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【挑战期末压轴】考题4：几何证明问题综合（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的有（ ）组21世纪教育网版权所有
① 5，12，13；② 7，24，25 ；③ 8，15，16；④ 32，42，52；
⑤ ；⑥
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
给出三边的长，欲求证是否为直角三角形，只要验证两短边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
① 52+122=132，故是直角三角形；
②72+242=252，故是直角三角形；
③82+152162，故不是直角三角形；
④(32)2+(42)2(52)2，故不是直角三角形；
⑤()2+()2()2，故是直角三角形；
⑥()2+()2()2，故是直角三角形．
综上，①②⑤⑥满足两边长度的平方和等于第三边的平方，共4个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．www.21-cn-jy.com
2．（2020·上海市进才中学北校八年级期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先画出三角形，根据勾股定理和题目设好的未知数列出方程．
【详解】
解：如图，根据题意，，，
设折断处离地面的高度是x尺，即，
根据勾股定理，，即．
故选：D．
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【点睛】
本题考查勾股定理的方程思想，解题的关键是根据题意利用勾股定理列出方程．
3．（上海市市西初级中学八年级期末）在中，的对边分别是，下列条件中，不能说明是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种：
①勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；
②三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；
根据上面两种情况进行判断即可．
【详解】
解：A、由得a2=b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、由得∠C +∠B=∠A，此时∠A是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∠A：∠B：∠C=3：4：5，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、a：b：c=5：12：13，此时c2=b2+ a2，符合勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．
4．（2020·上海闵行 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H，AD平分∠BAC，与CH相交于点D，过点D作DE∥BC，与边AB相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（ ）
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A．DA=DE B．AC=EC C．AH＝EH D．CD＝ED
【答案】D
【分析】
根据题意可以分析出A、B、C三个选项要成立同时成立，所以D选项一定正确，可以通过证明，验证D选项正确．
【详解】
解：可以分析出A、B、C选项任何一个成 ( http: / / www.21cnjy.com )立，那么都可以得到CH是AE的垂直平分线，那么就可以推出其他两个选项也都成立，但这是不可能的，所以A、B、C都不一定正确，
D选项一定正确，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AD平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．
5．（2020·上海市育才初级中学八年级期中）下列各命题中，假命题是（ ）
A．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
B．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等
C．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等
D．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的判定定理进行证明并依次判断．
【详解】
解：、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题；
、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
故选：．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，灵活判定命题真假，熟记定理并灵活应用解决问题是解题的关键．
6．（2021·上海金山·八年级期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ；
B．每个命题都有逆命题；
C．每个定理都有逆定理；
D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的判定，命题与定理及角平分线的判定等知识一一判断即可．
【详解】
解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是正确；
B、每个命题都有逆命题，所以B选项正确；
C、每个定理不一定有逆定理，所以C选项错误；
D、在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，命题与定理以及角平分线的判定方法，熟练利用这些判定定理是解题关键．
7．（2011·上海·中考真题）下列命题中，真命题是（ ）．
A．周长相等的锐角三角形都全等； B．周长相等的直角三角形都全等；
C．周长相等的钝角三角形都全等； D．周长相等的等腰直角三角形都全等．
【答案】D
【详解】
分析：全等三角形必须是对应角相等，对应边相等，根据全等三角形的判定方法，逐一检验．
解答：解：A、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
