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【挑战期末压轴】考题3：正比例函数与反比例函数综合（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
2．将水匀速滴进如图所示的容器时，能正确反映容器中水的高度（h）与时间（t）之间对应关系的图象大致是（ ）21cnjy.com
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）．
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．（2021·上海徐汇·一模）定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（ ）21教育网
A．函数的定义域是一切整数
B．函数的图像是经过原点的一条直线
C．点在函数图像上
D．函数的函数值随的增大而增大
5．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，则△ABC的面积等于（ ）21·cn·jy·com
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A．4 B．8 C．12 D．16
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O在坐标原点，另外两个顶点A、B均在反比例函数的图像上，分别过点A、点B作y轴、x轴的平行线交于点C，连接OC并延长OC交AB于点D，已知C（1，2），△BDC的面积为3，则k的值为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．5 B．2+2 C．2+2 D．8
7．反比例函数y=的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
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A．k>0
B．y 随x的增大而增大
C．若矩形 OABC的面积为2，则
D．若图像上点B的坐标是（-2，1），则当x<-2时，y的取值范围是y<1
8．（2021·上海金山·八年级期末）下列函数中，函数值随的增大而增大的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
9．（上海市民办上宝中学八年级期末）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．www.21-cn-jy.com
下列结论：
①△OCN≌△OAM；
②ON=MN；
③四边形DAMN与△MON面积相等；
④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为．
其中正确的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差即S△OAC－ S△BAD等于( )【来源：21·世纪·教育·网】
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A．3 B．6 C．4 D．9
二、填空题
11．点在反比例函数的图像上.若，则的范围是_________________.
12．正方形的顶点，在直线上，顶点，在双曲线上，若正方形面积为32，则的值为______．www-2-1-cnjy-com
13．如图，点是正比例函数与反比例函数在第一象限内的交点，交轴于点，的面积为4，则的值是_______．2-1-c-n-j-y
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14．小亮从家骑车上学，先 ( http: / / www.21cnjy.com )经过一段平路到达A地后，再上坡到达B地，最后下坡到达学校，所行驶路程s（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示．如果返回时，上坡、下坡、平路的速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是_______分钟．
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15．如图，矩形ABCD的顶点C，D在x轴的正半轴上，顶点A，B分别在反比例函数y=和y=的图象上，则矩形ABCD的面积为__ 【来源：21cnj*y.co*m】
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16．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴负半轴上，且．若的面积为9，则的值为________．
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17．如图，点，，是反比例函数的图象上任意三点，轴于点，轴于点，轴于点，，，分别表示，，的面积，则，，的大小关系是__________．【版权所有：21教育】
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18．（2021·上海市实验学校二模）如图双曲线，经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB//x轴，将三△ABC沿AC翻折后得△A，点落在OA上，则四边形OABC的面积是___________．
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19．（2021·上海宝山·九年级期中）我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点和点为一对“关联点对”．如果反比例函数在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为，那么这对“关联点对”中，距离轴较近的点的坐标为____________．21教育名师原创作品
20．（上海浦东新·八年级期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线平行于轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值是______.
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三、解答题
21．（2020·上海·华南理工大学附属实验学校八年级期末）已知四边形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示,其中边AD和边BC都与x轴平行,边AB和边CD都与y轴平行,且D(2,3）,点C的纵坐标是-1,反比例函数y=(k≠0)的图像过点C，与边AB交于点E.
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(1)求直线OD的表达式和此反比例函数的解析式:
(2)如果点B到y轴的距离是4,求点E的坐标.
