7.1几种常见的几何体 同步练习（含答案）

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7.1几种常见的几何体同步练习
青岛版初中数学九年级下册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有个面是三角形；乙同学：它有条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是
A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱锥
已知线段，，则点的位置是在：线段上；线段的延长线上；线段的延长线上；直线外，其中可能出现的情况有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
如图是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图所示，若乙槽底面积为壁厚不计，则乙槽中铁块的体积为
A. B. C. D.
如图，一个容量为的杯子中装有的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为
A. B. C. D.
下列几何体中，是棱锥的为
A. B. C. D.
下列图形属于平面图形的是
A. 立方体 B. 球 C. 圆柱 D. 三角形
将下列各选项中的平面图形绕轴旋转一周，可得到如图所示的立体图形的是
A.
B.
C.
D.
下列选项中的图形绕虚线旋转一周，能形成如图所示几何体的是
A.
B.
C.
D.
下列几何体中，是圆柱的为
A. B.
C. D.
一个表面涂满色的正方体，现将棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体问：其中三面都涂色的、两面都涂色的、只有一面涂色的以及各面都没有涂色的小正方体的个数分别为
A. ；；；
B. ；；；
C. ；；；
D. ；；；
将一个棱长为且为正整数的正方体木块的表面染上红色，然后切成个棱长为的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的倍，则等于
A. B. C. D.
在下列立体图形中，属于棱柱的是
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
如图，长、宽均为，高为的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为，绕底面一棱进行倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图是此时的示意图，则图中水面高度为______．
如图，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有个点时，线段总共有条；如果线段上有个点时，线段总共有条；如果线段上有个点时，线段总共有条；
当线段上有个点时，线段总共有________条．
当线段上有个点时，线段总共有________用含的代数式表示条．
将一个长，宽的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为 ．
中国武术中有“枪扎一条线，棍扫一大片”这样的说法，这句话说明______．
九章算术中记载这样一个数学问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方立方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？”译文“体积为立方寸的宝玉重两；体积为立方寸的石料重两．现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长为寸，总重两．问宝玉和石料各重多少两注：寸是长度单位？”设正方体中宝玉重两，石料重两，则可列方程组为______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
图是一个几何体从不同方向看到的形状．
写出这个几何体的名称
根据图中标出的数据求出这个几何体的体积和表面积．
如图所示，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的正方体堆成的一个几何体．
这个几何体由______个正方体组成。
如果在这个几何体的表面露出的部分，不含接触地面的底面喷上黄色的漆，则在所有的正方体中，有_____个正方体只有一个面的是黄色，有_____个正方体只有两个面是黄色有____个正方体只有三个面是黄色．
用棱长为的若干小正方体按如图所示的规律在地面上搭建若干个几何体，图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第层为正整数．
搭建第个几何体的小立方体的个数为______；
分别求出第、个几何体的所有露出部分不含底面的面积；
为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆不含底面，已知喷涂需要油漆克，求喷涂第个几何体，共需要多少克油漆？
