湖南省株洲市南方中学2012-2013学年高一入学考试数学试题

南方中学2012-2013学年高一入学考试数学试题
一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ （
2．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
　 A． x＜3 B． x≤3 C．x＞3 D． x≥3
3．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（　　）
　 A． B． C． D．
4．现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（　　）
　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
5．如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（　　）
　 A． 7 B． 8 C． 9 D．10
6．如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（　　）
　 A． B． C． D．
　7．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连结OC并延长交⊙O于点D。若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是( 　)
　　A.6　　 　　 B.9-　 　　 　C. 　　 　　D.25-3
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．请将最后答案直接填在题中横线上．）
9．某校九（1）班8名学生的体重（单位：kg）分别是39，40，43，43，43，45，45，46．这组数据的众数是 ．
10．不等式组的解集是 .
11．若实数a、b满足|3a﹣1|+b2=0，则ab的值为　　．
12．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 。
13．在△ABC中，∠B是钝角，AB=6，CB=8，则AC的范围是 。
14．若n是正整数，定义,如，设，则m这个数的个位数字为
三、解答题（本大题共4个小题，共40分．解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．）
16．（本题8分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD//CO。
（1）求证：△ADB∽△OBC；
（2）若AB=2，BC=，求AD的长。（结果保留根号）
17 （本题10分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22 时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45 时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．
(1)求教学楼AB的高度；
(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．
(参考数据：sin22 ≈，cos22 ≈，tan22 ≈)
18（本题10分）．在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：
（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）
（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？
19、（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；
（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？
南方中学2012年高一新生能力测试试卷
（答卷）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1 2 3 4 5 6 7 8
A D C B C D D C
三、解答题（本大题共4个小题，共40分．解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．）
16．（本题8分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD//CO。
（1）求证：△ADB∽△OBC；
（2）若AB=2，BC=，求AD的长。（结果保留根号）
解：（1）
∴△ADB∽△OBC
17 （本题10分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22 时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45 时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．
(1)求教学楼AB的高度；
(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．
(参考数据：sin22 ≈，cos22 ≈，tan22 ≈)
解：(1)12 (2)27
18（本题10分）．在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：
（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）
（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？
解：（1）∵25≤28≤30，，∴把28代入y=40﹣x得，∴y=12（万件），答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；=﹣x2+35x﹣625=﹣（x﹣35）2﹣12.5故当x=35时，W最大为﹣12.5，及公司最少亏损12.5万；对比1°，2°得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；
19、（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；
（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？
解：（1）由题意，A（6，0）、B（0，8），则OA=6，OB=8，AB=10；
当t=3时，AN=t=5=AB，即N是线段AB的中点；
∴N（3，4）．
设抛物线的解析式为：y=ax（x﹣6），则：
4=3a（3﹣6），a=﹣；
∴抛物线的解析式：y=﹣x（x﹣6）=﹣x2+x．
（3）Rt△NCA中，AN=t，NC=AN sin∠BAO=t，AC=AN cos∠BAO=t；
∴OC=OA﹣AC=6﹣t，∴N（6﹣t，t）．
∴NM==；
又：AM=6﹣t，AN=t（0＜t＜6）；
①当MN=AN时，=t，即：t2﹣8t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）；
②当MN=MA时，=6﹣t，即：t2﹣12t=0，t1=0（舍去），t2=；
③当AM=AN时，6﹣t=t，即t=；
综上，当t的值取 2或或 时，△MAN是等腰三角形．