思法数学：周末讲义
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文档简介
高中数学必修①
本讲义按照如下线索展开内容：知识梳理——典例精析——过关精练.
本讲义可供学生在高一上期的学习过程中使用,更可作为教师的教学或周末家教辅导参考资料。
目录
第1讲 集合及其运算
第2讲 函数及其表示
第3讲 函数的性质
第4讲 集合与函数的概念检测题
第5讲 二次函数
第6讲 指数函数与对数函数
第7讲 幂函数
第1讲 集合及其运算
成都外国语学校 刘世华
【知识梳理】
1．集合中元素特性：（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性。
2．集合的表示方法：（1）列举法；（2）描述法；（3）文氏图。
点拨：，，是不同的集合.
3．子集：对任意，都有，则（或）。
（1）如果，且，则；
（2）如果，但存在元素则称是的 ，记作。
4. 空集：（1）不含任何元素；（2）（是任何集合）；（3）（）。
5．集合的运算：
（1）交集： A∩B={x|x∈A,且x∈B}；
（2）并集： A∪B={x|x∈A，或x∈B}；
（3）补集：若，则。
6．常用结论：（1）；（2）；
（3）德莫根定律：，；
（4）含个元素的集合共有 个子集；有 个真子集；有 个非空真子集。
7. 思想方法：（1）数形结合：数轴、文氏图；（2）补集思想：正难则反。
【典例精析】
例1. （1）集合，则_ _
（2）集合，则_ _
（3）集合，则_ _
例2. 已知集合，试判定与的关系。
例3. 已知非空集合满足：①；②若，则，求出符合条件的所有集合。
例4. 若，且，求实数的值。
例5. 设，若，求实数的取值范围。
例6. 已知全集，集合，若，问这样的实数是否存在？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由。
例7.设非空集合满足：当时，有。
（1）若，求；（2）若，求的范围；（3）若，求的范围。
【过关精练】
一.选择题
1.若集合，又，则实数的取值集合为( )
A． B． C． D．
2．设集合，则满足的集合的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．设数集，且均为集合的子集，如果定义为区间的长度，则的长度的最大、小值分别为( )
A．1、 B．、 C．、 D．、
4．满足条件的集合的个数为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
二.填空题
5．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意的，都有(除数)，则称P是一个数域。例如有理数集Q是数域。有下列命题：
①数域必含有两数；②整数集是数域；
③若有理数集，则数集必为数域；④数域必为无限集。
其中正确的命题的序号是__ __
6．设，则__ __
7．若集合子集只有一个，则实数∈
8．有下列命题：①没有子集；②任何一个集合至少有两个子集；③是任何集合的真子集；④；⑤。其中正确的命题的序号为_____________
三．解答题
9．设，若，求实数的取值范围。
10．已知集合，且，求实数的取值范围。
11.设，函数若的解集为
，求实数的取值范围。
12．已知关于的三个方程：①②
③中至少有一个方程有实根，求实数的取值范围。
思法语录
学数学，磨脑壳！
要学好，靠拼搏！
有思法，苦也乐！
第1讲 参考答案
一.选择题
1.C; 2. C; 3.D; 4.B.
二.填空题
5. ①,④; 6.［0,2］; 7.（2,6）; 8. ④,⑤.
三.解答题
9.解：因A=｛1,2｝. ,故分B=,｛1｝,｛2｝,｛1,2｝四种情况讨论：
（1）当B=时，⊿＝㎡-8＜0, ∴
（2）当B=｛1｝时，m不存在；
（3）当B=｛2｝时，m不存在；
（4）当B=｛1,2｝时，m=3.
综上知或m=3.
10.解：当A=时，⊿＜0, 得-4＜p＜0；
当A≠时，因两根之积大于0，故必为两负根，易得p≦-4，
综上知，的取值范围是
11.解：（1）当a=0时，适合题意；
（2）当a＞0时，利用数形结合易得0＜a≦；
（3）当a＜0时，易得-2≦a＜0。
综上知
12.解：若三个方程都无实根，则
，因此所求的取值范围是
第2讲 函数及其表示
成都外国语学校 刘世华
【知识梳理】
1.映射与函数的概念
（1）定义：设、是两个非空集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合到的映射，记作．
（2）特别，当、是两个非空数集时，就是到的一个函数，记为。
（3）如果中的元素和中的元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．
2.函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
点拨：值域由定义域和对应法则确定；两个函数是同一函数定义域相同，且对应法则也相同的。比如和为同一函数.
3.函数的表示方法：常用的有解析法、列表法、图象法三种．
4.复合函数：由复合而得.
【典例精析】
例1．（1）已知：①集合，，对应法则；
②，对应法则；
③对应法则；
④集合，对应法则
其中是从到的函数的序号是
（2）给出以下6组函数： ①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥。
其中是相同函数的序号是
（3）函数的图象与直线的公共点的个数为______ _
（4）已知集合，则能够建立从到的函数共有__________个。
例2．（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域是
（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为________ __
点拨： 复合函数的定义域：（1）已知的定义域A, 则的定义域为；（2）已知的定义域A, 则的定义域为。
例3．若函数的定义域为，则 ， 。
例4．求下列函数的值域：
(1)； （2）；
（3）； (4)；
(5)； (6) 。
点拨：求值域的常用方法：⑴直接法；⑵分离常数法；⑶反解法；⑷配方法；⑸换元法；⑹判别式法；⑺单调性法；（8）图象法…。 注意：定义域优先。
例5．（1）已知，若，则用列举法表示集合
（2）若解析式为，值域为的函数共有 个
点拨：给定对应关系及值域不能确定函数。给定对应关系及定义域的函数是确定的。
例6．设函数，其中，写出的表达式。
例7．已知函数，若，求实数的取值集合。
解：（1）当或时，有
从而必有或，故。
（2）当时，恒有。
①若，则，适合题意；
②若或，则，故。
综上知。
点拨：分段函函数问题离不开分类讨论思想。
例8．讨论关于的方程的实根个数.
解：方程即为，作出函数的图象：
由上图知：
点拨：数形结合是解决函数、方程、不等式问题的最重要的思想方法。
例9．定义在上的函数满足：对都有，且当时，.
（1）求.