用一张大正方形的纸片制作一个尽可能大的无盖长方体盒子．
若大正方形边长为，在它的四个角分别减去一个边长为小正方形，求折成的无盖长方体盒子的容积为多少？
在中，将小正方形的边长改为其中为整数，其他条件不变，求为何值时，无盖长方体容积最大？
若大正方形边长为，小正方形边长为，则折成的无盖长方体的体积表示为 直接写结论，并指明、之间的大小关系，如
小红，小华和小明准备用透明胶和张大小相同的正方形硬纸板制作一些长方体纸盒，如图，三人分别将正方形硬纸板按各自方案裁剪，然后各取两张制作成一个长方体纸盒，现在需要你的帮忙：制作前，要画出长方体纸盒的直观图，小明只画了一部分如图，请你帮他画完整不写画法；
如果按照设计的方案全部用完可以做成几个完整的长方体纸盒？
制作过程中，小明少裁剪了几张正方形硬纸板，这几张正方形硬纸板由小红和小华分别按各自的方案裁剪完，裁剪出的长方形硬纸板正好可以全部做成与大小相同的无盖盒子，请问小明少裁剪了几张硬纸板？
如图所示，左边是小颖的圆柱形的笔筒，右边是小彬的六棱柱形的笔筒．仔细观察两个笔筒，并回答下面问题．
圆柱、六棱柱各由几个面组成？它们都是平的吗？
圆柱的侧面与底面相交成几条线？它们是直的吗？
六棱柱有几个顶点？经过每个顶点有几条棱？
试写出圆柱与棱柱的相同点与不同点．
发现与探索：小丽发现通过用两种不同的方法计算同一几何体体积，就可以得到一个恒等式．如图是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成块．
用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为______；
已知，，利用上面的规律求的值．
问题提出：如图，由长宽高个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体包括正方体呢？
问题探究：我们先从较为简单的情形入手．
如图，由个小立方块组成的长方体中，长共有条线段，宽和高分别只有条线段，所以图中共有个长方体．
如图，由个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有条线段，高有条线段，所以图中共有个长方体．
如图，由个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有条线段，所以图中共有______个长方体．
由个小立方块组成的长方体中，长共有条线段，宽共有______条线段，高共有______条线段，所以图中共有______个长方体．
问题解决
由个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有______线段，所以图中共有______个长方体．
结论应用
如果由若干个小立方块组成的正方体中共有个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了认识立体图形，熟记常见几何体的特征是解题关键，根据三棱锥的特点，可得答案．
【解答】
解：侧面是三角形，说明它是棱锥，底面是三角形，说明它是三棱锥，
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查线段的度量和点与线的关系，解题的关键是分类讨论的思想．
根据题意所述，点的位置分四种方法讨论，便可得出结果．
【解答】
解：项，如图所示，若点在线段上，则，故项错误；
项，如图所示，若点在线段的延长线上，则当时，，，故项正确；
项，如图所示，若点在线段的延长线上，则当时，，，故项正确；
项，如图所示，若点在直线外，因此可能成立，故项正确；
综上所述，可能出现的情况有，共三种，
故选A．
3.【答案】
【解析】解：由题意，当水槽中的水没有没过铁块时分钟上升，
当水面没过铁块时，分钟上升，
设铁块的底面积为，
则乙水槽中不放铁块时分钟水的体积分别为：，
放了铁块时分钟水的体积为，
，
解得，
铁块的体积为：
故选：．
根据两种情形水的体积相等构建方程即可解决问题．
本题考查的是用一次函数解决实际问题，正确分析函数图象中的信息是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：水的体积为，四颗相同的玻璃球的体积为，
根据题意得到：．
故选：．
水的体积个玻璃球的体积．
本题考查的是由实际问题抽象出一元一次不等式，解此类题目的关键是读懂图意．
5.【答案】
【解析】解：选项中的四个几何体的名称分别为：圆柱，圆锥，四棱柱，四棱锥，
故选：。
根据各个几何体的特征，得出棱锥的几何体。
本题考查生活中的立体图形，掌握各种几何体的特征是正确判断的前提。
6.【答案】
【解析】解：立方体是立体图形，选项A不属于平面图形，
球是立体图形，选项B不属于平面图形，
圆柱是立体图形，选项C不属于平面图形，
三角形是平面图形，选项D属于平面图形．
故选：．
根据平面图形立体图形的定义即可求解．
本题考查了平面图形立体图形的定义．
7.【答案】
【解析】解：、上面小下面大，侧面是曲面，正确；
B、上面大下面小，侧面是曲面，错误；