22．（2020·上海·八年级期中）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点．
（1）求的值；
（2）若与的面积比为2∶3，求点的坐标；
（3）将绕点逆时针旋转90°得到，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
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23．（2020·上海市澧溪中学八年级期末）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度（微克/毫升）与服药后时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升（）时，满足，下降时，y与x成反比．
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（1）直接写出a的取值，并求当时，y与x的函数表达式；
（2）若血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，请问研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？
24．（2020·上海松江·八年级期末）如图，点A，B在反比例函数的图像上，A点坐标，B点坐标．
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（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点B作轴，垂足为点C，联结AC，当时，求点B的坐标．
25．（2021·上海金山·八年级期末）已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式．
26．（2021·上海·八年级期末）如图，已知直线OA与反比例函数的图像在第一象限交于点A．若，直线OA与x轴的夹角为60°．
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（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若点P是坐标轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点P的坐标．
27．（2021·上海市康城学校八年级期末）如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，，，是的中点，反比例函数图象过点且和相交于点．
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（1）直接写出点和点的坐标；
（2）求直线和反比例函数的解析式；
（3）连接、，求四边形的面积．
28．实验数据显示，一般成人喝半斤白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用正比例函数刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x的关系可近似地用反比例函数刻画（如图）．
（1）求k的值．
（2）当时肝功能会受到损伤，请问肝功能持续受损的时间多长？
（3）按国家规定，驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．假设某驾驶员晚上喝完半斤白酒，第二天早上能否驾车？请说明理由．21·世纪*教育网
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29．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴．21*cnjy*com
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（1）当点的横坐标为6时，求直线的表达式；
（2）联结，当时，求点的坐标；
（3）联结、，求的值．
30．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．21*cnjy*com
下面是小彤探究的过程，请补充完整：
(1)函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是y与x的几组对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 8 …
y … m 0 ﹣1 3 2 …
则m的值为 ；
(3)如图所示，在平面直角 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
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(4)观察图象，写出该函数的一条性质 ；
(5)若函数y＝的图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为 ；【出处：21教育名师】
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【挑战期末压轴】考题3：正比例函数与反比例函数综合
（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）21cnjy.com
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3的坐标，找出规律即可得出结论．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴P1（1，1），
∴k=1，
∴在反比例函数的解析式为：y=，
∵B1是P1A的中点，
∴P2A1=AB1=，
∴OA1=2，
∴P2（2，），
同理，P3（22，），
…
∴Pn（2n-1，）．【出处：21教育名师】
当时，则有
的坐标为：（，）
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键．
2．将水匀速滴进如图所示的容器时，能正确反映容器中水的高度（h）与时间（t）之间对应关系的图象大致是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
根据容器上下的大小，判断水上升快慢．
【详解】
解：由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快．
表现出的函数图形为先缓，后陡．
故选：D．
【点睛】
本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是能够将实际问题与函数的图象有机的结合起来，注意先慢后快表现出的函数图形为先缓，后陡．
3．已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）．
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴k＜0，
∴双曲线在第二、四象限，
∴函数y=-kx的图象经过第一、三象限，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，图象所在象限受k的影响．
4．（2021·上海徐汇·一模）定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（ ）
A．函数的定义域是一切整数
B．函数的图像是经过原点的一条直线
C．点在函数图像上
D．函数的函数值随的增大而增大
【答案】C
【分析】
根据题意描述的概念逐项分析即可．
【详解】
A、对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误；
B、因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误；
C、由题意可知，则点在函数图像上，故正确；
D、例如，，即当，时，函数值均为，不是随的增大而增大，故错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查函数的概念以及新定义问题，仔细审题，理解材料介绍的的概念是解题关键．
5．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，则△ABC的面积等于（ ）