（2）证明：①；②在上是增函数.
（3）若，解不等式：.
【过关精练】
一、选择题
1．若函数= 的定义域为,则实数的取值范围是（ ）
A．(－∞,+∞) B．(0, C．(,+∞) D．[0,
2．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．对于，不等式恒成立的的取值范围是（ ）
A． B． 或 C．或 D ．
4．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _；函数 的定义域为________；
6．若函数的定义域为，则函数的定义域是
7．已知函数满足，则= 。
8．已知函数的定义域是，则的定义域为 。
9．把函数的图象沿轴向左平移一个单位后，得到图象C，则C关于原点对称的图象的解析式为
三、解答题
10．已知函数的定义域为，求函数中实数的取值范围。
11．已知函数的值域为[1，3]，求的值。
12．若函数..
（1）求的最小值；
（2）求函数当[-3,-2]时的最值。
思法语录
良好的学习习惯包括
良好的预习习惯
良好的听课习惯
良好的作业习惯
良好的纠错习惯
良好的自学习惯
第2讲 参考答案
一、选择题
1．D； 2．B ； 3． B； 4． D。
二、填空题
5．， ； 6．；
7．； 8．； 9．
三、解答题
10．
11．
12．解：（1）
（2） 时，为减函数，
在上，也为减函数.
， .
第3讲 函数的性质
成都外国语学校 刘世华
【知识梳理】
一．单调性
1.定义：函数的定义域为，区间，若对任意的且，都有：
（1），则称函数是区间上的增函数，是的增区间。
（2），则称函数是区间上的减函数，是的减区间。
2.判定方法：
(1) 图象法；
(2) 定义法(步骤：取值、作差、变形、定号、结论) ；
(3) 结论法。如：①增+增=增；增-减=增；②当时，与的单调性相同；当时，与的单调性相反；③当恒不为0时，与的单调性相反。
3.已学函数的单调性：
（1）一次函数：
①单调递增，②单调递减
（2）反比例函数：
①时，在区间上分别是减函数；
②时，在区间上分别是增函数.
（3）二次函数（单调性以对称轴为界）：
①时，在_______________单调递增，在_____________单调递减；
②时，在_______________单调递增，在_____________单调递减；
（4）双勾函数：在和上递减；在和上递增。
4.复合函数的单调性：同增异减，小心范围。
二.函数的最值
1. 定义：设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对任意，都有，且存在 ，使得，则称是函数的最大值;
（2）对任意，都有，且存在，使得，则称是函数的最小值。
2. 结论：设函数定义在闭区间上：
(1) 若在上是连续函数，则必存在最大值和最小值；
(2) 若在上单调递增，则，；
(3) 若在上单调递减，则，。
三．奇偶性
1.定义：对函数的定义域内的任何一个自变量，都有：
⑴ ，则称函数是偶函数；
⑵ ，则称函数是奇函数。
点拨： 奇函数和偶函数的定义域关于原对称。
2．性质：
⑴ 偶函数的图象关于轴对称，反之也成立；
⑵ 奇函数的图象关于原点对称，反之也成立。
(3)在关于原点对称的两个区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性。
(4) 若是奇函数且在处有意义，则
(5) 若是偶函数，则。
3．奇偶性的推广：
对函数的定义域内的任何一个自变量：
⑴ 若都有，则的图象关于直线对称；若都有，则的图象关于直线对称。
⑵若都有，则的图象关于点对称；若都有，则的图象关于点对称。
【典例精析】
例1. 研究函数的单调性和奇偶性.
提问: 你能作出的大至图象吗？
例2. 求函数的单调区间：
（1）求函数的单调减区间；
（2）已知函数在定义域上是增函数，求函数的单调区间；
（3）求函数的单调区间。
例3. 利用函数的单调性，求参数的范围：
（1）若在区间上是增函数，则实数 ；
（2）若的增区间是，则实数 ；
（3）若在区间上具有单调性，则实数 ；
（4）若在区间上单调递增，求实数 。
例4．已知函数满足：
且，判断函数的奇偶性，并证明你的结论。
例5. 利用单调性解不等式：
（1）。
（2）定义在上的函数满足：，且当时。
若，求实数的取值范围。
例6．已知函数在上是增函数，又函数是偶函数，比较，， 的大小。
例7．给定函数。
（1）研究函数的性质（定义域，值域，奇偶性，单调性）并作其图象；
（2）解关于的方程。
【过关精练】
一.选择题
1.若在上是单调的连续函数，且，则方程在
内( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．有唯一实根
2.函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于（ ）
A.-3 B.13 C.7 D.由而定的常数
3.设函数在上为减函数，则( )
4.在上单调递减的函数是（ ）
A. B. C.y=2x+3 D.
二.填空题
5．函数是定义域上的增函数，且，则实数的取值范围为_______
6．已知奇函数在定义域上是增函数，若，则不等式的解集为___________________
7.的增区间为___________；减区间为__________；
三．解答题
8. 求证在上是增函数.
9.求函数的最值
10. 求函数的值域：
11.已知是三个正实数，且，试比较与的大小。
12.定义在上的函数满足：且当时，
（1）求证：且是增函数；
（2）若，解不等式：.
第3讲 参考答案
【过关精练】
一.选择题
1．D； 2。B； 3。D； 4。A。
二.填空题
5.; 6. ; 7. , .
三.解答题
8.证明：设,则
在上是增函数.
9.解： 在定义域 上是增函数，，无最大值.
10.解：易知在定义域上是减函数，故的值域为，即
。
点拨：本是也可用换元法转化为二次函数求解。
11.解： 是三个正实数,
.
令，则在上是增函数,
又，故,
所以.
12.解：（1）证明：令得：；
设，则。
在上是增函数
（2）
不等化为：
，解集为。
第4讲 集合与函数的概念检测题
一.选择题（共60分）
1. 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是（ ）
A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定
2.函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间（ ）
A．(3，8) B．(－7，－2) C．(－2，3) D．(0，5)
3.函数f(x)=在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围（ ）
A．(0，) B．( ，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4.连续函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（ ）
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一的实根
5.已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有
f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是（ ）
A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1)
C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9)
6．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减
函数则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知集合，且使中
元素和中的元素对应，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，若，则的值是（ ）
A． B．或 C．，或 D．
9．已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．
10．若函数的定义域为,值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数，则对任意实数，下列不等式总成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题(共16分)
13．已知，则不等式的解集是 。
14．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围是 。
15．若函数在上为增函数,则实数的取值范围是
16．已知函数，若，则的取值范围是
三.解答题(共74分)
17．已知函数是定义域在上的偶函数，且在区间上单调递减，求
满足的的集合．
.
