绝密★考试结束前
2021学年第一学期温州十校联合体期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知:
本卷共4页满分150分,考试时间120分钟;
2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字;
3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效
4.考试结束后,只需上交答题纸。
选择题部分(共60分)
、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的
1.已知空间向量a=(2,-3,4,b=(-4m,n),若a/b,则实数m+n=()
A.2
B.-2
C.1
D.-1
2.直线√x-3y+7=0的倾斜角为()
K
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
3.已知双曲线Cx
9b21的焦距为10,则双曲线C的渐近线方程为()
A.y=土,xB.y=±x两C.y=土x
D.y=±x
3
34)
4.已知m∈R,则“3m-2+6-m
=1表示椭圆”的(
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.在平面直角坐标系中,坐标原点O到过点A(co00s00),B(cos0s40)的直线距离为
√3
A
B
C
D.1
2
2
6.已知正方体ABCD-ABC1D1的棱长为3,点P在棱AA上,且PA=1,则直线DP与DB1
所成角的余弦值为()
95
3√10
A
B.0
C
10
15
10
高二数学学科试题第1页(共4页)
7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P为抛物线C上一点,点4(2,2)则|P4+|PF的最小
值为()
共,小,小共大本,空
A
B.2
C
D.32)=0
8.在长方体ABCD-ABCD中,AD=3,AA1=5,AB=4,E,F,G分别是棱CD1,BC,CC1的中点,M
是平面ABCD内一动点,若直线DM与平面EFG平行,则MBMD的最小值为()
75
A
B.25
C.10√2
5
D
√3
4
二、多项选择题(每小题5分,共20分。每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的
得5分,错选或不选得0分,部分选对的得2分)
9.下列四个结论正确的有()
符
对于任意两个向量ab,若ab=0,则a=0或b=0或a上B0
B.若空间中点P,A,B,C满足PC=-PA+PB,则A,B,C三点共线
4
C.空间中任意三个向量,C都满足(ab)c-a(6)=0
点(
D.对于任意两个向量a,b,都有|aba||b
10.已知直线y=x+b与曲线x-1-y2=0有且仅有一个公共点,则b的取值可以是()
A.=√2
B
D.1
2
11已知双曲线C过点(2,3),且渐近线方程为y=±√3x,则下列结论正确的是()
A.双曲线C的离心率为√3
B.左焦点到渐近线的距离为3,点两,M千交3圆
C.双曲线的实轴长为1
D.过右焦点截双曲线C所得弦长为6的直线只有
条
12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262年至前190年)与欧几里得、阿基米德齐名,著
有《圆锥曲线论》八卷。他发现平面内到两个定点的距离之比为定值(≠1)的点所形成的图形是
圆.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系xOy中,
A(-1,0),B(-0)点P满足PB1
PA 1
设点P所构成的曲线为E,下列结论正确的是(
A.曲线E的圆心坐标为(-,0)00
交的的
B.SPBK≤4
C.曲线E的周长为
D.曲线E上的点到直线x+y-1=0的最小距离为(2-1)
高二数学学科试题第2页(共4页)2021 学年第一学期温州十校联合体期中联考
高二数学评分标准与参考答案
一、单选题(5×8=40 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C D C B D A
8. 解析：易得平面 D1AC//平面 EFG, 可知 M 的轨迹是直线 AC，
1 MB 2 2 1 751 MD1= （[ MB1+MD1） （MB1 MD1）] ≥ (100 25)= . 选 A. 也可建系，利用坐标法求解. 4 4 4
二、选择题(4×5=20 分，全部选对的得 5 分，错选或不选得 0 分，部分选对的得 2 分)
题号 9 10 11 12
答案 AB ACD BD ABD
三、填空题.（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
39
13. 186 ； 14．-4 ； 15． ； 16． (2 3, 7)
2 2
x x y y
16．解析：设 P(x0 , y0 ) ，利用△=0
y
可求得切线方程为 0 + 0 =1，从而可知Q(0, 0 ) ，
4 3 3
3 7
| OR | | OP |=OP OQ = 3为定值， | OP |∈ ( 3,2) ， | OR | + | OP |= + | OP |∈ (2 3, )
| OP | 2
四、解答题：本大题共 5 小题，每小题 14 分，满分 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步
骤.
17. 解：（Ⅰ）由 (a 1) x + y + 2+ a = a(x +1) x + y + 2=0， ---------2分
x +1= 0
令 ，解得 x = 1, y = 3.