C、是一个圆台，错误；
D、下、上面一样大、侧面是曲面，错误；
故选：。
面动成体。由题目中的图示可知，此圆台是直角梯形转成圆台的条件是：绕垂直于底的腰旋转。
本题考查直角梯形转成圆台的条件：应绕垂直于底的腰旋转。
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】解：、圆柱体；
B、圆锥体；
C、正方体；
D、四棱锥；
故选：。
根据立体图形的定义及其命名规则逐一判断即可。
本题主要考查立体图形，解题的关键是认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内。
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了认识立体图形，主要考查了正方体的组合与分割．要熟悉正方体的性质，在分割时有必要可动手操作．根据图示可发现顶点处的小方块三面涂色，除
顶点外位于棱上的小方块两面，涂色位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色．
【解答】
解：顶点处的小正方体三面涂色共个；有一条边在棱上的正方体有个，两面涂色；每个面的正中间的一个只有一面涂色的有个；正方体正中心处的个小正方体各面都没有涂色．
所以三面涂色的小正方体有个；
两面涂色的小正方体有个；
只有一面涂色的有个；
各面都没有涂色的有个．
故选B．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程的应用，以及立体图形的认识，根据题意列出方程是解题关键根据题意可得只有一个表面染有红色的小正方体的数量为，恰有两个表面染有红色的小正方体的数量，然后根据只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的倍列出方程求解即可．
【解答】
解：将一个棱长为且为正整数的正方体木块的表面染上红色，然后切成个棱长为的小正方体，则只有一个表面染有红色的小正方体的数量为，恰有两个表面染有红色的小正方体的数量，
只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的倍，
，
解得，舍去．
故选C．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查棱柱的定义．有两个面互相平行且相等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．
【解答】
解：是球，不是棱柱；
B.符合棱柱的概念，是棱柱；
C.是圆柱，不是棱柱；
D.是圆锥，不是棱柱；
故选B．
13.【答案】
【解析】解：过点作于，如图所示：
设，则，
根据题意得：，
解得：，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
∽，
，
即，
，
故答案为：．
设，则，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出，再由勾股定理求出，过点作于，由∽的比例线段求得结果即可．
本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
14.【答案】；
【解析】
【分析】
本题考查了直线上点与线段之间的数量关系以及数式规律问题，要去同学们具有一定由特殊到一般的总结能力，有一定难度．
根据上有个点时，线段总数共有条，如果上有个点时，线段总数共有条，如果线段上有个点时，线段总数共有条，可总结出规律，从而得出当线段上有个点时，线段总数；
根据可得出当线段上有个点时，线段总数．
【解答】
解：上有个点时，线段总数共有条；
上有个点时，线段总数共有条；
上有个点时，线段总数共有条；
上有个点时，线段总数共有：，
故当线段上有个点时，线段总数共有条；
故答案为；
由可知，当线段上有个点时，线段总共有：条；
故答案为．
15.【答案】或
【解析】
【分析】本题考查圆柱体的体积的求法，注意分情况讨论．从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体．
根据圆柱体的体积底面积高求解，注意底面半径和高互换得圆柱体的两种情况．
【解答】
解：分两种情况：绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为
绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积为
故所得几何体的体积为或．

16.【答案】点动成线，线动成面
【解析】解：中国武术中有“枪扎一条线，棍扫一大片”这样的说法，这句话说明点动成线，线动成面．
故答案为：点动成线，线动成面．
根据从运动的观点来看点动成线，线动成面进行解答即可．
此题主要考查了点、线、面、体，题目比较简单．
17.【答案】
【解析】解：依题意，得：，即．
故答案是：．
根据宝玉和石料的总重量以及混合物的体积，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及认识立体图形，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】解：长方体．