18．是关于的一元二次方程的两个实根，又，求的解析式及此函数的定义域。
19．已知函数在有最大值和最小值，求、的值。
20．设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式.
21．设为实数，函数，
（1）讨论的奇偶性；
（2）求的最小值。
22．已知函数的定义域是，且满足, ,
当时,有
（1）求，并判定的单调性；
（2）若，解不等式。
第4讲 参考答案
一.选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B B D C B D D A C A B
二.填空题
13. ; 14. ; 15. 且; 16. .
三.解答题
17．解： 在上为偶函数，在上单调递减
在上为增函数 又
，
由得
解集为
18.解：，
∴。
19. 解：对称轴，是的递增区间，
∴
20．解：∵是偶函数, 是奇函数，∴，且
而,得,
即，
∴，。
21．解：（1）当时，为偶函数，
当时，为非奇非偶函数；
（2）当时，
当时，，
当时，不存在；
当时，
当时，，
当时，。
综上知：
22．解：（1）令，则；
在是上是增函数。
（2）
，
则。
第5讲 二次函数
成都外国语学校 刘世华
【知识梳理】
1．二次函数的概念及性质
（1）解析式
（2）对称轴方程：
（3）时图象开口向上，减区间为，增区间为
时图象开口向下，减区间为，增区间为
点拨：（1）单调性：主要考虑开口方向以及对称轴
（2）对称性：①与对称轴等距的两点的函数值相等；②开口向上时，距离对称轴越远函数值越大；③开口向下时，距离对称轴越远函数值越小。
2．闭区间上的二次函数的最值处理的方法和步骤：
（1）找出闭区间：特别是当求一个二次函数的最值但又没有给区间时，一定得注意挖掘题目的这一隐含条件；
（2）求出二次函数的对称轴，并判定它与区间的位置关系，若定则不用讨论，若否定则从左向右进行讨论；
（3）结合二次函数的草图求最值。
3．一元二次方程的根的分布
（1）解题思路：把一元二次方程的根的分布问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的图象来加以解决。
（2） 关于一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者间的关系：二次函数占主导地位，一元二次方程和一元二次不等式的问题常转化为二次函数来处理。
（3）令一元二次方程的根为，
设二次函数，可分成两种类型：
① 当分布在同一个区间的处理方法：
作出符合要求的二次函数的草图，结合图象考虑以下三个方面的问题：区间端点处的函数值的符号；对称轴要在给定的区间内；判别式。
② 当分布在两个不同的区间时的处理方法：
作出符合要求的二次函数的草图，仅仅考虑区间端点处的函数值的符号。
点拨：小心是否取“=”号。
【典例精析】
例1．已知函数在区间上恒正，求实数的取值范围。
例2．设在闭区间上恒非负，求实数的取值范围。
例3．若关于的方程有实根，求实数的取值范围。
点拨：求参数范围的常用方法：
（1）数形结合法；（2）最值法；（3）分离参数法，
例4.如果函数定义在区间上，求的最小值。
例5.已知二次函数在区间上的最大值为5，求实数的值。
例6．设二次函数，又方程的两个根满足条件。
（1）当时，证明：；
（2）设函数的图象关于直线对称，证明：。
【过关精练】
一.选择题
1.若为偶函数，则在区间（－3，1）上（ ）
A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增
2.二次函数满足且的两实根为、则( )
A.0 B. 3 C. 6 D.不能确定
3.定义域为R的二次函数为偶函数，且在上为减函数，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知函数在有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二.填空题
5．已知二次函数在上单调递减，则实数的取值范围为
6．函数的最大值为 ，最小值为 。
7．已知关于的二次方程的两根分别在与内。则的取值范围是
三.解答题
8．设二次函数满足，且图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式及其单调区间。
9．求函数在区间[0，1]上的最值。
10．已知方程，求分别满足下列条件的实数的取值范围。
方程的根分布在；
方程在内有实根。
11．当为何值时，关于的一元二次方程在（0，1）内有两个相异实根？
12.设，且，.
（1）求证：与的图象有两个不同交点；
（2）设方程两根之差的绝对值为，求的取值范围.
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第5讲 参考答案
一.选择题
1. C； 2. C； 3. B； 4. C。
二.填空题
5. ； 6.3，0 ； 7. 。
三.解答题
8．解：设。
，
。其增区间为，减区间为。
9．解：。
，。
10．解：（1）令，则
；
（2）（分离参数法），。
令，则。
，。
11．解：令，则
。
12.解：（1） 且。
，。
与的图象有两个不同交点。
（2）
。令，则
，。
第6讲 指数函数与对数函数
成都外国语学校 刘世华
【知识梳理】
1．指数与对数的运算性质：
（1）指数式与对数式的互化：
。
（2）指数的运算性质：；；；。
（3）对数的运算性质：
①恒等式：；。
②； ； 。
③换底公式及推论：
；； ； 。
2． 指数函数的图象和性质：
a>1 0图象
性质 (1)定义域：
（2）值域：
（3）过定点 ，即x=0时，y=1
（4）在 R上是 函数 （4）在R上是 函数
3．对数函数的图象和性质：
a>1 0图象
性质 (1)定义域：
（2）值域：
（3）过定点 ，即x=1时，y=0
（4）在上是 函数 （4）在上是 函数
点拨：1。对指数函数：
（1）当时，，；
（2）当时，，.
