5.6二次函数的图象与一元二元方程 同步练习（含答案）

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5.6二次函数的图象与一元二元方程同步练习
青岛版初中数学九年级下册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题
抛物线的对称轴为直线若关于的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，则的取值范围是
A. B. C. D.
如图，二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：，，，，当时，其中正确结论的个数是
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线关于下列结论：；；；；方程的两个根为，，其中正确的结论有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，抛物线经过点，与轴交于，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中：；方程的解为和；；，其中正确的结论有
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
已知二次函数，当时，该函数取最大值设该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，若，则的取值范围是
A. B. C. D.
二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线说法正确的是
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线与轴有两个交点
C. 抛物线是对称轴 D. 抛物线经过
关于的函数与坐标轴有两个交点，则的取值有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如表给出了二次函数中，的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解为
A. B. C. D.
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴交轴于点，，并与抛物线的对称轴交于点现有下列结论：；；；其中所有正确结论的序号是
A. B. C. D.
如图，抛物线的顶点为，且与轴有一个交点为，直线与抛物线交于、两点，下列结论：
；；方程有两个相等的实数根；抛物线与轴的另一个交点坐标是；当时，有，其中正确的是
A. B. C. D.
抛物线与坐标轴的交点个数为
A. B. C. D.
已知二次函数的图象与轴分别交于，两点如图所示，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的纵坐标与横坐标之和为
A. B. C. D.
二、填空题
若抛物线与轴交于点、，与轴交于点，则称为“抛物三角线”特别地，当时，称为“正抛物三角形”；当时，称为“倒抛物三角形”那么，当为“倒抛物三角形”时，、应分别满足条件______．
若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为______．
如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为给出四个结论：；；；其中，正确的是______．
如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为 在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标______．
如图抛物线的对称轴是，与轴的一个交点为，则不等式的解集为______．
三、解答题
已知关于的二次函数的图象与轴总有交点，求的取值范围．
已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如下表：
求的表达式；
关于的不等式的解集是______．
小云在学习过程中遇到一个函数．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
当时，对于函数，即，当时，随的增大而______，且；对于函数，当时，随的增大而______，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而______．
当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：
结合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．
过点作平行于轴的直线，结合的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是______．
如图，抛物线与轴、轴分别相交于点、两点，其顶点为．
求这条抛物线的解析式；
若抛物线与轴的另一个交点为求的面积．
设二次函数、是常数，．
判断该二次函数图象与轴交点的个数，并说明理由；
若该二次函数图象经过点，，求该二次函数图象与轴的交点坐标．
如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，顶点为求二次函数的解析式及四边形的面积．
已知二次函数．
求出该函数的顶点坐标，图象与轴的交点坐标，
当在什么范围内时，随的增大而增大？当在什么范围内时，随的增大而减小？当在什么范围内时，？
已知：抛物线
判断抛物线与轴的交点个数，并说明理由；
把该抛物线沿轴向上平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解．
【解答】
解：的对称轴为直线，
，
，
一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，
方程在的范围内有实数根，
当时，；
当时，；
函数在时有最小值；
．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于中档题．
利用抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得，则可对进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征得，，则，所以，于是可对进行判断；由于，利用可得，再根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在和之间，则时，函数值为正数，即，由此可对进行判断；观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，则可对进行判断．
【解答】
解：由抛物线开口向下，
，
对称轴在轴的右侧，
，
，所以正确；
点和都在抛物线上，
，，
，
而，
，所以错误，正确；
，
而，
，即，
抛物线与轴的一个交点坐标为，而抛物线的对称轴在轴右侧，在直线的左侧，
抛物线与轴的另一个交点在和之间，
时，，即，
，所以正确；
时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，