x + y + 2 = 0
所以直线 l 过定点 P（-1，-3）. ---------4分
点 A(2,1)到直线 l 距离的最大值为 | PA |= 9 +16 = 5 . ---------7分
（用点到直线距离公式表示出距离 d，再求最大值可以酌情给分）
（Ⅱ）令 y=0
a 2
，得 x = ；令 x=0，得 y = a 2 . ---------11分
a 1
a 2
依题意， = a 2，解得 a=2 或 a=-2 ---------14分
a 1
高二数学参考答案 1 / 4
2 0 1
18.解：(Ⅰ)依题意，直线 l 经过圆的圆心 C（3,0），所以直线斜率为 k = = ， -----4分
1 3 2
1
所以直线 l 的方程为 y = (x 3)，化简得： x + 2y 3 = 0 . ---------7分
2
(Ⅱ)由 MC⊥NC 及圆的半径为 4，可得 | MN |= 4 2 ，圆心 C 到直线的距离为2 2 . --------9分
设直线 l 的斜率为 m，则直线的方程为 y 2 = m(x +1)， --------10分
| 4m + 2 |
圆心 C 到直线 l 的距离d = = 2 2 ， ---------12分
1+m2
解得m = 1 6± ，所以直线 l 的方程为 y 6= ( 1± )(x +1) + 2 . ---------14分
2 2
1
19.解： (Ⅰ)依题意，点 A( ,1)坐标满足方程 y2 = 2 px ，∴p=1. ---------2分
2
∴抛物线的方程为 y2 = 2x . ---------4分
y2 = 2x
(Ⅱ)设直线 l 的方程为 x = my + t ，联立方程组 ，消去 x 得，
x = my + t
y2 2my 2t = 0 . ---------6分
∴ y1 + y2 = 2m, y1 y2 = 2t < 0 . ---------7分
OP OQ = x1x y y
1
2 + 1 2 = (y1 y )
2
2 + y y
2
1 2 = t 2t = 3, ---------9分 4
解得 y1 y2 = 6或2(舍) ---------11分
| y1 | +2 | y2 |≥ 2 2 | y1 y2 | = 4 3 . ---------12分
∴ t = 3或t = 1(舍)
所以 | y1 | +2 | y2 |的最小值为 4 3 , 直线 l： x = my + 3恒过定点(3, 0). ---------14分
20.解：（Ⅰ）证明：连接 PE，AE，因为三角形 PBC 为正三角形，
PE⊥BC. ---------1分
又四边形 ABCD 为菱形，且∠ADB=60o，所以△ABC 也是正三角形
高二数学参考答案 2 / 4
所以 AE⊥BC. ---------3分
AE∩PE=E，AE,PE 平面 PAE
∴BC⊥平面 PAE. ---------5分
又 PA 平面 PAE，∴BC⊥PA. ---------6分
（Ⅱ）由平面 PMB⊥平面 ABCD，及 PE⊥BC 可得，PE⊥平面 ABC.
直线 EA,EB,EP 两两垂直，以 E 为原点，直线 EA,EB,EP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系.
菱形 ABCD 边长为 2，所以可求得
A( 3,0,0), E(0,0,0), P(0,0, 3),C(0, 1,0) ， z
CA=（ 3，1,0），CP=（0,1，3），PA = ( 3,0, 3) ------8分 P
设平面 PAC 的法向量为 n = (x, y, z) ，则
F
n CA = 3x + y = 0 C
，取 z =1, y = 3, x =1 D
n CP = y + 3z = 0
E
A B
可得其中一个法向量 n = (1, 3,1) ---------10分 x y
因为 F 是线段 PA 上的点，所以存在实数λ（0 ≤ λ ≤1）使得 PF = λPA=（ 3λ， 0， - 3λ）
EF = EP + PF = EP + λPA=(0,0, 3)+( 3λ， 0， - 3λ）=( 3λ， 0， 3- 3λ） ---------11分
设直线 EF 与平面 PAC 所成的角为θ ，则
sinθ | cos EF ,n | | EF n | 3 3= < >= = =
| EF | | n | 2 2 5 1+ 3+1 3λ + 3(λ 1)
1 2
解得λ = ， . ---------13分
3 3
所以，线段 PA 上存在点 F 满足题意，且 F 为线段 PA 的两个三等分点. ---------14分
21. 解：（Ⅰ）依题意，点 P 的轨迹 E 是以 F1( 1,0)、 F2 (1,0)为焦点，长轴为 2 3 的椭圆. ----2分
x2 y2
设 E : 2 + 2 =1，则 a = 3,c = a
2 b2 =1
a b
E x
2 y2
故轨迹 的方程为 + =1． ---------4分
3 2
（Ⅱ）设直线 l 方程为 y = k(x +1)，
E x
2 y2
代入 的方程 + =1， 整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0． ---------6 分
3 2
设点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，
高二数学参考答案 3 / 4
x x 6k
2 3k 2 6
可得 1＋ 2＝ ，x1x2＝ ． ---------7分
2+ 3k 2 2+ 3k 2
4 2 2
| MN |= 1+ k 2 (x 2 2 36k 4(3k 6) k +11 + x2 ) 4x1x2 = 1+ k = 4 3 ---------9分 (2 + 3k 2 )2 2 + 3k 2 2 + 3k 2
2
由 | MN |
8
≥ 3 4 3 k +1 8得，
5 2 + 3k 2
≥ 3 ，
5
解得 k 2 ≤1. ---------10分
因为 A( 3 ，0)，B( 3 ，0)，
所以 AM · NB ＋ AN · MB ＝(x1＋ 3 ，y1)·( 3 －x2，－y2)＋(x2＋ 3 ，y2)·( 3 －x1，－y1)
2
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x
2k +12
1＋x2)－2k2＝ 6+ ．
2+ 3k 2
6 2k
2 +12 6 2 k
2 + 6 6 2 32 1+ = + = + +
由已知得 2+ 3k 2 3 2 2 3 9 ---------12 分 k + k 2 2+
3 3
∵ 0 ≤ k 2 ≤1，
44 6 2 32 1≤ + + ≤12
∴ 5 3 9 k 2 2 . +
3
44
AM NB + AN MB的取值范围是[ ,12] . ---------14 分 5
高二数学参考答案 4 / 4