(3) 底增大，图逆转。
2．对数函数：
（1）当时，，；
（2）当时，，；
(3) 底增大，图顺转。
【典例精析】
例1．（1）若用和表示=
（2）=
（3）已知，则_______
例2．比较大小：
（1）①；②；
（2）若，试比较与的大小。
（3）已知且，试比较与的大小。
例3．已知，，的值域为，求的值。
例4．求下列函数的定义与值域：
（1）； （2）
例5．（1）已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；
（2）已知函数在区间上是增函数，求的取值范围。
例6．已知函数
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若的值域为，求实数的取值范围；
（3）若在内为增函数，求实数的取值范围
【过关精练】
一.选择题
1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是 ( )
A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋)
C．y＝2x＋2－x D．y＝lg
2．若log2a＜0，b＞1，则 ( )
A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
3．设f(x)＝lg(＋a)是奇函数，则使f(x)＜0的x的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
4．设，，c＝0.3，则 ( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
5．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为
loga2＋6，则a的值为 ( )
A. B. C．2 D．4
二.填空题
6．计算：_______.
7．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A B，则实数a的取值范
围是(c，＋∞)，其中c＝________.
8．函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．
9．函数在上恒有，则实数的取值范围为
三.解答题
10．求值：.
11．若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x 的值．
12．设,若当时有意义,求的取值范围。
思法语录
学习数学
要有浓厚的学习兴趣
要有顽强的拼搏精神
要有良好的学习习惯
第6讲 参考答案
一.选择题
1. D； 2. D； 3. A； 4. B； 5. C。
二.填空题
6. －2； 7. 4； 8. (－∞，0)； 9. 。
三.解答题
10.解：解法一：原式＝＝.
解法二：原式＝。
11.解：y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2＞0，
解得x＜1或x＞3，∴M＝{x|x＜1，或x＞3}，
f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2.
令2x＝t，∵x＜1或x＞3，∴t＞8或0＜t＜2.
∴f(t)＝4t－3t2＝－32＋(t＞8或0＜t＜2)．
由二次函数性质可知：
当0＜t＜2时，f(t)∈，
当t＞8时，f(t)∈(－∞，－160)，
当2x＝t＝，即x＝log2 时，f(x)max＝.
综上可知：当x＝log2 时，f(x)取到最大值为，无最小值．
12.解：由题意：对。恒成立，即对恒成立。令，。则。
是增函数，，故。
第7讲 幂函数
成都外国语学校 刘世华
【知识梳理】
1．引入：函数y=x、y=x2、y=的表达式有着共同的特征：幂的 是自变量，指数是 .
2．定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中为常数。
3．幂函数（）的图像：
主要分以下几类：
（1）当=0时，图像是过（1，1）点平行于x轴但除去（0，1）点的一条断直线。
（2）当为正偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限及原点。
（3）当为正奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点。
（4）当为负偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限但不过原点。
（5）当为负奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限但不过原点。
（6）当为正分数时，设为（m、n是互质的正整数）。如果m，n都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点；当m是偶数、n是奇数时，幂函数是偶函数，图像过第一、二象限及原点；如果m为奇数、n为偶数，幂函数是非奇非偶函数，图像过第一象限及原点。
（7）当为负分数时，设为（m、n是互质的正整数）。如果m，n都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限；当n是偶数、m是奇数时，幂函数为非奇非偶函数，图像只在第一象限；如果n为奇数、m为偶数，幂函数是偶函数，图像过第一、二象限。
（8）幂函数图像一定不会出现在第四象限，若幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点，当时，在第一象限以两坐标轴为渐近线。
4．幂函数（）的性质：
（1）图象通过定点 ；
（2）奇偶性：①当时，是 函数； ②当时，是 函数；
③当时，是 函数。
（3）单调性：①当时，在是 函数；②当时，在是 函数。
【典例精析】
例1.求实数的取值范围：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
点拨：通过以上探究，我们对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象有了较深刻的认识，同时对于形如（是常数）型的不等式的解法有了以下体会：
（1）当，解法同⑴
（2）当，解法同⑵
（3）当，解法同⑶
（4）当，解法同⑷．
例2．比较下列两个代数式值的大小：
（1）， ； （2），
点拨：本题考查幂函数的单调性的应用。
例3．讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象。并根据图象说明函数的增减性。
点拨：本题考查幂函数图像的应用
例4.已知函数的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．
点拨：本题考查分类讨论的思想
例5.已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．
问当x为何值时有：（１）；（２）；（３）．
点拨：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中的隐含条件．
例6．已知函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
点拨：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用．判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练．
【过关精练】
一.选择题
1．下列函数中，是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
2.函数的定义域是全体实数，则实数m的取值范围
是（ ）．
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3．下列结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象一定过原点 B．当时，幂函数是减函数
C．当时，幂函数是增函数 D．函数既是二次函数，也是幂函数
4.若四个幂函数y＝，y＝，y＝，y＝在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c
二.填空题
5．写出下列函数的定义域，判断其奇偶性
（1）的定义域 ，奇偶性为
（2）的定义域 ，奇偶性为
（3）的定义域 ，奇偶性为
（4）的定义域 ，奇偶性为
（5）的定义域 ，奇偶性为
6.若一个幂函数的图象过点，则的解析式为
7.比较下列各组数的大小
（1） ； （2） ； （3） .
8.已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围为 。
9.已知函数是幂函数，求实数的值为 。
三.解答题
10. 已知函数为偶函数，且，求m的值，并确定的解析式．
11.讨论函数在上的单调性．
12．已知幂函数＝（）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求的值，并写出相应的函数．
我祝愿
爱我的同学我爱的同学数学都好！
第7讲 考答案
一.选择题
1. D; 2. B; 3. D; 4. B.
二.填空题
5. ⑴,偶函数; ⑵,奇函数; ⑶,非奇非偶函数;
⑷,奇函数; ⑸,奇函数.
6. ; 7. ⑴, ⑵, ⑶; 8. ; 9. 0或-1 .
三.解答题
10.解：∵是偶函数，∴应为偶数．
又∵，即，整理，得，∴，∴．
又∵，∴或1．
当时，为奇数（舍去）；当时，为偶数．
故，．
11.解：（1）当，即或时，为常函数；
（2）当时，或，此时函数为常函数；
（3）即时，函数在上为减函数；
（4）当即或时，函数在上为增函数；
（5）当即时，函数在上为增函数；
（6）当，即时，函数在上为减函数．
12.解：在（0，＋∞）上是增函数，
又，故。
⑴当时，，定义域为不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，与已知矛盾；
⑵当时，，符合题意；
⑶当时，，不合题意。
综上知：，。
本讲义按照如下线索展开内容：知识梳理——典例精析——过关精练.
