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【挑战期末压轴】考题2：一元二次方程综合（学生版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若关于的方程有实数根，甲说的值可以是0，乙说的值可以是任意值，丙说的值可以是1，则下列说法正确的是（ ）21·cn·jy·com
A．甲、乙正确 B．乙、丙正确 C．甲、丙正确 D．甲、乙、丙都正确
2．（2021·上海长宁·八年级期末）已知为实数，则关于的方程的实数根情况一定是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
3．如果一元二次方程x2 - mx + 2 = 0的解为两个不相等的负实数根，则m的取值范围是（ ）21教育网
A． B． C．或 D．无解
4．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
5．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
6．关于x的一元二次方程（a，b是常数，且）（ ）
A．若，则方程可能有两个相等的实数根 B．若，则方程可能没有实数根
C．若，则方程可能有两个相等的实数根 D．若，则方程没有实数根
7．《生物多祥性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，塞为20m的矩形场地（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行、另一条与平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为，求道路的宽度、若设道路的宽度为，则满足的方程为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
8．（上海·八年级课时练习）若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）．
A．a≤ B．a≥4 C．a≤或 a≥4 D．≤a≤4
9．（上海市张江集团中学七年级期中）多项式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．下列方程一定有实数解的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1，=______．
12．（2021·上海市罗南中学八年级期末）等腰三角形的两边的长是方程的两个根，则此三角形的周长为______．21世纪教育网版权所有
13．（上海·八年级期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是____________21·世纪*教育网
14．（上海·八年级期中）已知关于x的一元二次方程没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为和，则=____________www-2-1-cnjy-com
15．（上海·华东师范大学第二附属中学附属初级中学八年级期末）在等腰△ABC中，已知a=3,b和c是关于x的方程的两个根，则△ABC的周长为_______
16．（上海师大附中附属龙华中学八年级期末）在实数范围内因式分解3x -4xy-2y2=______.【来源：21cnj*y.co*m】
17．（上海师大附中附属龙华中学八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )已知等腰△ABC的两边是关于x的方程x -3mx+9m=0的两根，第三边的长是4，则m=______.【出处：21教育名师】
18．已知：(x2+y2)(x2+y2-4)-12=0,则x2+y2的值为_____________.
19．（上海市张江集团中学八年级期末）双二次方程x4﹣2019x2+4＝0的所有实根之和为_____．【版权所有：21教育】
20．（上海交大附中九年级）若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为_____．21教育名师原创作品
三、解答题
21．（2020·上海普华教育信息咨询有限公司八年级期中）某快递公司今年月份与月份完成投递的快递件数分别为万件和万件现假定该公司月、月每月投递的快递件数的增长率相等．由于“双”购物节的影响，预计该公司月投递的快递件数增长．21*cnjy*com
（1）求该公司月、月投递快件数的月平均增长率；
（2）求月该公司投递的快递件数．
22．如图所示，要建设一个面积为90 ( http: / / www.21cnjy.com )平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库如图要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？
( http: / / www.21cnjy.com / )
23．某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过人，那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超过人，则这个团队除了需交200元入园费外，超过部分游客还要按每人元交入园费，下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况：
旅游团队名称 团队人数（人） 入园费用（元）
旅游团队1 80 350
旅游团队2 45 200
根据上表的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的人是多少？
24．2020年，受新冠疫情影响，众多 ( http: / / www.21cnjy.com )学校开展了“停课不停学”的线上教学活动，因此，手写板的需求量大幅上升．某网店抓住时机销售A，B两款手写板，A型手写板的单价为360元，B型手写板的单价为240元．21cnjy.com
（1）商家在1月共销售两种型号手写板600个，若A型手写板的销售额不低于B型手写板销售额的3倍，求1月A型手写板至少售出多少个？2·1·c·n·j·y
（2）该商家在2月继续销售这两种型号的手写板并适当的进行了调整，A型手写板的售价降低了a%．B型手写板的销价不变．结果A型手写板的销售量在1月最低销售量的基础上增加了a%，B型手写板的销售量在一月保证A最低销量的基础上增加了a%，结果2月两种手写板的总销售额比1月两种手写板的总销售额增加了a%，求a的值．21*cnjy*com
25．（上海·八年级课时练习）某中心城市 ( http: / / www.21cnjy.com )有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？2-1-c-n-j-y
26．（上海市曹杨二中附属江桥实验中学八年级期末）已知关于x的方程(m+1)x2+2mx+(m-3)=0，当m取何值时，
(1)方程有两个不相等的实数根.
