1.1集合的概念 课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共21张PPT)

(共21张PPT)
2021
通过学习本节内容,能从具体到抽象理解相关数学概念,逐步形成数学抽象的数
学素养.学习时还应注意以下几点:
通过实例,了解集合的含义,理解集合与元素之间的关系.
针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.
在具体情境中,掌握集合中元素的三个特性.
1.1　集合的概念
1.元素:一般地,把① 研究对象 统称为元素,常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.
2.集合:把一些元素组成的②　总体 叫做集合(简称为集),常用大写拉丁字母A,
B,C,…表示.
3.集合相等:构成两个集合的元素是一样的.
4.集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性.
1 | 元素与集合的概念
2 | 元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A a③　∈ A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A a④ A a不属于集合A
3 | 常用数集及其记法
常用的 数集 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
记法 N N*或N+ Z Q R
1.列举法
把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做
列举法.
2.描述法
(1)定义:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有⑤　共同特征 P(x)的
元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.
(2)写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再
画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的⑥　共同特征 .
4 | 集合的表示方法
　　根据集合中元素个数的多少可将集合分为有限集和无限集.
有限集:集合中元素的个数是有限的.
无限集:集合中元素的个数是无限的.
5 | 集合的分类
1.中央电视台著名节目主持人可以组成一个集合. ( 　)
2.元素a,b,c与元素c,b,a组成的集合相等. ( √　)
3.0∈N,但0 N*. ( √　)
4.数1,0,5, , 组成的集合中有5个元素. ( 　)
5.集合{(1,2)}中的元素是1和2. ( 　)
提示:集合{(1,2)}中的元素是(1,2).
6.集合{x∈R|x>0}与{x∈Q|x>0}相等. ( 　)
提示:代表元素的取值范围不一致,前者x∈R,后者x∈Q,所以两个集合不相等.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1 | 集合中元素的特性
(1)确定性——对于一个给定的集合,它的元素必须是确定的.也就是说,如果给定
一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定了.
(2)互异性——对于一个给定的集合,它的元素一定是互不相同的.也就是说,集合
中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算为一个
元素.
(3)无序性——对于一个给定的集合,它的元素并无先后顺序,即任何两个元素都
是可以交换顺序的.