长方体的体积为
长方体的表面积为
【解析】见答案．
19.【答案】解：；
；；；
【解析】
【分析】
本题考查了认识立体图形相关知识，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力，题目比较典型．
根据几何体的形状，可得答案；
根据几何体的形状，可得小正方体露出表面的个数；
【解答】
解：这个几何体由个小正方体组成，
故答案为；
如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有个正方体只有一个面是黄色，有个正方体只有两个面是黄色，有个正方体只有三个面是黄色，
故答案为；；；
20.【答案】
【解析】解：搭建第个几何体的小立方体的个数；
第个几何体的所有露出部分不含底面的面积：，
第个几何体的所有露出部分不含底面的面积：，
第个几何体露出部分不含底面的面积：
，
克
答：喷涂第个几何体，共需要克油漆．
观察得到每层向上的面都为正方形，即每层的个数都为平方数，则搭建第个几何体的小立方体的个数；
然后根据四个侧面和向上的面的小正方形的个数得到两个几何体的所有露出部分不含底面的面积之和；
根据中的方法得到第个几何体的所有露出部分不含底面的面积，化简后乘以即可．
此题主要考查了图形的变化类：通过特殊图象找到图象变化，归纳总结出规律，再利用规律解决问题．也考查了三视图．
21.【答案】解：，
答：折成的无盖长方体盒子的容积为．
设无盖长方体的容积为，则，
因为为正整数，且，
所以的值为，，或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述，当时，无盖长方体的容积最大．
无盖长方体的体积为：，
、之间的关系为．
故答案为，．
【解析】
【分析】
此题主要考查长方体的容积公式的灵活运用．
由题意可知：这个盒子的长、宽等于原来正方形的边长减去个，高是，根据长方体的容积底面积高，把数据代入公式解答；
由为正整数，且，得出的取值为，，或，将的值分别代入容积公式求出容积，然后比较找到最大值．
根据第二问直接写出即可．
【解答】
解：见答案；
见答案；
见答案．
22.【答案】解：长方体如图所示：
设可以做个完整的长方体．
由题意：，
解得．
答：可以做个完整的长方体纸盒．
设可以做个完整的长方体．
由题意：，
解得．
小明少裁剪的硬纸板数是张
答：小明少裁剪了张硬纸板．
【解析】画出长方体即可．
设可以做个完整的长方体．构建方程解决问题即可．
设可以做个完整的长方体．构建方程解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，认识立体图形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
23.【答案】解：圆柱有个面，六棱柱有个面，圆柱有两个平面，有一个曲面，棱柱的个面都是平面；
圆柱的侧面与底面相交形成条线，是一条曲线；
该棱柱共有个顶点，经过每个顶点有条棱；
棱柱与圆柱的相同点是：都是柱体；
不同点是：棱柱与圆柱的底面形状不同，棱柱的底面是多边形，圆柱的底面是圆形，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的侧面是长方形．
【解析】依据棱柱与圆柱的各个面进行判断；
依据圆柱的侧面与底面的交线进行判断；
依据六棱柱的特征进行判断；
根据棱柱与圆柱从平面图形以及立体图形角度分析得出即可．
本题主要考查的是认识立体图形，认真观察图形是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：八个小正方体和长方体的体积之和是：，
，
；
故答案为：
由，
得：，
将，，代入，
得，
即，
解得：．
根据体积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种是将大正方体棱长表示出来求体积；另一种是将各个小的长方体体积加起来，可得等式；
根据得出的式子再进行转化，然后把，代入计算即可得出答案．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
25.【答案】
【解析】解：问题探究：
个．
故答案为：．
条，
条，
个．
故答案为：，，．
长、宽、高各有线段，所以图中共有个长方体．
结论应用
依题意有：
，
解得，不合题意，舍去，
个．
答：组成这个正方体的小立方块的个数是个．
问题探究：
把长、宽、高三边的线段条数相乘即可求解；
先得到宽共有多少条线段，高共有多少条线段，再把长、宽、高三边的线段条数相乘即可求解；
先根据数线段的方法得到长、宽、高三边的线段条数，再把它们相乘即可求解；
结论应用
由的结论，根据等量关系：由若干个小立方块组成的正方体中共有个长方体，列出方程求解即可．
考查了立体图形，组合图形中线段的计数，本题关键是得到个小立方块组成的正方体中共有共有个长方体．
第2页，共2页
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