(2)方程有一个根为零，求另一个根.
27．己知关于x的方程没有实数根，试判断关于x的方程的根的情况.
28．（上海交大附中九年级）如图，数轴上从左到右依次有、、、四个点，它们对应的实数分别为、、、，如果存在实数，满足：对线段和上的任意一点，其对应的实数为，实数对应的点仍然在线段或上，则称（，，，，）为“完美数组”，例如：就是一组“完美数组”，已知，，，求此时所有的“完美数组”，写出你的结论和推算过程．
29．（上海市培佳双语学校七年级期末）解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
30．（上海市张江集团中学八年级期末）解方程：
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【挑战期末压轴】考题2：一元二次方程综合（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若关于的方程有实数根，甲说的值可以是0，乙说的值可以是任意值，丙说的值可以是1，则下列说法正确的是（ ）21·cn·jy·com
A．甲、乙正确 B．乙、丙正确 C．甲、丙正确 D．甲、乙、丙都正确
【答案】C
【分析】
由题意，可分为一元一次方程和一元二次方程两种情况进行分析，通过计算即可得到答案．
【详解】
解：∵关于的方程有实数根，
当时，方程为，
解得：；故甲说法正确；
当时，方程是一元二次方程，
∴，
解得：且，
综合上述，m的取值范围是；
∴满足题意，故丙说法正确，乙说法错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元一次方程的解，解题的关键是掌握根的判别式进行解题．
2．（2021·上海长宁·八年级期末）已知为实数，则关于的方程的实数根情况一定是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】
计算判别式的值，利用配方法得到△＝（m+2）2≥0，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】
解：∵a＝1，b＝－(m－2)，c＝－2m，
∴
，
∵，
∴，
∴方程有两个实数根，
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程a ( http: / / www.21cnjy.com )x2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2－4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21cnjy.com
3．如果一元二次方程x2 - mx + 2 = 0的解为两个不相等的负实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．无解
【答案】B
【分析】
根据方程有两个不相等实数解，△＞0，得到m2 - 8 ＞ 0，解得m > 或 m < ，再根据公式法求出方程的解，根据方程有两个不相等的负实数根即可判断m的取值．
【详解】
若方程有两个不相等实数解，则m2 - 8 ＞ 0，
通过数形结合可知m > 或 m < ，
方程两个解为，
若m > ，则一定有一个正实数根，所以m < ，
当m < 时，
因为一定小于0，所以比较与0大小，
假设＜0，那么解得 -8 ＜ 0 ，即m为一切实数，
故选：B．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求根公式，实数的大小比较，解题的关键是熟知根的判别式与数形结合思想.