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A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】
设A点坐标为（），则C点坐标为（），利用坐标求面积即可．
【详解】
解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，
∴A，C两点关于原点对称，设A点坐标为（），则C点坐标为（），
S△ABC=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数k的几何意义和对称性，解题关键是通过设坐标求三角形面积．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O在坐标原点，另外两个顶点A、B均在反比例函数的图像上，分别过点A、点B作y轴、x轴的平行线交于点C，连接OC并延长OC交AB于点D，已知C（1，2），△BDC的面积为3，则k的值为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．5 B．2+2 C．2+2 D．8
【答案】C
【分析】
过B、C分别做BE⊥x轴，CF⊥x轴，过D作DG⊥BC，DH⊥AB，设BC=a，由点C的坐标即可表示点B、C的坐标，即可得出AC与BC的比值，由相似三角形的判定易证得△COF∽△DCG，得出DG与DH的比值，得出，由三角形面积公式列出关于a的等式，求得a的值得出B点坐标，即可求得k值．
【详解】
解：过B、C分别做BE⊥x轴垂足为E，延长AC交x轴于F，过D作DG⊥BC，DH⊥AB，垂足为G、H．2-1-c-n-j-y
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∵ C（1，2）
∴ OF=1，CF=2=BE，
则点A的横坐标为1，点B的纵坐标为2，
设BC=a，则B（a+1，2）
∵B在反比例函数的图像上，
∴，
∵A在反比例函数的图像上，且点A的横坐标为1，
∴A点的纵坐标为：，即点A（1，2a+2），
∴ AC=AF-CF=2a+2-2=2a，
∴ ，
∵ BC//x轴，CF⊥x轴，DG⊥BC，
∠COF=∠DCG，∠CFO=∠DGC=90°，
∴ △COF∽△DCG，
∴ ，即，
∴ ，
∴，
∴，即，
∴ ，
∴ B（，2），
∴ k=，
故选：C
【点睛】
本题考查了反比函数图像上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定，注意准确作出辅助线，求得点B的坐标是关键．21·cn·jy·com
7．反比例函数y=的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
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A．k>0
B．y 随x的增大而增大
C．若矩形 OABC的面积为2，则
D．若图像上点B的坐标是（-2，1），则当x<-2时，y的取值范围是y<1
【答案】C
【分析】
根据反比例函数的性质以及系数k的几何意义进行判断．
【详解】
解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误；
B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；
C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确；
D、若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1，所以D选项错误．
故选C
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意 ( http: / / www.21cnjy.com )义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
8．（2021·上海金山·八年级期末）下列函数中，函数值随的增大而增大的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】B
【分析】
根据函数增减性判断即可．
【详解】
A. ，比例系数小于0，随的增大而减小；
B. ，比例系数大于0，随的增大而增大；
C. ，不在同一象限，不能判断增减性；
D. ，不在同一象限，不能判断增减性；
故选：B．
【点睛】
本题考查了函数的增减性，解题关键是熟悉函数的增减性，准确进行判断．
9．（上海市民办上宝中学八年级期末）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．
下列结论：
①△OCN≌△OAM；
②ON=MN；
③四边形DAMN与△MON面积相等；
④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为．
其中正确的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
设正方形OABC的边长为a，通过△OCN≌△OAM（SAS）判定结论①正确，求出ON和MN不一定相等判定结论②错误，而可得结论③正确，列式求出C点的坐标为可知结论④正确．
【详解】
设正方形OABC的边长为a，
则A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，），N（，a）．
∵CN=AM=，OC=OA= a，∠OCN=∠OAM=900，
∴△OCN≌△OAM（SAS）．结论①正确．
根据勾股定理，，，
∴ON和MN不一定相等．结论②错误．
∵，
∴．结论③正确．
如图，过点O作OH⊥MN于点H，则
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∵△OCN≌△OAM ，∴ON=OM，∠CON=∠AOM．
∵∠MON=450，MN=2，
∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.50．
∴△OCN≌△OHN（ASA）．∴CN=HN=1．
∴．
由得，．
解得：（舍去负值）．
∴点C的坐标为．结论④正确．
∴结论正确的为①③④3个．
故选C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比 ( http: / / www.21cnjy.com )例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．
10．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差即S△OAC－ S△BAD等于( )
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A．3 B．6 C．4 D．9
【答案】A
【分析】
设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则S△OAC－ S△BAD＝(a2﹣b2)，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标为(a+b，a﹣b)，根据反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标可得(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2＝6，由此即可得出结论．
【详解】
解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，
则点B的坐标为(a+b，a﹣b)．
∵点B在反比例函数y＝的第一象限图象上，
∴(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2＝6．
∴S△OAC﹣S△BAD＝a2﹣b2＝(a2﹣b2)＝×6＝3．
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标特征、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是得出a2 b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．
二、填空题
11．点在反比例函数的图像上.若，则的范围是_________________.
