本题考查作图旋转变换，关键是正确找出对应点的位置．
24.【答案】解：连接，如右图所示，
为的直径，，，
，
：：，
：：，，垂足为，
设的半径为，则，
，
解得，或舍去，
，
即的半径是；
如图所示，将阴影部分沿翻折，点的对应点为，
，由对称性可知，，，
连接，则，
，
过点作于点，
，
．
【解析】根据，垂足为，：：，，可以求得的半径；
要求阴影部分的面积只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇形的面积和三角形的面积即可解答本题．
本题考查垂径定理、扇形的面积、翻折变换，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
25.【答案】
【解析】解：如图，拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗可以活动的区域如图所示：
由图可知，小狗活动的区域面积为以为圆心、为半径的圆，以为圆心、为半径的圆和以为圆心、为半径的圆的面积和，
，
故答案为：；
如图，
设，则，
，
当时，取得最小值，的最小值为，
．
小狗活动的区域面积为以为圆心、为半径的圆，以为圆心、为半径的圆和以为圆心、为半径的圆的面积和，据此列式求解可得；
此时小狗活动的区域面积为以为圆心、为半径的圆，以为圆心、为半径的圆、以为圆心、为半径的圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域及利用扇形的面积公式表示出活动区域面积．
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