4．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【答案】C
【分析】
由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】
解：由已知得：
，
解得：a≥1且a≠5，
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．
5．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设参加活动的同学有x人，则每人送出（）张贺卡，根据参加活动的同学共送贺卡42张，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】
解：设参加活动的同学有x人，则每人送出（）张贺卡，
依题意得：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．关于x的一元二次方程（a，b是常数，且）（ ）
A．若，则方程可能有两个相等的实数根 B．若，则方程可能没有实数根
C．若，则方程可能有两个相等的实数根 D．若，则方程没有实数根
【答案】C
【分析】
先把方程化为一般式，再计算判别式的值得 ( http: / / www.21cnjy.com )到△=b2+36a，则a＞0时，△＞0，则根据判别式的意义可对A进行判断；当a＜0时，可能△＞0或△=0或△＜0，则根据判别式的意义可对B、C、D进行判断．
【详解】
解：ax2+bx-9=0，
△=b2-4×a×（-9）=b2+36a
当a＞0时，△＞0，方程有两个不相等的实数根
当a＜0时，△＞0或△=0或△＜0，方程可能有两个不相等的实数根或方程有两个相等的实数根或没有实数解．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
7．《生物多祥性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，塞为20m的矩形场地（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行、另一条与平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为，求道路的宽度、若设道路的宽度为，则满足的方程为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
将6块草坪拼在一起，便组成一个长为，宽为的矩形即可列出方程．
【详解】
解：道路的宽度为米，
将6块草坪拼在一起，便组成一个长为，宽为的矩形，
每块草坪的面积为
则有
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是读懂题目，将6个草坪拼接成一个矩形，利用等量关系列方程．
8．（上海·八年级课时练习）若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）．
A．a≤ B．a≥4 C．a≤或 a≥4 D．≤a≤4
【答案】C
【分析】
把a ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，由△≥0，得关于a的不等式，解不等式即可．
【详解】
把a ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2 ab+a+2＝0
的判别式△≥0，即a2-4（a+2）≥0，a2-2a-8≥0，
（a-4）（a+2）≥0，
解得a≤-2或a≥4．
故选C．
9．（上海市张江集团中学七年级期中）多项式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先将多项式2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51分组配方，根据偶次方的非负性可得答案．
【详解】
2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51
=x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15
=(x﹣2y)2+12(x﹣2y)+36+(x+y)2+15
=(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15
∵(x﹣2y+6)2≥0，(x+y)2≥0，
∴(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15≥15．
故选：C．
【点睛】
本题考查了配方法在多项式最值中的应用，熟练掌握配方法并灵活运用及恰当分组，是解答本题的关键．
10．下列方程一定有实数解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程根的判别式，二次根式有意义的条件、分式的有意义的条件和立方根的性质逐项判定即可．
【详解】
解：A. ,△=，故无实数解；
B. 由得，故无实数即；
C. ，故无实数即；
D. 由得，即x=．
故答案为D．
【点睛】
本题主要考查了无理方程的解，掌握一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式的有意义的条件和立方根的性质是解答本题的关键．
二、填空题
11．关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1，=______．
【答案】2
【分析】
根据判别式的值为1得出△=，解之求出的值，继而根据一元二次方程的定义可得答案．
【详解】
解：∵，
∴，
解得或，
又此方程为一元二次方程，即，
∴，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，一元二次方程 ()的根与有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
12．（2021·上海市罗南中学八年级期末）等腰三角形的两边的长是方程的两个根，则此三角形的周长为______．
【答案】19
【分析】
求出方程的解，得出两种情况，看看是否符合三角形三边关系，最后求出即可．
【详解】
解：x2-10x+9=0，
（x-1）（x-9）=0，
x1=1，x2=9，
即分为两种情况：
①三角形的三边是1，1，9，
∵1+1<9，
∴不符合三角形三边关系定理，此种情况不存在；
②三角形的三边是1，9，9，
∵9+9>1
此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是1+9+9=19，
综上所述，该三角形的周长是19．
故答案是：19．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理的应用，关键是能求出符合条件的所有情况．
13．（上海·八年级期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是____________
【答案】
【分析】
设一元二次方程的两个根分别为，根据方程有两个不相等的正实数根可得出，，，由此可得出m的取值范围.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
设一元二次方程的两个根分别为
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根
∴
∴
由①得：
由②得：
故m的取值范围是：
【点睛】
本题主要考查根的判别式以及根与系数的关系，还涉及解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识点是解题关键.
14．（上海·八年级期中）已知关于x的一元二次方程没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为和，则=____________
【答案】±6
【分析】
先利用两根分别表示出错误的方程为：对于甲：设，得： ；对于乙：设，得：，乙的错误不可能是看错了一次项系数的符号，分两种情况：①若乙看错了二次项系数的符号，那么甲和乙的方程里面一次项和常数项分别相等；②若乙看错了常数项的符号，那么甲和乙的方程里面一次项相等，常数项互为相反数，则正确的方程为，求代数式的值即可.
【详解】
对于甲：设
得：
对于乙：设
得：
分情况讨论：
①若乙看错了二次项系数的符号，那么
解得：，不符合题意，舍去
②若乙看错了常数项的符号，那么
解得：
则
③若乙看错了一次项项的符号，那么
解得：
则
故答案为±6
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，难度较大，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键.