B、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
D、由于等腰直角三角形三边之比为1：1：，故周长相等时，等腰直角三角形的对应角相等，对应边相等，故全等，真命题．
故选D
8．△ABC的三边的长a、b、c满足：，则△ABC的形状为（ ）．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】
由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．
【详解】
∵
又∵
∴
∴
∴
∴△ABC为直角三角形
故选：D．
【点睛】
本题考察了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；求解的关键是熟练掌握二次根式、绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解．
9．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，为的外角平分线上一点，过作于，交的延长线于，且满足，则下列结论：①≌；②；③；④．其中正确的结论有（ ）．
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再证明，即可证明Rt△CDE和Rt△BDF全等；
根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；
∠FDE与∠BAC都与∠FAE互补，可得∠FDE=∠BAC，于是可证；
利用外角定理得2∠DAF=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC +∠ACB，由Rt△CDE≌Rt△BDF可得∠ABD=∠DCE，BD=DC，故∠DBC=∠DCB，于是可证明∠DAF=∠CBD．
【详解】
解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，=
∵，
∴，
在Rt△CDE和Rt△BDF中
，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF，故①正确；
∴CE=BF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF，
∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正确；
∵=，21教育网
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∴∠EDF+∠FAE=，
∵∠BAC+∠FAE=，
∴∠FDE=∠BAC，
∵∠FDE=∠BDC，
∴∠BDC =∠BAC，故③正确；
∵∠FAE是△ABC的外角，
∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC +∠ACB，
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠ABD=∠DCE，BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴2∠DAF=∠DCE +∠DBC +∠ACB=∠DBC +∠DCB=2∠DBC，
∴∠DAF=∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点 ( http: / / www.21cnjy.com )到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．【出处：21教育名师】
10．（2010·上海浦 ( http: / / www.21cnjy.com )东新·七年级竞赛）在下列图形中，各有一边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠.问哪一个重叠的面积最大 （ ）21教育名师原创作品
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【详解】
分析：A、阴影部分是长方形，所以长方形的面积等于长和宽的乘积；
B、如图，设阴影部分等腰直角的腰为x，根据勾股定理求出x的值，所以，阴影部分的面积等于正方形的面积减去俩个空白三角形的面积；
C、图C，逆时针旋转90°从后面看，可与图D ( http: / / www.21cnjy.com )对比，因为图C阴影部分的倾斜度比图D阴影部分的倾斜度小，所以，图C中四边形的底比图D中四边形的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图D阴影部分的面积；
D、图D，设阴影部分平行四边形的底为x，根据正方形的面积=阴影部分的面积+两个空白三角形的面积，求出x的值，再得出阴影部分的面积；
图A、图C、图D中阴影部分四边形为等高 ( http: / / www.21cnjy.com )不等底，因为倾斜度不同，所以图D中阴影部分的底最大，面积也就最大；因此，只要比较图B和图D阴影的面积大小，可得到图B阴影部分的面积最大．
解答：解：A、S阴影=2×4=8（cm2）；
B如图所示：根据勾股定理知，2x2=4，所以x=，S阴影=4×4-2××（4-）（4-）=8-2（cm2）；
C、图C，逆时针旋转90°，并从后面看，可与 ( http: / / www.21cnjy.com )图D对比，因为图C的倾斜度比图D的倾斜度小，所以，图C的底比图D的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图D阴影部分的面积．
D、如图：设阴影部分平行四边形的底为x，所以，直角三角形的短直角边是
因为正方形的面积=阴影部分的面积+两个空白三角形的面积，
所以，
×4××2+2x=16，解得x=，S阴影=2×=
因为，≈1.414，≈2.646，所以，8-2≈9.312，≈8.775；
即8-2＞，图B阴影的面积大于图D阴影的面积；
又因为图A、图C、图D中阴影部分四边形为等高不等底，因为图D阴影的倾斜度最大，所以图D中阴影部分的底最大；
故选B
点评：本题考查了矩形、三角形面积的计算，找出图A、图B、图D阴影部分四边形等高不等底的特征，倾斜度越大的面积越大，是解答本题的关键．
二、填空题
11．（2021·上海金山·八年级期末）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________．【版权所有：21教育】