【答案】-1＜a＜1
【分析】
反比例函数中k＞0，则同 ( http: / / www.21cnjy.com )一象限内y随x的增大而减小，由于y1＜y2，而a-1必小于a+1，则说明两点应该在不同的象限，得到a-1＜0＜a+1，从而得到a的取值范围．
【详解】
解：∵在反比例函数y=中，k＞0，
∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∵a-1＜a+1，y1＜y2
∴这两个点不会在同一象限，
∴a-1＜0＜a+1，解得-1＜a＜1
故答案为：-1＜a＜1．【来源：21·世纪·教育·网】
【点睛】
本题考察了反比例函数的性质，解题的关键是 ( http: / / www.21cnjy.com )熟悉反比例函数的增减性，当k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大．
12．正方形的顶点，在直线上，顶点，在双曲线上，若正方形面积为32，则的值为______．21教育名师原创作品
【答案】4
【分析】
根据反比例函数与正方形的特点作图，根据正方形的面积为32求出AC=BD=8,故得到OB=4
根据AC直线的解析式为，可求出BD直线解析式，再设B点坐标，根据OB=4列出方程即可求出x，再求出的值．
【详解】
根据反比例函数与正方形的特点作图，
∵正方形面积为32，
∴
解得BD=8
∴OB=4
∵AC直线的解析式为，AC⊥BD
∴BD直线的解析式为，即
设B（x, ），∵OB=4
∴
解得x=
∴k=xy=（）×=4
故答案为：4．
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【点睛】
此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知正方形的性质、两点之间的距离公式的应用．
13．如图，点是正比例函数与反比例函数在第一象限内的交点，交轴于点，的面积为4，则的值是_______．
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【答案】4
【分析】
过作于，根据一次函数的性质得到，则为等腰直角三角形，所以，于是，然后根据反比例函数系数的几何意义即可得到的值．
【详解】
解：过作于，如图，
正比例函数的解析式为，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
故答案为4．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．也考查了等腰直角三角形的性质．
14．小亮从家骑车上学，先经过一 ( http: / / www.21cnjy.com )段平路到达A地后，再上坡到达B地，最后下坡到达学校，所行驶路程s（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示．如果返回时，上坡、下坡、平路的速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是_______分钟．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】16.5
【分析】
根据图象可知：小明从家骑车上学，平路路程是1千米，用3分钟；上坡的路程是1千米，用6分钟，则上坡速度是千米/分钟；下坡路长是2千米，用3分钟，因而速度是千米/分钟，由此即可求出答案．
【详解】
解：根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是1千米，用6分钟，
则上坡速度是千米/分钟；
下坡路长是2千米，用3分钟，
则速度是千米/分钟，
他从学校回到家需要的时间为：2÷+1÷+3＝16.5（分钟）．
故答案为：16.5．
【点睛】
此题考查了函数的图象，读函数的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
15．如图，矩形ABCD的顶点C，D在x轴的正半轴上，顶点A，B分别在反比例函数y=和y=的图象上，则矩形ABCD的面积为__
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【答案】12．
【分析】
利用反比例函数k的几何意义求解即可．
【详解】
∵延长BA交y轴于点E，顶点A，B分别在反比例函数y=和y=的图象上，
∴=4，=16，
∴矩形ABCD的面积为：
-=16-4=12；
故答案为：12．
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【点睛】
本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练将k的几何意义与图形的面积有机结合，灵活解题是解题的关键．
16．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴负半轴上，且．若的面积为9，则的值为________．
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【答案】6
【分析】
首先确定△AOB的面积，然后根据反比例函数的比例系数的几何意义确定k的值即可．
【详解】
解：连接AO，
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∵CO：OB=2：1，
∴OB=BC，
∴S△AOB=S△ABC=×9=3，
∴|k|=2S△AOB=6，
∵反比例函数的图象位于第一象限
∴k=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|；解题的关键是能够确定△AOB的面积．
17．如图，点，，是反比例函数的图象上任意三点，轴于点，轴于点，轴于点，，，分别表示，，的面积，则，，的大小关系是__________．
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【答案】
【分析】
根据反比例函数系数k的几何意义作答．
【详解】
解：依题意，得S1=1，S2=1，S3=1，
∴S1=S2=S3,
故答案为．
【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．
18．（2021·上海市实验学校二模）如图双曲线，经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB//x轴，将三△ABC沿AC翻折后得△A，点落在OA上，则四边形OABC的面积是___________．
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【答案】2．
【分析】
延长BC，交x轴于点D，设点C（x，y），AB=a，由角平分线的性质得，CD=CB′，则△OCD≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C，根据反比例函数的性质，可得出S△OCD=xy，则S△OCB′=xy，由AB∥x轴，得点A（x-a，2y），由题意得2y（x-a）=2，从而得出三角形ABC的面积等于ay，即可得出答案．
【详解】
解：延长BC，交x轴于点D，
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设点C(x，y)，AB=a，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴CD=CB′，△OCD≌△OCB′
再由翻折的性质得BC=B′C，
∵双曲线 (x>0)经过四边形OABC的顶点A、 C，
∴S△OCD=xy=1，
∴S△OCB′=xy=1，
由翻折变换的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC=B′C=CD，
∴点A、B的纵坐标都是2y，
∵AB∥x轴，
∴点A(x a，2y)，
∴2y(x a)=2，
∴xy ay=1，
∵xy=2
∴ay=1，
∴S△ABC=ay=，
∴SOABC=S△OCB′+S△AB′C+S△ABC=1++=2.