或或，所以错误．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】
解：抛物线开口向下，
，
，
，，
，
错误，正确，
抛物线与轴交于，处两点，
，方程的两个根为，，
正确，
当时，即，
正确，
故正确的有．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：抛物线经过点，
，
，故本选项正确；
由对称轴为，一个交点为，
另一个交点为，
方程的解为和，故本选项正确；
由对称轴为，
，
，则，故本选项正确；
抛物线与轴交于，
，
，
，故本选项正确；
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴计算与偶的关系，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
5.【答案】
【解析】解：二次函数，当时，该函数取最大值，
，该函数解析式可以写成，
设该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，，
当时，，
即，解得，，
的取值范围时，
故选：．
根据二次函数，当时，该函数取最大值，可以写出该函数的顶点式，得到，再根据该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，，可知，当时，，即可得到的取值范围，本题得以解决．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6.【答案】
【解析】解：、，则抛物线的开口向上，故本选项不符合题意；
B、当时，，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与轴有两个交点，故本选项符合题意；
C、抛物线的对称轴为直线，故本选项不符合题意；
D、当时，，则抛物线不经过点，故本选项不符合题意．
故选：．
根据二次函数的性质对、进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对进行判断；利用方程解的情况对进行判断．
本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：关于的函数的图象与坐标轴有两个交点，
可分如下三种情况：
当函数为一次函数时，有，
，此时，与坐标轴有两个交点；
当函数为二次函数时，与轴有一个交点，与轴有一个交点，
函数与轴有一个交点，
，
，
解得；
函数为二次函数时，与轴有两个交点，与轴的交点和轴上的一个交点重合，即图象经过原点，
，
．
当，此时，与坐标轴有两个交点．
综上所述，的取值为，，，
故选：．
由题意函数与坐标轴有两个交点，要分三种情况：函数为一次函数时；函数为二次函数，与轴有一个交点，与轴有一个交点；函数为二次函数，与轴的交点也在轴上，即图象经过原点．针对每一种情况，分别求出的值．
此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与轴无交点，其图象在轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
8.【答案】
【解析】解：如图：
，，，，的一个近似根是．
故选：．
根据函数值，可得一元二次方程的近似根．
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，图象与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解．
9.【答案】
【解析】解：观察图象开口向下，，
所以错误；
对称轴在轴右侧，，
所以正确；
因为抛物线与轴的一个交点的坐标为，
对称轴在轴右侧，
所以当时，，即，
所以错误；
抛物线与轴交于，两点，
，
，
四边形为矩形，
，
，
所以正确．
综上：正确．
故选：．
根据抛物线开口方向即可判断；
根据对称轴在轴右侧即可判断的取值范围；
根据抛物线与轴的交点坐标与对称轴即可判断；
根据抛物线与轴的交点坐标及对称轴可得，再根据，即可得结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点进行计算．
10.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标
抛物线的对称轴为直线，
，所以正确；
抛物线开口向下，
，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以错误；
抛物线的顶点坐标，
时，二次函数有最大值，
方程有两个相等的实数根，所以正确；
抛物线与轴的一个交点为
而抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，所以错误；
抛物线与直线交于，点
当时，，所以正确．
故选：．
根据抛物线对称轴方程对进行判断；由抛物线开口方向得到，由对称轴位置可得，由抛物线与轴的交点位置可得，于是可对进行判断；根据顶点坐标对进行判断；根据抛物线的对称性对进行判断；根据函数图象得当时，一次函数图象在抛物线下方，则可对进行判断．
本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
先计算自变量为对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【解答】
解：当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为，
所以抛物线与坐标轴有个交点．
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的坐标轴的交点，以及轴对称最短路径问题，确定的位置是本题的关键．首先求得、以及的坐标，和函数对称轴的解析式，然后利用待定系数法求得的解析式，与二次函数的对称轴的交点就是，求得的坐标即可求得结果．
【解答】
解：连接，交抛物线的对称轴于点，
、两点关于抛物线的对称轴对称，
此时取得最小值．
在中，令，则，
解得：或．
则的坐标是，的坐标是，
则对称轴是．
令，解得，则的坐标是．
设经过和的直线的解析式是．
根据题意得：
解得：
则的解析式是，
令，则．
．
故选：．

13.【答案】，
【解析】解：抛物线的对称轴是轴，
、关于轴对称，
，
又，
，即抛物线与轴的负半轴相交，
又抛物线与轴交于点、，
函数开口向上，
．
故答案是：，．
根据、关于轴对称，则，则的符号即可确定，然后根据抛物线与轴有交点，则可以确定开口方向，从而确定的符号．
本题考查了二次函数的性质，正确确定二次函数的开口方向是本题的关键．
14.【答案】或或
【解析】解：当，即时，函数解析式为，与轴只有一个交点；
当，即时，根据题意知，，
整理，得：，
解得：或；
综上，的值为或或．
故答案为：或或．
分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与轴只有一个交点时，据此求解可得．
本题考查了抛物线与轴的交点：求二次函数是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系，决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
15.【答案】