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【答案】．
【分析】
先用勾股定理求得BC，利用斜边上的中线性质，求得CD，BD的长，再利用折叠的性质，引进未知数，用勾股定理列出两个等式，联立方程组求解即可．
【详解】
如图所示，
∵，
∴BC==8，
∵CD是上的中线，
∴CD=BD=AD=5，
设DE=x，BE=y，
根据题意，得
，
，
解得x=，y=,
∴,
故答案为：．
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【点睛】
本题考查了勾股定理，斜边上中线的性质，方程组的解法，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，正确构造方程组计算是解题的关键．
12．（2021·上海·奉教院附中八年级期末）我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为“最小角割比Ω”（），那么三边长分别为7，24，25的三角形的最小角割比Ω是______．
【答案】．
【分析】
根据题意作出图形，然后根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积和最小角割比Ω的定义计算即可．
【详解】
解：如图示，，，，
则，根据题意，作的角平分线交于点，
过点，作交于点，
过点，作交于点，
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则
∵，，
则（）
故答案是：．
【点睛】
本题考查了三角形角平分线的性质和三角形的面积计算，熟悉相关性质是解题的关键．
13．（2021·上海·二 ( http: / / www.21cnjy.com )模）我们把反比例函数图象上到原点距离相等的点叫做反比例函数图象上的等距点．如果第一象限内点A（2，4）与点B是某反比例函数图象上的等距点，那么点A、B之间的距离是_____．
【答案】
【分析】
根据题意，结合反比例函数和轴对称的性质，得出B的坐标，然后根据勾股定理即可求得点A、B之间的距离，即可完成求解．
【详解】
由题意可知，点B与点A关于直线y=x对称，
∵点A（2，4），
∴点B（4，2），
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数、轴对称、直角坐标系、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，从而完成求解．
14．（2021·上海青浦 ( http: / / www.21cnjy.com )·二模）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，将△ABC绕着点A旋转，点C恰好落在AB的中点上，设点B旋转后的对应点为点D，则CD的长为___________．
【答案】
【分析】
根据题意画出图，由和C恰好落在AB的中点，故有CE＝AE＝EB，根据旋转的性质可得AD的长，再利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图：过点D作DF⊥AC于F，交CA的延长线于F．
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由旋转可得AC＝AE，
∵AC＝3，E是AB的中点，
∴AE＝BE＝AC＝3，即AB＝AD＝6．
∵，
∴，
∴ ．
在Rt△FAD中，AF＝AD＝3，DF＝，
∴FC＝3＋3＝6，
在Rt△FCD中，DC＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查旋转的性质，三角形内角和定理以及勾股定理．根据题意画出图形并作出辅助线是解答本题的关键．
15．（2021·上海奉贤·三模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，如果，那么的值是________．
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【答案】16
【分析】
根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
【详解】
解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，
由题意可知：S1=（a+b）2，S2=a2+b2，S3=（a-b）2，
因为S1+S2+S3=48，
即（a+b）2+a2+b2+（a-b）2=21，
∴3（a2+b2）=48，
∴3S2=48，
∴S2的值是16．
故答案为16．
【点睛】
本题考查了勾股定理，正方形的面积，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．
16．（2021·上海长宁·八年级期末）如果四边形中的一条对角线长度是另一条对角线的两倍，那么称这个四边形为倍长对角线四边形．如图，四边形是倍长对角线四边形，且，四边形中最小的内角的度数是________．
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【答案】30°
【分析】
由AC=BD，想到构造BD的一半或AC的2倍．再结合∠BAD=∠BCD=90°，可分析出是取BD的中点，证明△AEC为等边三角形，根据等边三角形的性质求解．
【详解】
解：如图，在BD上取中点E，连接AE、CE．
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∵∠BAD=∠BCD=90°
∴AE=BD，CE=BD，
又∵AC=BD，
∴AE=AC=EC，
即△AEC为等边三角形，
所以∠AEC=60°，
又∵AE=BE=CE，
∴∠ABE=∠BAE=∠AED，∠BCE=∠CBE=∠CED，
∴∠ABC=∠AEC=30°．
故答案为：30°．
【点睛】
本题以新定义为载体，考查了学生的阅读理解能力 ( http: / / www.21cnjy.com )以及直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的应用．通过线段2倍关系以及直角的条件，取斜边中点，作出辅助线是关键．
17．（2020·上海浦东新·八年级期末）在中，，以的边为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在的斜边上，则这个等腰三角形的腰长为_________.
【答案】或2
【分析】
先求出AC的长，再分两种情况：当AC为腰时及AC为底时，分别求出腰长即可.