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，反比例函数图像上点的坐标特征，角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，三角形的面积等等，解题的关键在于如何求出面积进行求解．
19．（2021·上海宝山·九年级期中）我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点和点为一对“关联点对”．如果反比例函数在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为，那么这对“关联点对”中，距离轴较近的点的坐标为____________．
【答案】（5，2）或（﹣5，﹣2）．
【分析】
根据题意利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求得关联点的坐标，即可得出结论．
【详解】
解：设反比例函数y＝在第一象限内的图象上一对“关联点对”为A（a，b），B（b，a）且a＞b，
∴ab＝10，
∵这两个点之间的距离为3，
∴AB＝＝3，
∴a﹣b＝3，
由解得或，
∴A（5，2），B（2，5）或A（﹣5，﹣2），B（﹣2，﹣5），
∴距离x轴较近的点的坐标为（5，2）或（﹣5，﹣2），
故答案为（5，2）或（﹣5，﹣2）．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求出反比例函数图象上的关联点．
20．（上海浦东新·八年级期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线平行于轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值是______.
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【答案】8
【分析】
由知，点A在上，点B在上，因直线平行于轴，则点A和点B的纵坐标相等，设A和B坐标为，则有可得，又根据，将代入即可得，联立上面的式子即可得.
【详解】
，则点A在上，点B在上，
又因直线平行于轴，
点A和点B的纵坐标相等，因此可设A和B坐标为，
则有，即，可化为，
根据图可得，
将代入即可得，
将代入得
即
可得.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，并结合三角形的面积，判断出A、B点具体在哪条反比例函数上和A、B点的纵坐标相等是解题关键.
三、解答题
21．（2020·上海·华南理工大学附属实验学校八年级期末）已知四边形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示,其中边AD和边BC都与x轴平行,边AB和边CD都与y轴平行,且D(2,3）,点C的纵坐标是-1,反比例函数y=(k≠0)的图像过点C，与边AB交于点E.
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(1)求直线OD的表达式和此反比例函数的解析式:
(2)如果点B到y轴的距离是4,求点E的坐标.
【答案】（1）y=x, ；（2）点E的坐标为（-4，）
【分析】
（1）设直线OD的解析式为y=mx，把D点坐标代入求出m的值即可；求出点C坐标为（2，-1），代入反比例函数y=(k≠0)中求出k的值即可；
（2）由点B的横坐标确定出点E的横坐标，代入反比例函数的解析式求出点E的纵坐标即可得到结论.
【详解】
（1）设直线OD的表达式为y=mx，将点D（2，3）代入得，
2m=3，
m=，
∴直线OD的表达式为：y=x,
∵点D的坐标为（2，3），
∴点C的横坐标为2，
∴点C的坐标为（2，-1），
将点C（2，-1）代入反比例函数得，
，
k=-2,
∴反比例函数的解析式为：；
（2）∵点B到y轴的距离是4，
∴点B的横坐标为-4，
∴点E的横坐标为-4，
将x=-4代入得，
∴点E的坐标为（-4，）
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解本题的关键是根据待定系数法求反比例函数与正比例函数解析式．
22．（2020·上海·八年级期中）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点．
（1）求的值；
（2）若与的面积比为2∶3，求点的坐标；
（3）将绕点逆时针旋转90°得到，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
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【答案】（1）k=-6；（2）（1，4）；（3）（3，2）或（2，3）
【分析】
（1）将点代入反比例函数解析式中即可求出k的值；
（2）过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，根据三角形的面积比可得，再根据点A的坐标即可求出DM，然后证出ACN和DCM都是等腰直角三角形，即可求出OM，从而求出结论；
（3）过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，过点作G⊥x轴于G，设点D的纵坐标为a（a＞0），即DM=a，然后用a表示出OM，利用AAS证出△GO≌△MOD，即可用a表示出点的坐标，将的坐标反比例函数解析式中即可求出a的值，从而求出点D的坐标．
【详解】
解：（1）将点代入中，得
解得k=-6；
（2）过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N
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∵与的面积比为2∶3
∴
∴
∵
∴AN=6，ON=1
∴DM=4
∵
∴ACN和DCM都是等腰直角三角形
∴CN=AN=6，CM=DM=4
∴OM=CN－CM－ON=1
∴点D的坐标为（1，4）；
（3）过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，过点作G⊥x轴于G
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设点D的纵坐标为a（a＞0），即DM=a
∵ACN和DCM都是等腰直角三角形
∴CN=AN=6，CM=DM=a
∴OM=CN－CM－ON=5－a
∴点D的坐标为（5－a，a）
∵∠GO=∠OMD=∠OD=90°
∴∠GO＋∠OG=90°，∠MOD＋∠OG=90°，
∴∠GO=∠MOD
由旋转的性质可得O=OD
∴△GO≌△MOD
∴G=OM=5－a，OG=DM=a
