2021-2022学年人教版八年级数学上册 12.3.1角平分线的性质（共30张）

(共30张PPT)
12.3.1 角平分线的性质
八年级上册
1、掌握角平分线的做法和角平分线的性质;
2、掌握角平分线在实际生活中的应用；
学习目标
3、提高综合运用全等知识解决问题的能力.
1.角平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
O
B
C
A
1
2
预习反馈
2.下图中能表示点到直线的距离的 .
线段的长
P
A
B
C
D
3.用尺规作已知角的平分线的理论依据是( )
A.SAS B.AAS C.SSS D. ASA
C
4.如图，MP⊥NP，MQ为△NMP的角平分线，MT＝MP，连结TQ，则下列结论中，不正确的是( )
A.TQ＝PQ． B. ∠MQT＝∠MQP
C. ∠QTN＝90o D.∠NQT＝∠MQT
D
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗
C
A
D
B
你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗
E
证明： 在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
问题导入
观察领悟作法，探索思考证明方法：
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．
大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
1.角的平分线的作法(尺规作角的平分线）
课堂探究
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
为什么OC是角平分线呢？（议一议，写一写）
Ｏ
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC, 即：OC平分∠AOB
1.角的平分线的作法(尺规作角的平分线）
思考
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。
求证：PD=PE
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
D
P
E
A
O
B
C
2.角平分线的性质
课堂探究
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO
∠ AOC= ∠ BOC OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
D
P
E
A
O
B
C
2.角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
O
B
P
E
D
1
2
∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
文字语言：
图形语言
定理
2.角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
定理的作用：
证明线段相等。
1、∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
（×）
3.角平分线的性质运用
判断
只有角平分线，没有垂直,不能用角平分线性质定理
练一练
2、∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
只有垂直，没有角平分线,不能用角平分线性质定理
3、∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，
（ ）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（ √ ）
不必再证全等
证明一个几何命题的一般步骤：
1、明确命题中的已知和求证。
2、根据题意画出图形，并用数学符号表示出已知和求证。
3、经过分析，找出由已知推出要证结论的途径，写出证明过程。
方法总结
例1 在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
求证：AC=BD.
O
A
B
E
C
D
分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
例题解析
A
B
C
D
E
F
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
例2 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3. 求BD的长。
E
D
C
B
A
解：∵AD为∠BAC的平分线，∠C=90°,DE⊥AB,
∴DC=DE=3.
∵BC=7
∴BD=BC-CD=7-3=4.
A
B
C
P
如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______.
（2）求△APB的面积.
（3）求 PDB的周长.
D
4
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
变式训练
A
B
C
P
如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△APB的面积.
D
（3）求 PDB的周长.
·AB·PD=28.
由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
=
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积
周长
条件
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
方法总结
1 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= 。
60
BF
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm， 那么线段BE是△ABC的　　　 ，AE+DE=　　　。
角平分线
6cm
随堂检测
3.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
A
B
C
D
3
4.如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EB
A
C
D
E
B
F
解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴DE=DC，∠DEB=∠C=90°.
在△Rt△BED和Rt△FCD中
BD=FD
ED=CD
∴Rt△BED≌Rt△FCD（HL）
∴CF=BE
5.如图，AE平分∠BAC，BD＝DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．
求证：BM＝CN．
证明：连接EB，EC，
∵DE⊥BC
∴∠EDB=∠EDC=90°.
在△EDB和△EDC中，
DB=DC
∠EDB=∠EDC
ED=ED
∴△EDB≌△EDC（SAS）
∴EB=EC
∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC
∴EM=EN
∴Rt△EBM≌Rt△ECN
∴BM=CN
6.如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。
求证：∠2=∠1+∠C.
证明：延长AD交BC于点F
F
∵AD⊥BE，∠ADB=∠FDB=90°.
∵BE是角平分线,∴∠ABD=∠FBD
∴△ABD≌△FBD(ASA)
∴∠BFD=∠2
∵∠BFD=∠1+∠C
∴∠2=∠1+∠C
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
课堂小结
书面作业：完成相关书本作业
布置作业
数学活动：
想一想利用角平分线的性质可以解决哪些问题。
再见