【详解】
在中，，
∴AB=2BC=4，
∴,
当AC为腰时，则该三角形的腰长为；
当AC为底时，作AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如图，此时△ACD是等腰三角形，则AE=,
设DE=x，则AD=2x，
∵,
∴
∴x=1（负值舍去），
∴腰长AD=2x=2，
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故答案为：或2
【点睛】
此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC为一边的等腰三角形”没有明确AC是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.2·1·c·n·j·y
18．设的三边、、均为正整数，且，则当乘积最大时，的面积为________．
【答案】
【分析】
根据三角形的三边a、b、c均为整数，将a由小到大取正整数，根据三边关系及a+b+c=40，求b、c，确定符合条件的三角形．
【详解】
解：先证明如下结论：设a，b两个正实数，由
即，当且仅当时取等号，
此时；
回到本题中：
∵，
∴，
又根据三角形两边之和大于第三边可知：，即，
∴，且为正整数，
故时，要想最大，此时不是整数，舍去，
时，要想最大，此时，此时，
时，要想最大，此时不是整数，舍去，
时，要想最大，此时，此时，
时，要想最大，此时不是整数，舍去，
时，要想最大，此时，此时，
时，要想最大，此时不是整数，舍去，
时，要想最大，此时，此时，
时，要想最大，此时不是整数，舍去，
……
由此可知，当，时，最大为2366，
此时三角形为等腰三角形，如下图所示：
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此时由勾股定理可知：，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的面积计算、勾股定理、三角形三边之间的关系、不等式的构造等知识点，本题难度比较大，具有一定的综合性．2-1-c-n-j-y
19．（上海闵行·八年级期末）在中，，，点是中点，点在上，，将沿着翻折，点的对应点是点，直线与交于点，那么的面积__________．21*cnjy*com
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【答案】或
【分析】
通过计算E到AC的距离即EH的长度为3，所以根据DE的长度有两种情况：①当点D在H点上方时，②当点D在H点下方时，两种情况都是过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH的长度，进而可求AD的长度，然后利用角度之间的关系证明，再利用等腰三角形的性质求出GQ的长度，最后利用即可求解．
【详解】
①当点D在H点上方时，
过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q，
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，点是中点，
．
∵，
．
，
，
．
，
，
，，
，
．
由折叠的性质可知，，
，
，
．
又 ，
．
，
．
，
即，
．
，
；
②当点D在H点下方时，
过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q，
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，点是中点，
．
∵，
．
，
，
．
，
，
，，
，
．
由折叠的性质可知，，
，
，
．
又 ，
．
，
．
，
即，
．
，
，
综上所述，的面积为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键．
20．如图，，P为射线上任意一点（点P和点B不重合），分别以，为边在内部作等边和等边，连结并延长交于点F，若，，则______．www-2-1-cnjy-com
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【答案】2
【分析】
连接，过点E作，由题意可得，可得，，可求，根据勾股定理可求，，，，可求，，，由，，可得．21·世纪*教育网
【详解】
解：如图：连接，过点E作，
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∵，是等边三角形，
∴，，，
∴且，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∵
∴，，
∵
∴，
∴，
故答案为2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，构造直角三角形用勾股定理求线段的长度是本题的关键．21·cn·jy·com
三、解答题
21．（2021·上海市康城学校八年级期末）已知：在中，，，点为边上一动点（与点不重合），连接，以始边作．
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（1）如图一，当且时，试说明和的位置关系和数量关系；
（2）如图二，当且点在边上时，求证：．
【答案】（1），，理由见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质证明：≌，利用全等三角形的性质可得答案；
（2）将绕点逆时针旋转，得到．连接， 同（1）理证明：，，再证明：≌，可得：，由勾股定理可得：，等量代换后可得结论．
【详解】
解：（1）∵，
∴．
又，，
∴≌（SAS），
∴，．
，，
，
∴，
∴．
∴与位置关系是，数量关系是．
（2）将绕点逆时针旋转，得到．连接， 如图二，
( http: / / www.21cnjy.com / )
同（1）理：可得，．
∵，，
∴，
∵，，
∴≌（SAS）．
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
22．（2021·上海金山·八年级期末）已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证：
（1）；
（2）垂直平分．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）利用三角形的全等，得到一对对应角，后利用等角对等边证明即可；
（2）逆用线段垂直平分线的判定证明即可．
【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
（1）∵分别是上的中线，
∴BE=CD，∠EBC=∠DCB，
∵BC=CB，
∴△EBC≌△DCB，
∴∠ECB=∠DBC，
∴OB=OC；
（2）设AO与DE的交点为F，
∵△EBC≌△DCB，
∴EC=DB，
∵OB=OC；
∴OD=OE，
∴点O在线段DE的垂直平分线上，
∵AE=AD，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∴直线AO是线段DE的垂直平分线，
∴垂直平分．