15．（上海·华东师范大学第二附属中学附属初级中学八年级期末）在等腰△ABC中，已知a=3,b和c是关于x的方程的两个根，则△ABC的周长为_______2-1-c-n-j-y
【答案】7或
【分析】
等腰三角形ABC中a可能是底边，也 ( http: / / www.21cnjy.com )可能是腰，应分两种情况进行讨论，①a是底时，即b=c时，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，从而求出其周长；②a是腰时，则方程有一个根是3，代入即可求得m的值，从而求解.21教育名师原创作品
【详解】
a是底边时，则b=c，关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得或（舍去）
当时，方程变形为
此时
所以此时△ABC的周长为3+4=7；
当a是腰时，则方程有一个根是3，把x=3代入方程得，
解得：
方程变形为：，则，解得：
所以此时△ABC的周长为；
综上所述，△ABC的周长为7或
故答案为：7或
【点睛】
本题考点涉及等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.2·1·c·n·j·y
16．（上海师大附中附属龙华中学八年级期末）在实数范围内因式分解3x -4xy-2y2=______.【版权所有：21教育】
【答案】
【分析】
令，用含y的代数式表示方程的解x；再写成因式分解即可.
【详解】
解：
【点睛】
本题考查实数内因式分解，难度较大，熟练掌握解方程以及因式分解是解题关键.
17．（上海师大附中附属 ( http: / / www.21cnjy.com )龙华中学八年级期末）已知等腰△ABC的两边是关于x的方程x -3mx+9m=0的两根，第三边的长是4，则m=______.
【答案】4或
【分析】
等腰三角形ABC中4可能是底边，也可能是腰，应分两种情况进行讨论，①4是底时，关于x的方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，从而求出m,再根据三角形的边不能是零，舍去；②4是腰时，则方程有一个根是4，代入即可求得m的值.
【详解】
当4是底边时，则关于x的方程有两个相等的实数根，
∴ ，
解得，或
（舍去）
当4是腰时，则方程有一个根是4，把x=4代入方程得，
解得：
综上所述，m的值为4或
故答案为：4或
【点睛】
本题考点涉及等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
18．已知：(x2+y2)(x2+y2-4)-12=0,则x2+y2的值为_____________.
【答案】6
【分析】
设x2+y2=t，且t≥0，然后代入方程，求出t的值即可.
【详解】
解：设x2+y2=t，代入方程得：
t(t-4)-12=0
t2-4t-12=0
（t-6）（t+2）=0
t=6或t=-2（舍去）
故答案为6
【点睛】
本题考查运用因式分解解复杂的二元一次方程的方法，运用整体换元法是解答本题的关键.
19．（上海市张江集团中学八年级期末）双二次方程x4﹣2019x2+4＝0的所有实根之和为_____．
【答案】0
【分析】
设x2＝a，将方程变为一元二次方程，求出两根的和与积，得到a1＞0，a2＞0，再分两种情况x2＝a1、x2＝a2求出两根和即可.
【详解】
设x2＝a，则原方程可化为：a2﹣2019a+4＝0，
∵△＝（﹣2019）2﹣4×4＞0，
∴方程有两个不相等的实根，
设方程a2﹣2019a+4＝0的两根为a1、a2，
∴a1+a2＝2019，a1a2＝4，
∴a1＞0，a2＞0，
当x2＝a1时，有两个不相等的实数根，两根和为0，
当x2＝a2时，有两个不相等的实数根，两根和为0，
∴双二次方程x4﹣2019x2+4＝0的所有实根之和为0，
故答案为：0．
【点睛】
此题考查一元二次方程的根与系数的关系式，熟记两个关系式并熟练运用解题是关键.