本讲义可供学生在高一上期的学习过程中使用,更可作为教师的教学或周末家教辅导参考资料。
目录
第1讲 集合及其运算
第2讲 函数及其表示
第3讲 函数的性质
第4讲 集合与函数的概念检测题
第5讲 二次函数
第6讲 指数函数与对数函数
第7讲 幂函数
第1讲 集合及其运算
成都外国语学校 刘世华
【知识梳理】
1．集合中元素特性：（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性。
2．集合的表示方法：（1）列举法；（2）描述法；（3）文氏图。
点拨：，，是不同的集合.
3．子集：对任意，都有，则（或）。
（1）如果，且，则；
（2）如果，但存在元素则称是的 ，记作。
4. 空集：（1）不含任何元素；（2）（是任何集合）；（3）（）。
5．集合的运算：
（1）交集： A∩B={x|x∈A,且x∈B}；
（2）并集： A∪B={x|x∈A，或x∈B}；
（3）补集：若，则。
6．常用结论：（1）；（2）；
（3）德莫根定律：，；
（4）含个元素的集合共有 个子集；有 个真子集；有 个非空真子集。
7. 思想方法：（1）数形结合：数轴、文氏图；（2）补集思想：正难则反。
【典例精析】
例1. （1）集合，则_ _
（2）集合，则_ _
（3）集合，则_ _
例2. 已知集合，试判定与的关系。
例3. 已知非空集合满足：①；②若，则，求出符合条件的所有集合。
例4. 若，且，求实数的值。
例5. 设，若，求实数的取值范围。
例6. 已知全集，集合，若，问这样的实数是否存在？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由。
例7.设非空集合满足：当时，有。
（1）若，求；（2）若，求的范围；（3）若，求的范围。
【过关精练】
一.选择题
1.若集合，又，则实数的取值集合为( )
A． B． C． D．
2．设集合，则满足的集合的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．设数集，且均为集合的子集，如果定义为区间的长度，则的长度的最大、小值分别为( )
A．1、 B．、 C．、 D．、
4．满足条件的集合的个数为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
二.填空题
5．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意的，都有(除数)，则称P是一个数域。例如有理数集Q是数域。有下列命题：
①数域必含有两数；②整数集是数域；
③若有理数集，则数集必为数域；④数域必为无限集。
其中正确的命题的序号是__ __
6．设，则__ __
7．若集合子集只有一个，则实数∈
8．有下列命题：①没有子集；②任何一个集合至少有两个子集；③是任何集合的真子集；④；⑤。其中正确的命题的序号为_____________
三．解答题
9．设，若，求实数的取值范围。
10．已知集合，且，求实数的取值范围。
11.设，函数若的解集为
，求实数的取值范围。
12．已知关于的三个方程：①②
③中至少有一个方程有实根，求实数的取值范围。
思法语录
学数学，磨脑壳！
要学好，靠拼搏！
有思法，苦也乐！
第1讲 参考答案
一.选择题
1.C; 2. C; 3.D; 4.B.
二.填空题
5. ①,④; 6.［0,2］; 7.（2,6）; 8. ④,⑤.
三.解答题
9.解：因A=｛1,2｝. ,故分B=,｛1｝,｛2｝,｛1,2｝四种情况讨论：
（1）当B=时，⊿＝㎡-8＜0, ∴
（2）当B=｛1｝时，m不存在；
（3）当B=｛2｝时，m不存在；
（4）当B=｛1,2｝时，m=3.
综上知或m=3.
10.解：当A=时，⊿＜0, 得-4＜p＜0；
当A≠时，因两根之积大于0，故必为两负根，易得p≦-4，
综上知，的取值范围是
11.解：（1）当a=0时，适合题意；
（2）当a＞0时，利用数形结合易得0＜a≦；
（3）当a＜0时，易得-2≦a＜0。
综上知
12.解：若三个方程都无实根，则
，因此所求的取值范围是
第2讲 函数及其表示
成都外国语学校 刘世华
【知识梳理】
1.映射与函数的概念
（1）定义：设、是两个非空集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合到的映射，记作．
（2）特别，当、是两个非空数集时，就是到的一个函数，记为。
（3）如果中的元素和中的元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．
2.函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
点拨：值域由定义域和对应法则确定；两个函数是同一函数定义域相同，且对应法则也相同的。比如和为同一函数.
3.函数的表示方法：常用的有解析法、列表法、图象法三种．
4.复合函数：由复合而得.
【典例精析】
例1．（1）已知：①集合，，对应法则；
②，对应法则；
③对应法则；
④集合，对应法则
其中是从到的函数的序号是
（2）给出以下6组函数： ①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥。
其中是相同函数的序号是
（3）函数的图象与直线的公共点的个数为______ _
（4）已知集合，则能够建立从到的函数共有__________个。
例2．（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域是
（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为________ __
点拨： 复合函数的定义域：（1）已知的定义域A, 则的定义域为；（2）已知的定义域A, 则的定义域为。
例3．若函数的定义域为，则 ， 。
例4．求下列函数的值域：
(1)； （2）；
（3）； (4)；
(5)； (6) 。
点拨：求值域的常用方法：⑴直接法；⑵分离常数法；⑶反解法；⑷配方法；⑸换元法；⑹判别式法；⑺单调性法；（8）图象法…。 注意：定义域优先。
例5．（1）已知，若，则用列举法表示集合
（2）若解析式为，值域为的函数共有 个
点拨：给定对应关系及值域不能确定函数。给定对应关系及定义域的函数是确定的。
例6．设函数，其中，写出的表达式。
例7．已知函数，若，求实数的取值集合。
解：（1）当或时，有
从而必有或，故。
（2）当时，恒有。
①若，则，适合题意；
②若或，则，故。
综上知。
点拨：分段函函数问题离不开分类讨论思想。
例8．讨论关于的方程的实根个数.
解：方程即为，作出函数的图象：
由上图知：
点拨：数形结合是解决函数、方程、不等式问题的最重要的思想方法。
例9．定义在上的函数满足：对都有，且当时，.