∴的坐标为（-a，5－a）
由（1）知，反比例函数解析式为
将的坐标代入，得
解得：
∴点D的坐标为（3，2）或（2，3）．
【点睛】
此题考查的是反比例函数与几何图 ( http: / / www.21cnjy.com )形的综合大题，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式、等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解题关键．21教育网
23．（2020·上海市澧溪中学八年级期末）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度（微克/毫升）与服药后时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升（）时，满足，下降时，y与x成反比．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）直接写出a的取值，并求当时，y与x的函数表达式；
（2）若血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，请问研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？
【答案】（1）3，；（2）抗菌新药可以作为有效药物投入生产，见解析
【分析】
（1）分别利用正比例函数以及反 ( http: / / www.21cnjy.com )比例函数解析式求法得出即可；
（2）把y＝3分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案．
【详解】
（1）由图象知，；
∵当时，y与x成反比，
∴设，
由图象可知，当时，，
∴；
∴；
（2）把分别代入和得，和，
∵，
∴抗菌新药可以作为有效药物投入生产．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的应用以及待定系数法求函数解析式，读懂题意是解题关键．
24．（2020·上海松江·八年级期末）如图，点A，B在反比例函数的图像上，A点坐标，B点坐标．
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（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点B作轴，垂足为点C，联结AC，当时，求点B的坐标．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）把A点坐标代入函数解析式即可求出反比例函数解析式；
（2）△ABC中，BC=m，根据三角形的面积即可求得m的值，代入反比例函数解析式即可求得B点坐标．
【详解】
解：（1）把点A(1，6)代入反比例函数中得：
，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）∵，
∴，
∵反比例函数的图像经过点;
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴B点坐标为．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数解析式，在坐标系中，求线段的长度可以转化为求点的坐标．
25．（2021·上海金山·八年级期末）已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式．
【答案】y＝（x+1）+
【分析】
根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解
【详解】
解：（1）设y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝（k2≠0），
∴y＝k1（x+1）+ ．
∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4，
∴，
∴，
∴y关于x的函数解析式是：y＝（x+1）+；
【点睛】
此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，熟练准确计算．
26．（2021·上海·八年级期末）如图，已知直线OA与反比例函数的图像在第一象限交于点A．若，直线OA与x轴的夹角为60°．
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（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若点P是坐标轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1） （2） （3）或或或
【分析】
（1）作AD⊥x轴于点D，根据30°角所对的直角边是斜边的一半得出OD=，再根据勾股定理得出AD，即可得A的坐标；www-2-1-cnjy-com
（2）把点A的坐标代入反比例函数即可得出答案；
（3）分点P在x轴上和y轴上两种情况，再分别分∠OPA=90°或∠OAP=90°两种情况考虑即可．
【详解】
解：（1）作AD⊥x轴于点D，则，
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∵，∴，
∴OD=，
∴，
∴点A的坐标为；
（2）∵点A在的图像上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（3）点P在x轴上时，
①∠OPA=90°时，点P与点D重合，OP=OD=2，
∴点P坐标为(2，0)；
②∠OAP=90°时，设P（x，0），
∵，
∴，
∴x=8，
∴点P坐标为(8，0)；
点P在y轴上时，
①∠OPA=90°时，OP=AD=，
∴点P坐标为(0，)，
②∠OAP=90°时，设P（0，y），
∵，
∴，
∴，
∴点P坐标为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式．难度适中．
27．（2021·上海市康城学校八年级期末）如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，，，是的中点，反比例函数图象过点且和相交于点．
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（1）直接写出点和点的坐标；
（2）求直线和反比例函数的解析式；
（3）连接、，求四边形的面积．
【答案】（1），；（2），；（3）
【分析】
（1）根据，和第一象限内点的坐标特征可求得B的坐标，根据E为AB的中点即可求得E点坐标；
（2）用待定系数法即可求得直线和反比例函数的解析式；