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【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等， ( http: / / www.21cnjy.com )中线的定义，垂直平分线的判定和性质，同一个三角形中，等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理是解题的关键．
23．（2021·上海金山·八年级期末）如图1，在中，，是的中点是射线上一个动点，联结，过点作的垂线，交射线于．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）如图2，如果点与点重合，求证：；
（2）如图3，如果，求的长；
（3）设，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．
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【答案】（1）证明见详解；（2）PQ=；（3），，
【分析】
（1）在中，，是的中点可得DC=AD=BD，可求∠DCB=∠DBC=30°，由外角性质∠QDB=∠DCB+∠DBC=60°，由QB⊥DB，
可求∠DQB=90°-∠QDB=30°，可得DQ=2DB=2DC，由D与P重合，可证PQ=2PC；
（2）过B作BH⊥PQ于H，由AC=6，∠ACB=90°，∠ABC=30°，可求AB=2AC=12，在Rt△ACB中由勾股定理BC=，由∠HCB=30°，∠CHB=90°，可求CB=2BH=
可得BH=，由∠PBQ=90°，BP=BQ，可求PQ=2BH=；
（3）由（2）得BH=，在Rt△CBH中，由勾股定理求出CH=，当CP≤9时PH=9-PC=9-x，当CP时PH=PC-9=x-9，分两种情况，在RtRt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2即可求出。
【详解】
解：（1）在中，，是的中点，
∴DC=AD=BD，
∴∠DCB=∠DBC=30°，
又∵∠QDB=∠DCB+∠DBC=60°，
∵QB⊥DB，
∴∠DQB=90°-∠QDB=30°，
∴DQ=2DB=2DC，
∵D与P重合，
PQ=2PC；
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（2）过B作BH⊥PQ于H，
∵AC=6，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=12，
在Rt△ACB中由勾股定理BC=，
又因为∠HCB=30°，∠CHB=90°，
∴CB=2BH=，
∴BH=，
∵∠PBQ=90°，BP=BQ，
∴PQ=2BH=；
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（3）由（2）得BH=，在Rt△CBH中，CH=，
当CP≤9时PH=9-PC=9-x，
在Rt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2，
y2=(9-x)2+27，
即，
( http: / / www.21cnjy.com / )
当CP时PH=PC-9=x-9，
在Rt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2，
y2=(x-9)2+27，
即，
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查直角三角形性质，勾股定理，等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰直角三角形性质函数关系，掌握直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质函数关系，解题关键是在Rt△PBH中利用勾股定理构造等式求出函数关系．
24．（2021·上海浦东新·七年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，作DE⊥AB于点E．
（1）如图1，当AC＝6，AB＝10时，求△ACD的面积；
（2）如图2，当∠B＝45°，取AD中点为F，连接FC，EF，CE，试判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，取AD中点为F，当∠B＝x°，∠CFE＝y°，确定两者之间的函数关系式．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）9；（2）△CEF为等腰直角三角形，理由见解析；（3）y＝180﹣2x．
【分析】
（1）根据勾股定理求出BC=8，证明 ( http: / / www.21cnjy.com )Rt△ACD≌Rt△AED（HL），由全等三角形的性质得出AD=AE=6，BE=4，令CD=x，则DE=x，DB=8-x，得出x2+42=（8-x）2，求出DE=3，即可求解；
（2）先得出CF=EF=AF=DF，再求出∠CFE=90°，进而得到结论；
（3）由（2）可得∠CFE=2∠CAF+2∠CAF=2∠CAB，进而得到结论．
【详解】
（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝＝8，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AD＝AE＝6，BE＝4，
令CD＝x，则DE＝x，DB＝8﹣x，
∵DE2+BE2＝BD2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴DE＝3，
∴S△ACD＝AC CD＝×6×3＝9．
（2）解：△CEF为等腰直角三角形．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∵∠ACB＝90°，F为AD的中点，
∴CF＝AF＝DF＝EF＝AD，
∴∠CAF＝∠ACF，∠FAE＝∠AEF，
∵∠B＝45°，AD平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠EAF＝22.5°，
∴∠CFD＝∠ACF+∠CAF＝2∠CAF＝45°，
∠EFD＝∠EAF+∠AEF＝2∠EAF＝45°，
∵∠CFE＝∠CFD+∠EFD＝2∠CAF+2∠CAF＝90°，
∴△CEF为等腰直角三角形．
（3）由（2）知∠CFE＝2∠CAF+2∠CAF＝2∠CAB＝2（90°﹣x），
∴y＝2（90﹣x）＝180﹣2x．
【点睛】
三角形综合题型，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理，解题关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质．
25．（2021·上海·奉教院附中八年级期末）如图，中，，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）利用直尺，圆规在边上找一点E，使得；（不需要写作法，但要保留作图痕迹）
（2）若厘米，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）9厘米
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质可知点E在线段AC的垂直平分线上，又因为点E在AB边上，从而可确定点E的位置；