20．（上海交大附中九年级）若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为_____．21*cnjy*com
【答案】
【分析】
运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可．
【详解】
设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，
依题意可得
x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，
∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，
设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，
∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，
根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，
①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2
∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；
②a为斜边时，c2+b2＝a2，
42+（6﹣a）2＝a2，
a＝ ，b＝6﹣a＝ ，
∴m＝ab＝ =
故答案为．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的综合运用，先由根与系数的关系得到另外两边的关系，再结合勾股定理列出方程。本题的关键是分类讨论。21·世纪*教育网
三、解答题
21．（2020·上海普华教育信息咨询有限公司八年级期中）某快递公司今年月份与月份完成投递的快递件数分别为万件和万件现假定该公司月、月每月投递的快递件数的增长率相等．由于“双”购物节的影响，预计该公司月投递的快递件数增长．
（1）求该公司月、月投递快件数的月平均增长率；
（2）求月该公司投递的快递件数．
【答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）11月该公司投递的快递件数为万件．
【分析】
（1）根据增长率问题应用题的等量关系列出方程即可求解；
（2）根据该公司月投递的快递件数增长即可求得11月份的快递件数．
【详解】
（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为，
根据题意，得：
解方程得，（不符合题意，舍去）
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）月该公司投递的快递件数为：(万件)．
答：11月该公司投递的快递件数为万件．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题的等量关系．
22．如图所示，要建设一个面积为9 ( http: / / www.21cnjy.com )0平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库如图要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】仓库的长是15米，宽是6米．
【分析】
设仓库的宽是x米，长是（30-3x+1.5×2），根据面积为90平方米可列方程求解．
【详解】
解：设仓库的宽是x米，
（30-2x+1.5×2）x=90，
整理得，
解得，x=5或x=6，
当x=5米时，长为30-2×5+1.5×2=18米＞16米，
故x=5米不符合题意；
当x=6米时，长为30-2×6+1.5×2=15米＜16米，
答：仓库的长是15米，宽是6米．
【点睛】
本题考查理解题意的能力，关键是设出长，表示出宽，以面积做为等量关系列方程求解．
23．某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过人，那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超过人，则这个团队除了需交200元入园费外，超过部分游客还要按每人元交入园费，下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况：
旅游团队名称 团队人数（人） 入园费用（元）
旅游团队1 80 350
旅游团队2 45 200
根据上表的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的人是多少？
【答案】50
【分析】
先根据旅游团队1的入园费用等于200元入园费＋超出的部分的费用列出方程，解得，，再根据旅游团队2的数据可知a≥45，由此可求得a的值．
【详解】
解：由题意可得：
，
解得，，
由旅游团队2的数据可知a≥45，
∴a=50，
答：某旅游园区对团队入园购票规定的人是50人．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据旅游团队1的入园费用等于200元入园费＋超出的部分的费用列出方程是解决本题的关键．21教育网
24．2020年，受新冠疫情影响 ( http: / / www.21cnjy.com )，众多学校开展了“停课不停学”的线上教学活动，因此，手写板的需求量大幅上升．某网店抓住时机销售A，B两款手写板，A型手写板的单价为360元，B型手写板的单价为240元．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）商家在1月共销售两种型号手写板600个，若A型手写板的销售额不低于B型手写板销售额的3倍，求1月A型手写板至少售出多少个？【出处：21教育名师】
（2）该商家在2月继续销售这两种型号的手写板并适当的进行了调整，A型手写板的售价降低了a%．B型手写板的销价不变．结果A型手写板的销售量在1月最低销售量的基础上增加了a%，B型手写板的销售量在一月保证A最低销量的基础上增加了a%，结果2月两种手写板的总销售额比1月两种手写板的总销售额增加了a%，求a的值．21*cnjy*com
【答案】（1）A型手写板至少售出400个；（2）．
【分析】
（1）设A型手写板售出x个，则B型手写板售出（600-x）个，根据题意列出不等式求解即可；
（2）根据售价×销量=销售额，别表示出A型手写板和B型手写板的销售额相加等于总销售额列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）设A型手写板售出x个，则B型手写板售出（600-x）个，根据题意
，
解得，
故A型手写板至少售出400个；
（2）由（1）得，A型手写板售出400个，B型手写板售出200个，
根据题意可知
解得：或（舍去）．
所以．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用．根据题意找出等量或者不等量关系，列出方程（不等式）是解题关键．（2）中计算过程较为复杂，可先领，求出y后，再求a．
25．（上海·八年级课时练习）某中 ( http: / / www.21cnjy.com )心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．
【分析】
（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；
（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.