(2020江苏南通高一第一次质量检测)若1∈{x,x2},则x= ( B　)
A.1　 B.-1 C.0或1　 D.0或1或-1
解析 若1∈{x,x2},则必有x=1或x2=1.
①当x=1时,x2=1,不符合集合中元素的互异性,舍去;
②当x2=1时,解得x=-1或x=1(舍去),
当x=-1时,x2=1,符合题意.
综上可得,x=-1.故选B.
2 | 集合的表示
　　给出下列三个集合:①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③C={(x,y)|y=x2+1}.
问题
1.它们是不是相同的集合
提示:由于三个集合的代表元素互不相同,因此它们是互不相同的集合.
2.它们各自的含义是什么
提示:集合A表示数集R;集合B表示数集{y|y≥1};集合C表示坐标平面内满足y=x2+
1的点(x,y)构成的集合.
列举法和描述法各有优缺点,应根据具体问题进行选择,一般遵循最简原则.当集
合中元素较多或有无限个时,不宜采用列举法.
1.用列举法表示集合时需注意:
(1)元素个数少且有限时,可全部列举出来,如{1,2,3,4};
(2)元素个数多且有限时,若可以按某种规律排列,则可以列举部分元素,中间用省
略号表示,如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3,…,1 000};
(3)元素个数无限但有规律时,也可以用省略号列举,如自然数集N可以表示为{0,1,
2,3,…}.
2.用描述法表示集合时应注意以下几点:
(1)写清楚集合中的代表元素,如数或点等;
(2)说明该集合中元素所具有的共同特征;
(3)不能出现未经说明的字母;
(4)所有描述的内容都要写在花括号内,用于描述内容的语言要力求简洁、准确;
(5)“{}”有“所有”“全体”的含义,因此自然数集可以表示为{x|x为自然数}
或N,但不能表示为{x|x为所有自然数}或{N}.
用适当的方法表示下列集合:
(1)被3除余2的整数组成的集合;
(2)方程(x+1)(x2-2)=0的解集;
(3)直线y=x-1,y=-x+1的交点组成的集合;
(4)平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合;
(5)已知集合A= ,用列举法表示集合A.
思路点拨
(1)类比奇数集{x|x=2k+1,k∈Z}的表示.(2)求出方程的解后用列举法表示.(3)联立
直线方程,求出交点后用集合表示.(4)结合平面直角坐标系第二象限内点的坐标
的符号特征表示.(5)结合集合A中元素满足的共同特征写出 的可能取值,进而
用列举法表示.
解析 (1)被3除余2的整数可以表示为3k+2,k∈Z,用集合表示为{x|x=3k+2,k∈Z}.
(2)解方程(x+1)(x2-2)=0,得x=-1或x=± ,用集合表示为{-1,- , }.
(3)联立 解得
故两直线的交点为(1,0),用集合表示为{(1,0)}.
(4)用有序实数对(x,y)作为代表元素,用描述法表示此集合为{(x,y)|x<0,且y>0}.
(5)∵ ∈N,则8-x可取的值有1,2,4,8,16,∴x的可能值有7,6,4,0,-8,又x∈N,∴x可
取7,6,4,0,
∴ 可取2,4,8,16,∴A={2,4,8,16}.
3 | 集合中参数问题的解法
求解含参数的集合问题时,若参数的取值对解题有影响,则需对参数进行分类讨论.
1.对参数进行准确的逻辑划分.如在研究方程ax+b=0时,若a≠0,则此方程是一元
一次方程,按一元一次方程求解即可;若a=0,则此方程不是一元一次方程,此时看b
是不是0.
2.求参数值的问题,先利用条件列出等式,再解方程(组)求值,最后用集合中元素的
互异性检验参数的值是否符合题意.解题时要注意:
(1)列等式时要考虑到元素的无序性,元素的无序性主要体现在:①给出的对象属
于某集合,则它可能等于集合中的任一元素;②给出的两集合相等,则其中的元素
不一定按顺序对应相等.
(2)元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验,同一集合中的元素要互不
相等.
3.求参数的取值范围问题先利用条件列出不等式(组),再解不等式(组)得到参数的
取值范围,最后用集合中元素的互异性检验参数的取值范围是否符合题意.
已知集合A={x|ax2-3x+2=0,x∈R}.
(1)若集合A中只有一个元素,求实数a的值,并写出该元素;
(2)若集合A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.
思路点拨
先考虑最高次项系数是不是0,即先判断该方程是一元一次方程,还是一元二次方
程,若为一元一次方程,直接求解即可;若为一元二次方程,则需求判别式,从而确定
根的个数.
解析 (1)若a=0,则方程为一元一次方程,它有唯一解x= ,符合题意;
若a≠0,因为A中只有一个元素,所以方程有两个相等的实数根.
由Δ=(-3)2-8a=0,得a= ,
此时集合A中只有一个元素 .
综上所述,当a=0时,集合A中只有一个元素 ;当a= 时,集合A中只有一个元素 .
(2)A中至多有一个元素,则A中只有一个元素,或A中没有元素.
当 即a> 时,方程ax2-3x+2=0无解,满足题意.
结合(1)可知,实数a的取值范围是 .
题组一　集合的概念与元素的特性　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(2021四川成都第七中学高一上阶段测试)下列元素不能组成集合的是 (　　)
A.不超过20的质数
B.π的近似值
C.方程x2=1的实数根
D.函数y=x2,x∈R的最小值
2.已知集合S中的三个元素a,b,c是△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.(多选)下面四个说法错误的是 (　　)
A.10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}
B.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,1,2}
C.方程x2-2x+1=0的解集是{1,1}
D.0与{0}表示同一个集合
B
D
CD
题组二　元素与集合的关系
4.(2021江西宜春一中高一上月考)给出下列关系:
①12∈R;②2∈Q;③|-3|∈N;④|-3|∈Z;⑤0 N.
其中正确的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(2021福建三明第一中学高一上月考)下列说法正确的是(　　)
A.N中最小的数是1
B.若-a N*,则a∈N*
C.若a∈N*,b∈N*,则a+b的最小值是2
D.x2+4=4x的实数解组成的集合中含有2个元素
6.已知集合A仅含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,那么a的值为 (　　)
A.2 B.2或4 C.4 D.6
7.用符号“∈”或“ ”填空:
(1)设集合B是小于的所有实数的集合,则2　　　　B,
1+　　　B;
(2)设集合D是由满足方程y=x2的有序实数对(x,y)组成的集合,则
-1　　D,(-1,1)　　D.
8.(2020辽宁抚顺一中高一月考)给出下列说法:
①0∈N*;②如果a,b∈Z,则a-b∈Z;③所有正方形构成的集合是有限集;④如果a∈N,则-a N.其中正确的是　　　　.(填序号)
D
C
B


②
∈
∈