（2）过点C作交AB于点D，首先根据等腰三角形三线合一得出，进而得出，然后利用含30°的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
（1）如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）过点C作交AB于点D，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
．
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查作垂直平分线，等腰三角形三线合一，含30°的直角三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键．
26．（2021·上海静安·九年级期中）已知：如图，在中，，，垂足为．，，，与、分别相交于点、．求：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）的长；
（2）的长．
【答案】（1）2 ；（2）．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质可得点是的中点，证明，可得是的中位线，再根据条件证明是等腰直角三角形，进而根据勾股定理可得结果；
（2）由（1）可得，，，所以，根据勾股定理可得，所以，再证明，可得，进而可得结论．
【详解】
解：（1），，
点是的中点，
，
，
，
，，
，，
点是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）由（1）可知：，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟悉相关性质并能综合应用是解决本题的关键．
27．（2021·上海市市北初级中学八年级期末）作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．
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【答案】作图见解析
【分析】
分别以A、B为圆心，以大于 ( http: / / www.21cnjy.com )AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，即可求解.
【详解】
解：分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；
以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 ( http: / / www.21cnjy.com ) 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；
还有一点是三边的垂直平分线的交点，
∴一共有10个点；
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
28．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，在中，，平分线交于点，点为上一动点，过作直线于，分别交直线、、于点、、．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）当直线经过点时（如图2），求证：；
（2）当是线段的中点时，写出线段和线段之间的数量关系，并证明；
（3）请直接写出、和之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）CD=2CE， ( http: / / www.21cnjy.com )证明见解析；（3）当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN．
【分析】
（1）连接ND，先由已知条件证明DN=DC ( http: / / www.21cnjy.com )，再证明BN=DN即可；
（2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，过点C作CN'⊥AO交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；
（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时；由（2）即可得出结论．
【详解】
（1）证明：连接ND，如图2所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠C ( http: / / www.21cnjy.com )AD，
∵直线l⊥AO于H，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠ANH=∠AEH，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴AH是线段NC的中垂线，
∴DN=DC，
∴∠DNH=∠DCH，
∴∠AND=∠ACB，
∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠BDN，
∴BN=DN，
∴BN=DC；
（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的数量关系为CD=2CE，理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，
∵CG∥AB，
∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，
∴∠CGE=∠AEN，
∴CG=CE，
∵M是BC中点，
∴BM=CM，
在△BNM和△CGM中，
∴△BNM≌△CGM（ASA），
( http: / / www.21cnjy.com )∴BN=CG，
∴BN=CE，
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；
（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；
当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN-CE；
当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE-BN．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
29．（2020·上海市奉 ( http: / / www.21cnjy.com )贤区弘文学校八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD，点E、F分别在AB、AD上，AE=AF．连接CE、CF．
（1）求证：CE=CF；
（2）如果∠BAD=60°，CD=．
①当AF=时，设，求与的函数关系式；（不需要写定义域）
②当AF=2时，求△CEF的边CE上的高．
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【答案】（1）见解析；（2）①；②．
【分析】
（1）先证明△ACD≌△ACB，再证明△CAF≌△CAE即可；
（2）①分别求出AO，EO和CO的长，再根据三角形面积公式求解即可；
②先求出CE的长，再求出△CEF的面积即可．