（1）求.
（2）证明：①；②在上是增函数.
（3）若，解不等式：.
【过关精练】
一、选择题
1．若函数= 的定义域为,则实数的取值范围是（ ）
A．(－∞,+∞) B．(0, C．(,+∞) D．[0,
2．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．对于，不等式恒成立的的取值范围是（ ）
A． B． 或 C．或 D ．
4．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _；函数 的定义域为________；
6．若函数的定义域为，则函数的定义域是
7．已知函数满足，则= 。
8．已知函数的定义域是，则的定义域为 。
9．把函数的图象沿轴向左平移一个单位后，得到图象C，则C关于原点对称的图象的解析式为
三、解答题
10．已知函数的定义域为，求函数中实数的取值范围。
11．已知函数的值域为[1，3]，求的值。
12．若函数..
（1）求的最小值；
（2）求函数当[-3,-2]时的最值。
思法语录
良好的学习习惯包括
良好的预习习惯
良好的听课习惯
良好的作业习惯
良好的纠错习惯
良好的自学习惯
第2讲 参考答案
一、选择题
1．D； 2．B ； 3． B； 4． D。
二、填空题
5．， ； 6．；
7．； 8．； 9．
三、解答题
10．
11．
12．解：（1）
（2） 时，为减函数，
在上，也为减函数.
， .
第3讲 函数的性质
成都外国语学校 刘世华
【知识梳理】
一．单调性
1.定义：函数的定义域为，区间，若对任意的且，都有：
（1），则称函数是区间上的增函数，是的增区间。
（2），则称函数是区间上的减函数，是的减区间。
2.判定方法：
(1) 图象法；
(2) 定义法(步骤：取值、作差、变形、定号、结论) ；
(3) 结论法。如：①增+增=增；增-减=增；②当时，与的单调性相同；当时，与的单调性相反；③当恒不为0时，与的单调性相反。
3.已学函数的单调性：
（1）一次函数：
①单调递增，②单调递减
（2）反比例函数：
①时，在区间上分别是减函数；
②时，在区间上分别是增函数.
（3）二次函数（单调性以对称轴为界）：
①时，在_______________单调递增，在_____________单调递减；
②时，在_______________单调递增，在_____________单调递减；
（4）双勾函数：在和上递减；在和上递增。
4.复合函数的单调性：同增异减，小心范围。
二.函数的最值
1. 定义：设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对任意，都有，且存在 ，使得，则称是函数的最大值;
（2）对任意，都有，且存在，使得，则称是函数的最小值。
2. 结论：设函数定义在闭区间上：
(1) 若在上是连续函数，则必存在最大值和最小值；
(2) 若在上单调递增，则，；
(3) 若在上单调递减，则，。
三．奇偶性
1.定义：对函数的定义域内的任何一个自变量，都有：
⑴ ，则称函数是偶函数；
⑵ ，则称函数是奇函数。
点拨： 奇函数和偶函数的定义域关于原对称。
2．性质：
⑴ 偶函数的图象关于轴对称，反之也成立；
⑵ 奇函数的图象关于原点对称，反之也成立。
(3)在关于原点对称的两个区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性。
(4) 若是奇函数且在处有意义，则
(5) 若是偶函数，则。
3．奇偶性的推广：
对函数的定义域内的任何一个自变量：
⑴ 若都有，则的图象关于直线对称；若都有，则的图象关于直线对称。
⑵若都有，则的图象关于点对称；若都有，则的图象关于点对称。
【典例精析】
例1. 研究函数的单调性和奇偶性.
提问: 你能作出的大至图象吗？
例2. 求函数的单调区间：
（1）求函数的单调减区间；
（2）已知函数在定义域上是增函数，求函数的单调区间；
（3）求函数的单调区间。
例3. 利用函数的单调性，求参数的范围：
（1）若在区间上是增函数，则实数 ；
（2）若的增区间是，则实数 ；
（3）若在区间上具有单调性，则实数 ；
（4）若在区间上单调递增，求实数 。
例4．已知函数满足：
且，判断函数的奇偶性，并证明你的结论。
例5. 利用单调性解不等式：
（1）。
（2）定义在上的函数满足：，且当时。
若，求实数的取值范围。
例6．已知函数在上是增函数，又函数是偶函数，比较，， 的大小。
例7．给定函数。
（1）研究函数的性质（定义域，值域，奇偶性，单调性）并作其图象；
（2）解关于的方程。
【过关精练】
一.选择题
1.若在上是单调的连续函数，且，则方程在
内( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．有唯一实根
2.函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于（ ）
A.-3 B.13 C.7 D.由而定的常数
3.设函数在上为减函数，则( )
4.在上单调递减的函数是（ ）
A. B. C.y=2x+3 D.
二.填空题
5．函数是定义域上的增函数，且，则实数的取值范围为_______
6．已知奇函数在定义域上是增函数，若，则不等式的解集为___________________
7.的增区间为___________；减区间为__________；
三．解答题
8. 求证在上是增函数.
9.求函数的最值
10. 求函数的值域：
11.已知是三个正实数，且，试比较与的大小。
12.定义在上的函数满足：且当时，
（1）求证：且是增函数；
（2）若，解不等式：.
第3讲 参考答案
【过关精练】
一.选择题
1．D； 2。B； 3。D； 4。A。
二.填空题
5.; 6. ; 7. , .
三.解答题
8.证明：设,则
在上是增函数.
9.解： 在定义域 上是增函数，，无最大值.
10.解：易知在定义域上是减函数，故的值域为，即
。
点拨：本是也可用换元法转化为二次函数求解。
11.解： 是三个正实数,
.
令，则在上是增函数,
又，故,
所以.
