1.4充分条件与必要条件 课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共20张PPT)

(共20张PPT)
1.4　充分条件与必要 条件
1 | 充分条件和必要条件
命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题
推出关系 由p可以推出q,记作① p q 由p不能推出q,记作④ p q
条件关系 p是q的②　充分条件 p不是q的⑤　充分条件
q是p的③　必要条件 q不是p的⑥　必要条件
　　如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有⑦ p q ,
又有q p,就记作⑧ p q .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p
是q的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的
充要条件.概括地说,如果p q,那么p与q互为充要条件.
2 | 充要条件
1.p是q的充分条件是指p成立可以充分保证q成立,但即使q成立,p也未必成立.
(　√　)
2.p是q的必要条件是指“要使p成立,必须要使q成立”,也就是说“若p不成立,则
q一定不成立”. ( 　)
3.三角形相似是三角形全等的必要条件. (　√　)
提示:由“三角形全等”能推出“三角形相似”,因此结论正确.
4.p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同.
(　√　)
5.数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
(　√ )
6.“A∩B是空集”是“A与B均是空集”的充要条件.( 　)
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1 | 充分条件、必要条件和充要条件的判断
　　观察下面4个电路图.

问题
1.①中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件
提示:充分不必要.
2.②中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件
提示:必要不充分.
3.③中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件
提示:充要.
4.④中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件
提示:既不充分也不必要.
5.将①中开关A与灯泡B位置互换,开关C始终是断开状态,结论变吗
提示:结论变,变为充要.
　充分、必要条件判断的常用方法
(1)定义法:直接利用定义进行判断.
(2)传递法:根据充要关系的传递性来判断的方法叫传递法.充分条件具有传递性,
若A1 A2 A3 … An-1 An,则A1 An,即A1是An的充分条件.必要条件也有传递
性,若A1 A2 A3 … An-1 An,则A1 An,即A1是An的必要条件.当然充要条件也
有传递性.因此,对于较复杂的(连锁式)关系的判断可用连锁式的传递图来解答.
(3)利用集合间的包含关系进行判断:如果满足条件p和结论q的元素构成的集合
分别为A和B,那么A B相当于p q,则p是q的充分条件;B A相当于q p,则p是q
的必要条件;A=B相当于p q,则p是q的充要条件;A B相当于p q,但q p,则p是
q的充分不必要条件;B A相当于q p,但p q,则p是q的必要不充分条件;A B
且B A相当于p q,且q p,则p是q的既不充分也不必要条件.
判断下列各题中p是q的什么条件:
(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;
(2)p:t≠2,q:t2≠4;
(3)p:0(4)p:△ABC为直角三角形,q:△ABC为等腰三角形.
解析 (1)x-2=0 (x-2)(x-3)=0,
而(x-2)(x-3)=0 x-2=0或x-3=0,
∴p是q的充分不必要条件.
(2)t2≠4 t≠2,
但t≠2 t2≠4(当t=-2时,t2=4),
∴p是q的必要不充分条件.
(3)令A={x|0∴p是q的充分不必要条件.
(4)∵p q,q p,
∴p是q的既不充分也不必要条件.
导师点睛 (1)判断p是q的什么条件,主要是判断p q及q p两命题的真假,若p
q为真,则p是q的充分条件,若q p为真,则p是q的必要条件.
(2)当条件和结论是不等式时,可以利用集合间的关系判断充分性和必要性.
2 | 充分条件、必要条件的证明与探究
　充要条件的证明
(1)证明p是q的充要条件时,既要证明命题“p q”为真,又要证明“q p”为真,
前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.
(2)证明充要条件也可以利用等价转化法,即把条件和结论进行等价转化,注意转
化过程中必须保证前后是能互相推出的.
　探求充分条件、必要条件的步骤
(1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向;
(2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,即可得到使结论成立的充
要条件;
(3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到结论成立的必要不充分
条件或充分不必要条件.
(2021上海实验学校高一上期末)下列条件中,使不等式组 成立的一个充
分不必要条件是 ( A　)
A.0C.0思路点拨
本题可以先解不等式组 然后根据充分不必要条件与集合的对应关系得
出结果.
解析 解不等式组 得0因为使“0{x|0所以结合选项易知A符合.故选A.
(2020辽宁辽阳集美中学高一月考)求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的
充要条件是m≥2.
思路点拨
利用一元二次方程的判别式以及根与系数的关系,结合充分性、必要性所要证明
的方向,进行分步证明.
证明 充分性:
∵m≥2,∴Δ=m2-4≥0.
设方程x2+mx+1=0的两个实根分别为x1,x2,
由根与系数的关系知x1x2=1>0,∴x1,x2同号,
又x1+x2=-m≤-2,∴x1,x2同为负根.充分性成立.
必要性:
设x2+mx+1=0的两个实根分别为x1,x2,故x1,x2均为负数,且x1x2=1,
∴m-2=-(x1+x2)-2=- -2
=- =- ≥0,
∴m≥2.必要性成立.
综上,关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.
3 | 利用充分条件、必要条件确定参数的值(取值范围)
充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列
出关于参数的等式或不等式(组),求解即可.
(2)要注意对解集端点值的检验.
(2020江苏泰州中学高一月考)给出下列三个条件:①充分不必要;②必要不充分;
③充要.请从中选择一个条件补充到下面的横线上并解答.
已知集合P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x<1+m},是否存在实数m使得x∈P是x∈S的
条件 若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
思路点拨
选择①时,可知P S;选择②时,可知S P,分S= 和S≠ 两种情况讨论得到m的
取值范围;选择③时,需P=S,易知无法成立.
解析 若选择①,即x∈P是x∈S的充分不必要条件,则P S,
∴ 解得m>3,
即实数m的取值范围为{m|m>3}.
若选择②,即x∈P是x∈S的必要不充分条件,则S P.
当S= 时,1-m≥1+m,解得m≤0,满足要求;
当S≠ 时,1-m<1+m,解得m>0,则 解得m≤0,此时解集为 .
综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤0}.
若选择③,即x∈P是x∈S 的充要条件,则P=S,无法成立,
则不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
感谢！