【详解】
（1）证明：连接AC，
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∵∠ADC=∠ABC=90°，
在Rt△ACD和RT△ACB中，
，
∴△ACD≌△ACB（HL），
∴∠CAF=∠CAE，
在△CAF和△CAE中，
，
∴△CAF≌△CAE(SAS)，
∴CE=CF；
（2）①设AC与EF交于点O，
∵AE=AF，∠BAD=60°
∴△AFE是等边三角形，
由（1）知∠CAF=∠CAE=30°，
∴AC⊥FE，
∵AF=x，
∴EF=x，FO=，AO=，
∵∠ADC=90°，∠CAF =30°，CD=，
∴AC=，
∴CO=-，
∵，
∴；
②作FH⊥EC于H，
∵△ACD≌△ACB，∠DAB=60°，
∴AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，
在Rt△ACD中，∠D=90°，CD=2，
∴AC=2CD=4，AD=，
∴DF=AD-AF=4，CE=CF==，
由（2）①可得：当AF=2时，S△EFC=，
又∵S△EFC=CE FH，
∴3=×2FH，
∴FH=，
∴△CEF的边CE上的高为．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，求高想到求面积，属于中考常考题型．
30．（2021·上海市第四中学八年级期末）在直角梯形中，，，，联结，如图（a）．点沿梯形的边，按照点移动，设点移动的距离为，．21cnjy.com
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（1）当点从点移动到点时，与的函数关系如图（b）中折线所示．则______，_____，_____．
（2）在（1）的情况下，点按照点移动（点与点不重合），是否能为等腰三角形？若能，请求出所有能使为等腰三角形的的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）5，3，1；（2）2或或或
【分析】
（1）由图（b）得：AB＝5，作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝3，CD＝BE，由勾股定理求出AE＝4，得出CD＝BE＝AB AE＝1；
（2）分情况讨论：①点P在AB边上时；②点P在BC上时；③点P在AD上时；由等腰三角形的性质和勾股定理即可得出答案．21*cnjy*com
【详解】
解：（1）由图（b）得：AB＝5，AB＋BC＝8，
∴BC＝3，
作DE⊥AB于E，如图1所示：
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则DE＝BC＝3，CD＝BE，
∵AD＝AB＝5，
∴AE＝＝4，
∴CD＝BE＝AB AE＝1，
故答案是：5，3，1；
（2）解：可能；理由如下：
分情况讨论：
①点P在AB边上时，
当DP＝DB时，BP＝2BE＝2，
当BP＝BD时，
BP＝BD＝；
②点P在BC上时，存在PD＝PB，
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设PD=BP=m，则CP=3-m，
∴，解得：m=，
∴BP=；
③点P在AD上时，
当BP＝BD时， 则BP＝BD=，
当时，则AP=5-，
过点P作PM⊥AB，则sinA=，cosA=，
∴PM=（5-）=3-，AM=（5-）=4-，
∴BM=5-（4-）=1+，
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∴PB==，
综上所述：△BDP可能为等腰三角形，能使△BDP为等腰三角形的的值为：2或或或．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【挑战期末压轴】考题4：几何证明问题综合（学生版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的有（ ）组21·cn·jy·com
① 5，12，13；② 7，24，25 ；③ 8，15，16；④ 32，42，52；
⑤ ；⑥
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2020·上海市进才中学北校八年级期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（上海市市西初级中学八年级期末）在中，的对边分别是，下列条件中，不能说明是直角三角形的是（ ）21cnjy.com
A． B．
C． D．
4．（2020·上海闵行·八年级期中）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H，AD平分∠BAC，与CH相交于点D，过点D作DE∥BC，与边AB相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．DA=DE B．AC=EC C．AH＝EH D．CD＝ED
5．（2020·上海市育才初级中学八年级期中）下列各命题中，假命题是（ ）
A．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
B．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等
C．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等
D．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等
6．（2021·上海金山·八年级期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ；
B．每个命题都有逆命题；
C．每个定理都有逆定理；
D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
7．（2011·上海·中考真题）下列命题中，真命题是（ ）．
A．周长相等的锐角三角形都全等； B．周长相等的直角三角形都全等；
C．周长相等的钝角三角形都全等； D．周长相等的等腰直角三角形都全等．
8．△ABC的三边的长a、b、c满足：，则△ABC的形状为（ ）．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
9．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，为的外角平分线上一点，过作于，交的延长线于，且满足，则下列结论：①≌；②；③；④．其中正确的结论有（ ）．【来源：21cnj*y.co*m】
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2010·上海浦东新·七 ( http: / / www.21cnjy.com )年级竞赛）在下列图形中，各有一边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠.问哪一个重叠的面积最大 （ ）【出处：21教育名师】
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
二、填空题
11．（2021·上海金山·八年级期末）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________．21世纪教育网版权所有