【详解】
（1）设平均每次下调x%，则
7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
26．（上海市曹杨二中附属江桥实验中学八年级期末）已知关于x的方程(m+1)x2+2mx+(m-3)=0，当m取何值时，
(1)方程有两个不相等的实数根.
(2)方程有一个根为零，求另一个根.
【答案】(1)m>-且m≠-1；(2)x2=-.
【分析】
（1）根据题意可知，，即可求得m的取值范围；
（2）设方程的两个根为，利用根与系数的关系即可求m的值，进而求出方程的另一个根.
【详解】
（1）由题意得：
解得：
∵m+1≠0
∴m≠﹣1
∴且m≠﹣1
（2）设方程的两个根为
∵
∴
∴原方程为
∵
∴
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
27．己知关于x的方程没有实数根，试判断关于x的方程的根的情况.
【答案】有两个不相等的实数根.
【分析】
根据关于x的方程没有实数根，求出a的求值范围；再表示关于x的方程，，即可判断该方程根的情况.
【详解】
解：∵方程没有实数根
∴
∴
解得：
关于x的方程，
∵
∴
∴关于x的方程有两个不相等的实数根.
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键.
28．（上海交大附中九年级）如图，数轴上从左到右依次有、、、四个点，它们对应的实数分别为、、、，如果存在实数，满足：对线段和上的任意一点，其对应的实数为，实数对应的点仍然在线段或上，则称（，，，，）为“完美数组”，例如：就是一组“完美数组”，已知，，，求此时所有的“完美数组”，写出你的结论和推算过程．
【答案】，，
【分析】
设A表示的数是x，则B表示 ( http: / / www.21cnjy.com )x+1，C表示x+6，D表示x+10，分三种情况讨论：①x（x+10）＝（x+1）（x+6）；②x（x+6）＝（x+1）（x+10）；③x（x+1）＝（x+6）（x+10）；
【详解】
设A表示的数是x，则B表示x+1，C表示x+6，D表示x+10，
由“完美数组”的定义，可知有如下情况：
①x（x+10）＝（x+1）（x+6）；
∴x＝2，
∴“完美数组”是（2，3，8，12，24）；
②x（x+6）＝（x+1）（x+10）；
∴x＝﹣2
∴“完美数组”是（﹣2，﹣1，4，8，﹣8）；
③x（x+1）＝（x+6）（x+10）；
∴x＝﹣4，
∴“完美数组”是（﹣4，﹣3，2，6，12）；
【点睛】
本题考查新定义，数轴与整式的运 ( http: / / www.21cnjy.com )算；熟练掌握多项式乘多项式，单项式与多项式的运算法则，能够通过题意将点与“完美数组”的关系转化为整式的运算是解题的关键．
29．（上海市培佳双语学校七年级期末）解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
【答案】x1＝，x2＝.
【分析】
本题先进行分组相乘得: [(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48,整理可得:
(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48,然后利用换元法,设y= x2－5x+5,可得: (y－1)(y＋1)＝48,解得21世纪教育网版权所有
y1＝7，y2＝－7,然后得x2－5x+5=7或x2－5x+5=－7,最后求方程即可.
【详解】
原方程即[(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48，
即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.
设y＝x2－5x＋5，则原方程变为(y－1)(y＋1)＝48.
解得y1＝7，y2＝－7.
当x2－5x＋5＝7时，解得x1＝，x2＝；
当x2－5x＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．
∴原方程的根为x1＝，x2＝.
30．（上海市张江集团中学八年级期末）解方程：
【答案】
【分析】
此方程次数高、复杂，需用均值换元法解方程．，，则，
原方程可化为，分解因式得，即可解答．
【详解】
解：设
则原方程变为，
∴，
∴
∴
∴或
当时，即
所以或．
当时，即
所以或
所以原方程的解为
【点睛】
本题主要考查了换元法解方程，在解复杂结构方程 ( http: / / www.21cnjy.com )时最常用的方法是换元法，当方程是一个高次方程时,若用普通解法,不但解决不了问题,还使方程更加无规律可寻,此时适用"平均值换元"www-2-1-cnjy-com
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