中小学教育资源及组卷应用平台
【挑战期末压轴】考题1：二次根式问题综合（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式中，一定是二次根式的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】
根据二次根式的定义即可作出判断．
【详解】
解：一定是二次根式；
当m＜0时，不是二次根式；
对于任意的数x，x2+1＞0，则一定是二次根式；
是三次方根，不是二次根式；
﹣m2﹣1＜0，则不是二次根式；
是二次根式；
当a＜时，2a+1可能小于0，则不一定是二次根式．
综上所述，一定是二次根式的有，共3个，
故选：A．
【点睛】
主要考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
2．计算的结果为( )
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】C
【分析】
利用二次根式的运算法则进行计算，即可得出结论．
【详解】
解：
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则，并能结合乘法公式进行简便运算是解答此题的关键．21·cn·jy·com
3．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据二次根式的非负性，构造不等式求解即可.
【详解】
∵是二次根式，
∴≥0，
∴≥0，
解得 ，
故选D.
【点睛】
本题考查了二次根式的非负性，熟练将二次根式的非负性转化成对应的不等式是解题的关键.
4．（2021·上海市建平中学西校八年级期末）下列各组根式中，不是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】
根据题意，将它们化成最简二次根式比较被开方数是否相同，
【详解】
A．和被开方数都是3，故A不符合题意；
B.和被开方数都是2，故B不符合题意；
C.和被开方数不同，故C符合题意；
D.和被开方数都是5，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．21·世纪*教育网
5．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可
【详解】
解：
A、∵是无理数，故是无理数
B、∵是无理数，故是无理数
C、为有理数
D、∵是无理数，故是无理数
故选：C
【点睛】
本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键
6．（2021·上海市罗南中学八年级期末）若，，化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先根据二次根式的乘法对式子变形，然后利用化简 ，注意，，最后加减运算即可．
【详解】
解：
，，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简和加减运算，属于基础题，熟练掌握二次根式的运算法则以及是解题关键．
7．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．
【详解】
∴a的小数部分为，
∴b的小数部分为，
∴，
故选：B．
【点睛】
该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
8．关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.
②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】
①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案．
【详解】
解：①当时，
．
故①正确；
②若值为2，
则，
∴a2+2a+1=2a+4，
∴a2=3，
∴．
故②错误；
③若a＞-2，则a+2＞0，
∴=21世纪教育网版权所有
=
=≥0．
∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0．
故③正确．
综上，正确的有①③．
故选：C．【来源：21·世纪·教育·网】
【点睛】
本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．
9．当时，的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】
根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
解：原式=
将代入得，
原式
.
故选：A.
【点睛】
本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．www-2-1-cnjy-com
10．（上海·八年级期中）化简：的结果是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用完全平方公式化简即可.
【详解】
故选D
【点睛】
本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
二、填空题
11．已知，，，…，（、均为实数）则__________，__________．
【答案】7， 48
【分析】
利用已知条件，找出规律，写出结果即可．
【详解】
解：∵，
，
，
，
∴，
，
，
，
∴，，
故答案为：7，48
【点睛】
本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．【来源：21cnj*y.co*m】
12．（2021·上海浦东新·七年级期末）已知函数y＝，当x＝时，y＝_____．
【答案】2+
【分析】
把自变量x 的值代入函数关系式进行计算即可．
【详解】
解：当x＝时，
函数y＝＝＝＝2+，
故答案为：2+．
【点睛】
本题考查了求函数值及分母有理化，理解求函数值的方法及分母有理化是解题关键．
13．（2021·上海市建平中学西校八年级期末）若实数满足，则的值是_________
【答案】
【分析】
把已知条件化为两个完全平方式，可知两个非负数相加为0，则每个式子都为0，从而列方程求出x和y，代入即可解答．【版权所有：21教育】
【详解】
解：∵
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质以及二次根式的混合运算，两非负数之和等于0，则两数均为0，求得x、y值．本题中把变形得是解题的关键．21教育名师原创作品