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12．（2021·上海·奉教院附中八年级期末）我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为“最小角割比Ω”（），那么三边长分别为7，24，25的三角形的最小角割比Ω是______．
13．（2021·上海·二 ( http: / / www.21cnjy.com )模）我们把反比例函数图象上到原点距离相等的点叫做反比例函数图象上的等距点．如果第一象限内点A（2，4）与点B是某反比例函数图象上的等距点，那么点A、B之间的距离是_____．21·世纪*教育网
14．（2021·上海青浦·二模）在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，将△ABC绕着点A旋转，点C恰好落在AB的中点上，设点B旋转后的对应点为点D，则CD的长为___________．
15．（2021·上海奉贤·三模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，如果，那么的值是________．21教育名师原创作品
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16．（2021·上海长宁·八年级期末）如果四边形中的一条对角线长度是另一条对角线的两倍，那么称这个四边形为倍长对角线四边形．如图，四边形是倍长对角线四边形，且，四边形中最小的内角的度数是________．
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17．（2020·上海浦东新·八年级期末）在中，，以的边为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在的斜边上，则这个等腰三角形的腰长为_________.21*cnjy*com
18．设的三边、、均为正整数，且，则当乘积最大时，的面积为________．
19．（上海闵行·八年级期末）在中，，，点是中点，点在上，，将沿着翻折，点的对应点是点，直线与交于点，那么的面积__________．
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20．如图，，P为射线上任意一点（点P和点B不重合），分别以，为边在内部作等边和等边，连结并延长交于点F，若，，则______．
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三、解答题
21．（2021·上海市康城学校八年级期末）已知：在中，，，点为边上一动点（与点不重合），连接，以始边作．
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（1）如图一，当且时，试说明和的位置关系和数量关系；
（2）如图二，当且点在边上时，求证：．
22．（2021·上海金山·八年级期末）已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证：
（1）；
（2）垂直平分．
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23．（2021·上海金山·八年级期末）如图1，在中，，是的中点是射线上一个动点，联结，过点作的垂线，交射线于．
（1）如图2，如果点与点重合，求证：；
（2）如图3，如果，求的长；
（3）设，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．
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24．（2021·上海浦东新·七年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，作DE⊥AB于点E．2·1·c·n·j·y
（1）如图1，当AC＝6，AB＝10时，求△ACD的面积；
（2）如图2，当∠B＝45°，取AD中点为F，连接FC，EF，CE，试判断△CEF的形状，并说明理由；21*cnjy*com
（3）如图3，取AD中点为F，当∠B＝x°，∠CFE＝y°，确定两者之间的函数关系式．
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25．（2021·上海·奉教院附中八年级期末）如图，中，，．
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（1）利用直尺，圆规在边上找一点E，使得；（不需要写作法，但要保留作图痕迹）
（2）若厘米，求的长．
26．（2021·上海静安·九年级期中）已知：如图，在中，，，垂足为．，，，与、分别相交于点、．求：【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）的长；
（2）的长．
27．（2021·上海市市北初级中学八年级期末）作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．
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28．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，在中，，平分线交于点，点为上一动点，过作直线于，分别交直线、、于点、、．2-1-c-n-j-y
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（1）当直线经过点时（如图2），求证：；
（2）当是线段的中点时，写出线段和线段之间的数量关系，并证明；
（3）请直接写出、和之间的数量关系．
29．（2020·上海市奉贤 ( http: / / www.21cnjy.com )区弘文学校八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD，点E、F分别在AB、AD上，AE=AF．连接CE、CF．
（1）求证：CE=CF；
（2）如果∠BAD=60°，CD=．
①当AF=时，设，求与的函数关系式；（不需要写定义域）
②当AF=2时，求△CEF的边CE上的高．
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30．（2021·上海市第四中学八年级期末）在直角梯形中，，，，联结，如图（a）．点沿梯形的边，按照点移动，设点移动的距离为，．21教育网
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（1）当点从点移动到点时，与的函数关系如图（b）中折线所示．则______，_____，_____．www.21-cn-jy.com
（2）在（1）的情况下，点按照点移动（点与点不重合），是否能为等腰三角形？若能，请求出所有能使为等腰三角形的的值；若不能，请说明理由．【版权所有：21教育】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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