12.解：（1）证明：令得：；
设，则。
在上是增函数
（2）
不等化为：
，解集为。
第4讲 集合与函数的概念检测题
一.选择题（共60分）
1. 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是（ ）
A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定
2.函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间（ ）
A．(3，8) B．(－7，－2) C．(－2，3) D．(0，5)
3.函数f(x)=在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围（ ）
A．(0，) B．( ，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4.连续函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（ ）
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一的实根
5.已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有
f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是（ ）
A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1)
C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9)
6．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减
函数则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知集合，且使中
元素和中的元素对应，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，若，则的值是（ ）
A． B．或 C．，或 D．
9．已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．
10．若函数的定义域为,值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数，则对任意实数，下列不等式总成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题(共16分)
13．已知，则不等式的解集是 。
14．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围是 。
15．若函数在上为增函数,则实数的取值范围是
16．已知函数，若，则的取值范围是
三.解答题(共74分)
17．已知函数是定义域在上的偶函数，且在区间上单调递减，求
满足的的集合．
.
18．是关于的一元二次方程的两个实根，又，求的解析式及此函数的定义域。
19．已知函数在有最大值和最小值，求、的值。
20．设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式.
21．设为实数，函数，
（1）讨论的奇偶性；
（2）求的最小值。
22．已知函数的定义域是，且满足, ,
当时,有
（1）求，并判定的单调性；
（2）若，解不等式。
第4讲 参考答案
一.选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B B D C B D D A C A B
二.填空题
13. ; 14. ; 15. 且; 16. .
三.解答题
17．解： 在上为偶函数，在上单调递减
在上为增函数 又
，
由得
解集为
18.解：，
∴。
19. 解：对称轴，是的递增区间，
∴
20．解：∵是偶函数, 是奇函数，∴，且
而,得,
即，
∴，。
21．解：（1）当时，为偶函数，
当时，为非奇非偶函数；
（2）当时，
当时，，
当时，不存在；
当时，
当时，，
当时，。
综上知：
22．解：（1）令，则；
在是上是增函数。
（2）
，
则。
第5讲 二次函数
成都外国语学校 刘世华
【知识梳理】
1．二次函数的概念及性质
（1）解析式
（2）对称轴方程：
（3）时图象开口向上，减区间为，增区间为
时图象开口向下，减区间为，增区间为
点拨：（1）单调性：主要考虑开口方向以及对称轴
（2）对称性：①与对称轴等距的两点的函数值相等；②开口向上时，距离对称轴越远函数值越大；③开口向下时，距离对称轴越远函数值越小。
2．闭区间上的二次函数的最值处理的方法和步骤：
（1）找出闭区间：特别是当求一个二次函数的最值但又没有给区间时，一定得注意挖掘题目的这一隐含条件；
（2）求出二次函数的对称轴，并判定它与区间的位置关系，若定则不用讨论，若否定则从左向右进行讨论；
（3）结合二次函数的草图求最值。
3．一元二次方程的根的分布
（1）解题思路：把一元二次方程的根的分布问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的图象来加以解决。
（2） 关于一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者间的关系：二次函数占主导地位，一元二次方程和一元二次不等式的问题常转化为二次函数来处理。
（3）令一元二次方程的根为，
设二次函数，可分成两种类型：
① 当分布在同一个区间的处理方法：
作出符合要求的二次函数的草图，结合图象考虑以下三个方面的问题：区间端点处的函数值的符号；对称轴要在给定的区间内；判别式。
② 当分布在两个不同的区间时的处理方法：
作出符合要求的二次函数的草图，仅仅考虑区间端点处的函数值的符号。
点拨：小心是否取“=”号。
【典例精析】
例1．已知函数在区间上恒正，求实数的取值范围。
例2．设在闭区间上恒非负，求实数的取值范围。
例3．若关于的方程有实根，求实数的取值范围。
点拨：求参数范围的常用方法：
（1）数形结合法；（2）最值法；（3）分离参数法，
例4.如果函数定义在区间上，求的最小值。
例5.已知二次函数在区间上的最大值为5，求实数的值。
例6．设二次函数，又方程的两个根满足条件。
（1）当时，证明：；
（2）设函数的图象关于直线对称，证明：。
【过关精练】
一.选择题
1.若为偶函数，则在区间（－3，1）上（ ）
A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增
2.二次函数满足且的两实根为、则( )
A.0 B. 3 C. 6 D.不能确定
3.定义域为R的二次函数为偶函数，且在上为减函数，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知函数在有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二.填空题
5．已知二次函数在上单调递减，则实数的取值范围为
6．函数的最大值为 ，最小值为 。
7．已知关于的二次方程的两根分别在与内。则的取值范围是
三.解答题
8．设二次函数满足，且图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式及其单调区间。
9．求函数在区间[0，1]上的最值。
10．已知方程，求分别满足下列条件的实数的取值范围。
方程的根分布在；
方程在内有实根。
11．当为何值时，关于的一元二次方程在（0，1）内有两个相异实根？
12.设，且，.
（1）求证：与的图象有两个不同交点；
（2）设方程两根之差的绝对值为，求的取值范围.
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第5讲 参考答案
一.选择题
1. C； 2. C； 3. B； 4. C。
二.填空题
5. ； 6.3，0 ； 7. 。
三.解答题
8．解：设。
，
。其增区间为，减区间为。
9．解：。
，。
10．解：（1）令，则
；
（2）（分离参数法），。
令，则。
，。
11．解：令，则
。
12.解：（1） 且。
，。
与的图象有两个不同交点。
（2）
。令，则
，。
第6讲 指数函数与对数函数
成都外国语学校 刘世华
【知识梳理】
1．指数与对数的运算性质：
（1）指数式与对数式的互化：
。
（2）指数的运算性质：；；；。
（3）对数的运算性质：
①恒等式：；。
②； ； 。
③换底公式及推论：
；； ； 。
2． 指数函数的图象和性质：
a>1 0
性质 (1)定义域：
（2）值域：
（3）过定点 ，即x=0时，y=1
（4）在 R上是 函数 （4）在R上是 函数
3．对数函数的图象和性质：
a>1 0
性质 (1)定义域：
（2）值域：
（3）过定点 ，即x=1时，y=0
（4）在上是 函数 （4）在上是 函数
点拨：1。对指数函数：
（1）当时，，；
（2）当时，，.