【解析】解：图象与轴有交点，对称轴为，与轴的交点在轴的正半轴上，
又二次函数的图象是抛物线，
与轴有两个交点，
，即，故正确；
抛物线的开口向下，
，
与轴的交点在轴的正半轴上，
，
对称轴为，
，
，，故错误；
根据，对称轴为，
可知当时，，即，故正确；
把，代入解析式得，，
两边相加整理得，即，故正确；
故答案为：．
由图象与轴有交点，对称轴为，与轴的交点在轴的正半轴上，可以推出，可对进行判断；
由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上得到，由对称轴为，可以进行分析判断；
根据，对称轴为，可知当时，，可对进行分析判断；
把，代入解析式得，，两边相加整理得，即，即可对进行判断．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等根据直线的解析式求得点，那么把，坐标代入即可求得函数解析式，据此知抛物线的对称轴，点关于对称轴的对称点为点易得当的值最大时，连接交对称轴的一点就是令过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点坐标．
【解答】
解：直线与轴交于点，
点坐标为，
将、坐标代入，
得
解得：．
抛物线的解折式为；
则抛物线的对称轴为，、关于对称，
，
要使最大，即是使最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当、、在同一直线上时的值最大．
易知直线的解析式为，
，
解得：．
则，
故答案为
17.【答案】
【解析】解：根据图示知，抛物线图象的对称轴是，与轴的一个交点坐标为，
根据抛物线的对称性知，抛物线图象与轴的两个交点关于直线对称，即
抛物线图象与轴的另一个交点与关于直线对称，
另一个交点的坐标为，
不等式，即，
抛物线的图形在轴上方，
不等式的解集是．
故答案为：．
先根据抛物线的对称性得到另一个交点坐标，由得函数值为正数，即抛物线在轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式的解集．
此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与轴的交点，然后由图象找出当时，自变量的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
18.【答案】解：关于的二次函数的图象与轴总有交点，
所以，
解得，
又因为该函数是关于的二次函数，
所以，所以，
所以的取值范围是：．
【解析】因为题中条件要求该函数为关于的二次函数，所以只用根据二次函数与轴交点的个数的判定，即与的等量关系即可．
本题主要考查对于二次函数与轴交点的个数的判定，即与的等量关系来求出的取值范围，同时要注意题中条件是关于的二次函数．
19.【答案】或
【解析】解：根据题意设的表达式为：
，
把代入得，
；
当时，；当时，；
直线与抛物线的交点为和，
而或时，，
不等式的解集是或．
故答案为：或．
根据题意设出的表达式，再把代入，求出的值，即可得出的表达式；
利用表中数据得到直线与抛物线的交点为和，或时，，从而得出不等式的解集．
本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数、、是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
20.【答案】减小 减小 减小
函数图象如图所示：
【解析】解：当时，对于函数，即，当时，随的增大而减小，且；对于函数，当时，随的增大而减小，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而减小．
故答案为：减小，减小，减小．
函数图象如图所示：
直线与函数的图象有两个交点，
观察图象可知，时，的值最大，最大值，
故答案为
利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．
利用描点法画出函数图象即可．
观察图象可知，时，的值最大．
本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：由题意得：，
解得，，
故抛物线的线的解析式为；
令，得，
解得或，
，
顶点坐标为，
．
【解析】由于抛物线的解析式中只有两个未知数，因此可根据，两点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．
令，求出抛物线与轴的另一个交点坐标，再求出抛物线的顶点坐标，顶点纵坐标即为三角形边上的高，根据三角形的面积公式求解即可．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、抛物线和轴的交点问题，以及二次函数的性质，是基础知识要熟练掌握．
22.【答案】解：该二次函数图象与轴交点的个数是个或个，理由如下：
，
该二次函数图象与轴交点的个数是个或个．
把点，代入，中，
得．
解得．
故该二次函数解析式是：．
当时，．
解得，．
该二次函数图象与轴的交点坐标是，．
【解析】此题主要考查了抛物线与轴的交点以及一元二次方程的解法，得出的值是解题关键．
首先求出的值，进而得出答案；
利用待定系数法确定二次函数解析式，然后由一元二次方程与二次函数解析式的转化关系求得抛物线与轴的交点坐标．
23.【答案】解：设二次函数解析式为，
把，代入得：，
解得：，
则二次函数解析式为；
，
顶点的坐标为，
由，对称轴为直线可知另一个与轴的交点，
，
．
【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
根据二次函数的对称轴为直线，设出二次函数解析式，把与坐标代入求出与的值，确定出二次函数解析式；
找出函数图象顶点的坐标，进而根据对称性求得的坐标，根据求得即可．
24.【答案】解：，
顶点坐标为，
令，则，
整理得：，
解得：，，
函数图象与轴的交点坐标为，；
，
，抛物线开口向下，对称轴为，
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小，
函数图象与轴的交点坐标为，，
当时，．
【解析】把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标和对称轴即可，然后令解方程求出的值，即可得到与轴的坐标即可；
根据函数的对称轴，开口方向，与轴的交点得出结论．
本题考查了二次函数图象以及二次函数的性质，主要考查了顶点坐标的求解和与轴的交点的求解方法，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
25.【答案】解：抛物线与轴有两个交点，理由如下：
，
抛物线与轴有两个交点；
设该抛物线沿轴向上平移个单位长度，
由于，
所以该抛物线沿轴向上平移个单位长度后的解析式为：．
所以．
解得．
即把该抛物线沿轴向上平移个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点．
【解析】根据根的判别式符号进行判断；
由“左加右减，上加下减”的规律写出变换后的函数解析式，并利用求得平移的长度单位．
考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换．
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