（3）根据四边形的面积等于矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行计算．
【详解】
解：（1）∵，，四边形OABC为长方形，
∴BC⊥y轴，BA⊥x轴，，
∴
∵是的中点，
∴，
∴；
（2）设直线的解析式是，
把点坐标代入，得，
则直线的解析式是．
设反比例函数解析式是，
把点坐标代入，得，
则反比例函数的解析式是；
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（3）．
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数（一次函数）解析式和反比例函数比例系数k的几何意义的运用．理解反比例函数上任意一点向x轴（y轴）作垂线，这一点、垂足和原点所围成的三角形面积等于是解题关键．2·1·c·n·j·y
28．实验数据显示，一般成人喝半斤白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用正比例函数刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x的关系可近似地用反比例函数刻画（如图）．
（1）求k的值．
（2）当时肝功能会受到损伤，请问肝功能持续受损的时间多长？
（3）按国家规定，驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．假设某驾驶员晚上喝完半斤白酒，第二天早上能否驾车？请说明理由．21*cnjy*com
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【答案】（1）；（2）肝功能持续受损的时间为2.25小时；（3）第二天早上7：00不能驾车去上班，理由见解析．
【分析】
（1）当x=1.5时，求出y=150，进而代入，代入可求得k的值；
（2）把y=75分别代入反比例函数解析式和一次函数解析式，可求得x的值，则可求得持续时间；
（3）可求得时间为11小时，把x=11代入反比例函数解析式可求得酒精含量，结合规定可进行判断．
【详解】
（1）由题意可得：当x=1.5时，y=150，则满足 ，
∴；
（2）把y=75代入，
解得；
把代入得，，
∵3-0.75=2.25小时，
∴喝酒后血液中的酒精含量不低于75毫克的时间持续了2.25小时，
答：肝功能持续受损的时间为2.25小时；
（3）不能驾车上班，理由如下：
∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，
∴将代入，则，
∴第二天早上7：00不能驾车去上班．
【点睛】
本题为一次函数和反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、一元一次方程等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．21·世纪*教育网
29．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴．
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（1）当点的横坐标为6时，求直线的表达式；
（2）联结，当时，求点的坐标；
（3）联结、，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）1
【分析】
（1）根据自变量的值，可得函数值，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数值，可得自变量的值，根据勾股定理，可得OB长，根据AB=OB，可得点A坐标；
（3）联立函数解析式，可得方程组， ( http: / / www.21cnjy.com )根据解方程组，可得点P坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得点B和点C坐标，根据三角形面积公式，可得答案．
【详解】
（1）解：当时，，
∴，
设直线AO的解析式为，
代入得，
∴直线AO的解析式为；
（2）由轴，得点B横坐标是4，
当时，，
∴，，
∵，
∴，得，
∴；
（3）直线AO的解析式为，联立，得，解得，
∴，
如图，作，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
当时，，即，
当时，，即，
，，，，
∴，，
∴．
【点睛】
本题考查反比例函数综合题，解题的关键是掌 ( http: / / www.21cnjy.com )握待定系数法求函数解析式的方法，根据三角形面积求点坐标的方法，以及利用点坐标表示三角形面积的方法，需要熟练掌握数形结合的思想．
30．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小彤探究的过程，请补充完整：
(1)函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是y与x的几组对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 8 …
y … m 0 ﹣1 3 2 …
则m的值为 ；
(3)如图所示，在平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
( http: / / www.21cnjy.com / )
(4)观察图象，写出该函数的一条性质 ；
(5)若函数y＝的图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为 ；【版权所有：21教育】
【答案】(1)x≠3；(2)；(3)详见解析；(4)当x>3时y随x的增大而减小等(答案不唯一)；(5)<<21*cnjy*com
【分析】
（1）分式有意义,分母不等于零,
（2）将x=-1代入即可,
（3）图像见详解,
（4）根据增减性即可得出结论,见详解,
（5）在图像中找到满足<3<<的三个点比较纵坐标即可得到结论.
【详解】
解：(1)因为分式有意义,分母不等于零，所以x-3≠0，即x≠3；
(2)将x=-1代入，解得 m=；
(3)如图所示；
( http: / / www.21cnjy.com / )
(4)当x>3时y随x的增大而减小(答案不唯一)；
(5)当x＜3时，y＜1，当x>3时，y＞1且y随x的增大而减小，所以<<
【点睛】
本题考查了反比例函数的简单应用,中等难度,熟悉反比例函数图像和性质是解题关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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