14．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）已知，，则的值是______．
【答案】100
【分析】
先计算，即可得到的值．
【详解】
∵，
∴
∴=
故答案为：100．
【点睛】
此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
15．（2021·上海市文来中学七年级期中）如果，那么________．
【答案】-1
【分析】
根据已知条件先确定a的取值范围，再化简即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，，
，
=，
=，
=，
=，
=-1．
【点睛】
本题考查了二次根式化简和绝对值的意 ( http: / / www.21cnjy.com )义，解题关键根据一个数的绝对值与它本身的商为-1，这个数是负数确定a的取值范围，熟练运用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简．【出处：21教育名师】
16．（2021·上海市文来中学七年级期中）比较大小_____．
【答案】
【分析】
利用作差法进行比较即可，如a-b＞0，则a＞b．
【详解】
解：作差法可得：
，
∵与0的大小并不能直接观察得出，
∴利用平方法比较与的大小，
∵，
又∵，
∴，
则，
∴
即＜0，
∴，
得出：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查无理数的大小比较，可以利用近似值、作差法、分母有理化、求倒数等方法进行比较，选择合适的方法，灵活计算是解题的关键．21*cnjy*com
17．（2021·上海市建平实验中学七年级期中）计算：________．
【答案】
【分析】
直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】
解：原式
．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）已知，化简____________________．
【答案】
【分析】
利用二次根式的性质得，然后利用x的范围去绝对值后合并即可
【详解】
，
原式
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
19．（2021·上海市建平中学西校八年级期末）不等式x﹣2x＞1的解集是 ___．
【答案】##
【分析】
先根据不等式的基本性质求得，再根据二次根式的分母有理化计算即可．
【详解】
解：∵x﹣2x＞1，
∴(﹣2)x＞1，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式以及二次根式的分母有理化，熟练掌握不等式的基本性质以及二次根式的运算法则是解决本题的关键．21教育网
20．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）如图，已知AB∥CD，AB= ，CD= ， =3， = ，则=______2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】2
【分析】
由已知可求得和△ABE边AB上的高，进而求得△CDE的边CD上的高，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【详解】
解：，
设的高为h，的高为，则的高为，
，
，
的高为，
，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了三角形的面积公式，根据条件求得△CDE的边CD上的高是解题的关键．
三、解答题
21．（2021·上海市建平中学西校八年级期末）已知：，求值：x2﹣y2．
【答案】
【分析】
先利用分母有理化把二次根式化简，再利用平方差公式分解因式，进而即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴x2﹣y2=（x+y）（x-y）= =．
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算，掌握负整数指数幂和分母有理化是解题的关键．
22．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）
【答案】
【分析】
先将括号里的式子分别约一个和，对第二个式子分母因式分解，除号变为乘号，然后对括号里的式子通分运算，最后一个式子先约一个，然后分子提取，最后约分和乘法运算即可．
【详解】
解：
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简运算，计算量比较大，涉及平方差公式以及因式分解，熟练掌握二次根式的运算法则以及平方差公式和因式分解是解题关键．
23．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）已知，求代数式的值
【答案】
【分析】
根据因式分解和分式的性质以及二次根式的性质化简，进而将字母的值代入求解
【详解】
原式
当时
原式
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，二次根式的性质，分母有理化，掌握二次根式的性质是解题的关键．
24．（上海杨浦·八年级期中）先化简，再求值：，其中.
【答案】，
【分析】
首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．
【详解】
解：原式
当时，
原式
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．
25．（上海市市八初级中学八年级期末）观察下列各式及其化简过程：=;
（1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将的化简；
（2）化简：
（3）化简；
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）观察题中给的例子，我们将10拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可；
（2）将10拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可；
（3）将原式变形为，即，然后将12拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可.
【详解】
（1）===；
（2）===；
（3）======.
【点睛】
本题考查了二次根式化简与完全平方式的综合运用，通过题干得出相应的方法是解题关键.