(3) 底增大，图逆转。
2．对数函数：
（1）当时，，；
（2）当时，，；
(3) 底增大，图顺转。
【典例精析】
例1．（1）若用和表示=
（2）=
（3）已知，则_______
例2．比较大小：
（1）①；②；
（2）若，试比较与的大小。
（3）已知且，试比较与的大小。
例3．已知，，的值域为，求的值。
例4．求下列函数的定义与值域：
（1）； （2）
例5．（1）已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；
（2）已知函数在区间上是增函数，求的取值范围。
例6．已知函数
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若的值域为，求实数的取值范围；
（3）若在内为增函数，求实数的取值范围
【过关精练】
一.选择题
1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是 ( )
A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋)
C．y＝2x＋2－x D．y＝lg
2．若log2a＜0，b＞1，则 ( )
A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
3．设f(x)＝lg(＋a)是奇函数，则使f(x)＜0的x的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
4．设，，c＝0.3，则 ( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
5．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为
loga2＋6，则a的值为 ( )
A. B. C．2 D．4
二.填空题
6．计算：_______.
7．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A B，则实数a的取值范
围是(c，＋∞)，其中c＝________.
8．函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．
9．函数在上恒有，则实数的取值范围为
三.解答题
10．求值：.
11．若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x 的值．
12．设,若当时有意义,求的取值范围。
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第6讲 参考答案
一.选择题
1. D； 2. D； 3. A； 4. B； 5. C。
二.填空题
6. －2； 7. 4； 8. (－∞，0)； 9. 。
三.解答题
10.解：解法一：原式＝＝.
解法二：原式＝。
11.解：y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2＞0，
解得x＜1或x＞3，∴M＝{x|x＜1，或x＞3}，
f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2.
令2x＝t，∵x＜1或x＞3，∴t＞8或0＜t＜2.
∴f(t)＝4t－3t2＝－32＋(t＞8或0＜t＜2)．
由二次函数性质可知：
当0＜t＜2时，f(t)∈，
当t＞8时，f(t)∈(－∞，－160)，
当2x＝t＝，即x＝log2 时，f(x)max＝.
综上可知：当x＝log2 时，f(x)取到最大值为，无最小值．
12.解：由题意：对。恒成立，即对恒成立。令，。则。
是增函数，，故。
第7讲 幂函数
成都外国语学校 刘世华
【知识梳理】
1．引入：函数y=x、y=x2、y=的表达式有着共同的特征：幂的 是自变量，指数是 .
2．定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中为常数。
3．幂函数（）的图像：
主要分以下几类：
（1）当=0时，图像是过（1，1）点平行于x轴但除去（0，1）点的一条断直线。
（2）当为正偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限及原点。
（3）当为正奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点。
（4）当为负偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限但不过原点。
（5）当为负奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限但不过原点。
（6）当为正分数时，设为（m、n是互质的正整数）。如果m，n都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点；当m是偶数、n是奇数时，幂函数是偶函数，图像过第一、二象限及原点；如果m为奇数、n为偶数，幂函数是非奇非偶函数，图像过第一象限及原点。
（7）当为负分数时，设为（m、n是互质的正整数）。如果m，n都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限；当n是偶数、m是奇数时，幂函数为非奇非偶函数，图像只在第一象限；如果n为奇数、m为偶数，幂函数是偶函数，图像过第一、二象限。
（8）幂函数图像一定不会出现在第四象限，若幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点，当时，在第一象限以两坐标轴为渐近线。
4．幂函数（）的性质：
（1）图象通过定点 ；
（2）奇偶性：①当时，是 函数； ②当时，是 函数；
③当时，是 函数。
（3）单调性：①当时，在是 函数；②当时，在是 函数。
【典例精析】
例1.求实数的取值范围：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
点拨：通过以上探究，我们对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象有了较深刻的认识，同时对于形如（是常数）型的不等式的解法有了以下体会：
（1）当，解法同⑴
（2）当，解法同⑵
（3）当，解法同⑶
（4）当，解法同⑷．
例2．比较下列两个代数式值的大小：
（1）， ； （2），
点拨：本题考查幂函数的单调性的应用。
例3．讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象。并根据图象说明函数的增减性。
点拨：本题考查幂函数图像的应用
例4.已知函数的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．
点拨：本题考查分类讨论的思想
例5.已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．
问当x为何值时有：（１）；（２）；（３）．
点拨：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中的隐含条件．
例6．已知函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
点拨：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用．判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练．
【过关精练】
一.选择题
1．下列函数中，是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
2.函数的定义域是全体实数，则实数m的取值范围
是（ ）．
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3．下列结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象一定过原点 B．当时，幂函数是减函数
C．当时，幂函数是增函数 D．函数既是二次函数，也是幂函数
4.若四个幂函数y＝，y＝，y＝，y＝在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c
二.填空题
5．写出下列函数的定义域，判断其奇偶性
（1）的定义域 ，奇偶性为
（2）的定义域 ，奇偶性为
（3）的定义域 ，奇偶性为
（4）的定义域 ，奇偶性为
（5）的定义域 ，奇偶性为
6.若一个幂函数的图象过点，则的解析式为
7.比较下列各组数的大小
（1） ； （2） ； （3） .
8.已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围为 。
9.已知函数是幂函数，求实数的值为 。
三.解答题
10. 已知函数为偶函数，且，求m的值，并确定的解析式．
11.讨论函数在上的单调性．
12．已知幂函数＝（）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求的值，并写出相应的函数．
我祝愿
爱我的同学我爱的同学数学都好！
第7讲 考答案
一.选择题
1. D; 2. B; 3. D; 4. B.
二.填空题
5. ⑴,偶函数; ⑵,奇函数; ⑶,非奇非偶函数;
⑷,奇函数; ⑸,奇函数.
6. ; 7. ⑴, ⑵, ⑶; 8. ; 9. 0或-1 .
三.解答题
10.解：∵是偶函数，∴应为偶数．
又∵，即，整理，得，∴，∴．
又∵，∴或1．
当时，为奇数（舍去）；当时，为偶数．
故，．
11.解：（1）当，即或时，为常函数；
（2）当时，或，此时函数为常函数；
（3）即时，函数在上为减函数；
（4）当即或时，函数在上为增函数；
（5）当即时，函数在上为增函数；
（6）当，即时，函数在上为减函数．
12.解：在（0，＋∞）上是增函数，
又，故。
⑴当时，，定义域为不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，与已知矛盾；
⑵当时，，符合题意；
⑶当时，，不合题意。
综上知：，。