26．（2020·上海浦东新·八年级期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在中，已知，，，求的面积；
（2）计算（1）中的边上的高．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解；
（2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解．
【详解】
解：（1），
所以，
答：的面积是．
（2）边上的高，
答：边的高是．
故答案为（1）；（2）．
【点睛】
本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．2-1-c-n-j-y
27．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简；
．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．
（1）请任用其中一种方法化简：
①；
②为正整数）；
（2）化简：．
【答案】（1）①；②；（2）
【分析】
（1）根据阅读材料中的方法将各式化简即可；
（2）原式分母有理化后，合并即可得到结果．
【详解】
解：（1）①原式；
②原式；
（2）原式．
【点睛】
此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的解题方法是解本题的关键．
28．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是．
印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数)21cnjy.com
根据上述信息解决下列问题：
（1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是
（2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）；（2）
【分析】
(1)根据三角形的面积公式直接代入数据计算即可；
【详解】
(1)p=，
∴三角形的面积是：
；
(2) ，
∴，
，
∴，
∴
，
又，
∴，
∴这个零件平面图的面积是．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的应用，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据题目给出的公式代入计算．还考查了计算能力．www.21-cn-jy.com
29．（2021·上海市建平中学西校八年级期末）已知求：的值．
【答案】77
【分析】
先逆用完全平方公式将原式进行变形，再通过x求出的值，最后将它们同时代入变形后的式子中求解即可．
【详解】
解：
原式=．
故原式的值为77．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减乘除和乘方 ( http: / / www.21cnjy.com )运算，解题关键在于先对原式进行变形再代入，以简化计算，化简过程中涉及到了完全平方公式的逆用，计算过程中用到了因式分解法以及二次根式的分母有理化等内容，要求考生不仅要熟练掌握运算规则，同时还要具备观察和分析问题的能力，这样才能快速准确的计算出答案．21*cnjy*com
30．（上海·八年级期中）阅读，并回答下列问题：
公元3世纪，我国古代数学家刘徵就能利用近似公式得到的近似值.
（1）他的算法是：先将看成，利用近似公式得到，再将看成，由近似公式得到___________≈______________；依次算法，所得的近似值会越来越精确.
（2）按照上述取近似值的方法，当取近似值时，求近似公式中的和的值.
【答案】（1）；（2）或 ；或
【分析】
根据近似公式计算出近似值的过程和方法计算的近似值和确定a和r的值.
【详解】
（1）根据近似公式可知：≈
故答案为；
（2）∵
∴
∴
∴
整理，
解得： 或
∴或
故答案为或 ；或
【点睛】
本题考查二次根式的估算，审清题意，根据题目所给的近似公式计算是解题关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【挑战期末压轴】考题1：二次根式问题综合（学生版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式中，一定是二次根式的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．计算的结果为( )
A．-1 B．0 C．1 D．
3．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·上海市建平中学西校八年级期末）下列各组根式中，不是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
5．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·上海市罗南中学八年级期末）若，，化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
7．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.
②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
9．当时，的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
10．（上海·八年级期中）化简：的结果是（ ）
A．6 B． C． D．
二、填空题
11．已知，，，…，（、均为实数）则__________，__________．
12．（2021·上海浦东新·七年级期末）已知函数y＝，当x＝时，y＝_____．
13．（2021·上海市建平中学西校八年级期末）若实数满足，则的值是_________
14．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）已知，，则的值是______．
15．（2021·上海市文来中学七年级期中）如果，那么________．
16．（2021·上海市文来中学七年级期中）比较大小_____．
17．（2021·上海市建平实验中学七年级期中）计算：________．
18．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）已知，化简____________________．21世纪教育网版权所有
19．（2021·上海市建平中学西校八年级期末）不等式x﹣2x＞1的解集是 ___．
20．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）如图，已知AB∥CD，AB= ，CD= ， =3， = ，则=______21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
21．（2021·上海市建平中学西校八年级期末）已知：，求值：x2﹣y2．
22．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）
23．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）已知，求代数式的值
24．（上海杨浦·八年级期中）先化简，再求值：，其中.
25．（上海市市八初级中学八年级期末）观察下列各式及其化简过程：=;
（1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将的化简；
（2）化简：
（3）化简；
26．（2020·上海浦东新·八年级期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在中，已知，，，求的面积；
（2）计算（1）中的边上的高．
27．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简；
．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．
（1）请任用其中一种方法化简：
①；
②为正整数）；
（2）化简：．
28．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是．
印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数)21cnjy.com
根据上述信息解决下列问题：
（1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是
（2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
29．（2021·上海市建平中学西校八年级期末）已知求：的值．
30．（上海·八年级期中）阅读，并回答下列问题：
公元3世纪，我国古代数学家刘徵就能利用近似公式得到的近似值.
（1）他的算法是：先将看成，利用近似公式得到，再将看成，由近似公式得到___________≈______________；依次算法，所得的近似值会越来越精确.www.21-cn-jy.com
（2）按照上述取近似值的方法，当取近似值时，求近似公式中的和的值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
