(共12张PPT)
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
练素养
识别相交线中的几种角
课题
集训课堂
D
1
2
3
4
5
答 案 呈 现
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下列选项中，∠1与∠2互为对顶角的是( )
D
1
【教材P8习题T2变式】如图，直线AB，CD，EF相交于点O.
(1)请写出∠AOC，∠AOE，∠EOC的对顶角；
2
解：∠AOC的对顶角是∠BOD，∠AOE的对顶角是∠BOF，∠EOC的对顶角是∠DOF.
(2)若∠AOC＝50°，求∠BOD，∠BOC的度数．
解：因为∠AOC的对顶角是∠BOD，∠AOC＝50°，所以∠BOD＝50°.
因为∠BOC是∠BOD的邻补角，所以∠BOC＝180°－50°＝130°.
3
【教材P8习题T2改编】如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE.
(1)写出∠BOD的邻补角；
解：∠BOD的邻补角为
∠BOC和∠AOD.
(2)写出∠BOE的余角；
解：因为直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，
所以∠BOD＝∠AOC，∠DOE＝90°，
所以∠BOE＋∠BOD＝90°，
所以∠BOE＋∠AOC＝90°，
所以∠BOE的余角是∠BOD和∠AOC.
(3)若∠COF＝29°，求∠BOE的度数．
解：因为∠COF＝29°，∠COE＝90°，
所以∠EOF＝90°－29°＝61°.
又因为OF平分∠AOE，
所以∠AOE＝2∠EOF＝122°.
因为∠BOE＋∠AOE＝180°，
所以∠BOE＝180°－∠AOE＝58°.
如图所示都是水平直线被一条倾斜的直线所截．
(1)请观察并填写下表：
4
4
12
24
2
6
12
2
6
12
(2)若n条水平直线被一条倾斜直线所截，请用含n的式子表示同位角、内错角、同旁内角的对数．
解：同位角对数：2n(n－1)，内错角对数：n(n－1)，同旁内角对数：n(n－1)．
直线a，b被直线c所截，∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角．
(1)根据上述条件，画出符合题意的图形；
5
解：如图．
(2)若∠1：∠2：∠3＝1：2：3，求∠1，∠2，∠3的度数．
解：由∠1：∠2：∠3＝1：2：3，
可设∠1＝x°，则∠2＝2x°，∠3＝3x°.
由∠2与∠3是邻补角，
得∠2＋∠3＝2x°＋3x°＝180°，
解得x°＝36°，
则有2x°＝72°，3x°＝108°.
即∠1＝36°，∠2＝72°，∠3＝108°.(共15张PPT)
平行线的性质
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
5.3.1
B
D
1
2
3
4
5
A
B
6
7
8
D
答 案 呈 现
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9
B
10
C
D
【教材P20练习T1变式】【2021·遵义】如图，已知直线a∥b，c为截线，若∠1＝60°，则∠2的度数是( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
B
1
【2021·河南】如图，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为( )
A．90°
B．100°
C．110°
D．120°
2
D
3
A
【2021·长沙】如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE＝100°，则∠DHF的度数为( )
A．100°
B．80°
C．50°
D．40°
【2021·大连】如图，AB∥CD，CE⊥AD，垂足为E，若∠A＝40°，则∠C的度数为( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．90°
B
4
【2021·呼和浩特】如图，在三角形ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝50°，则∠EAC的度数是( )
A．40°
B ． 50°
C ． 60°
D ． 70°
D
5
【2021·包头】如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C.若∠3＝50°，
∠1＋∠2＋∠3＝240°，则∠4等于( )
A．80°
B．70°
C．60°
D．50°
6
B
【2021·济宁】如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28′，那么∠D的度数是( )
A．72°28′
B．101°28′
C．107°32′
D．127°32′
7
C
已知∠1与∠2是同旁内角．若∠1＝50°，则∠2的度数是( )
A．50°
B．130°
C．50°或130°
D．不能确定
8
D
【点拨】
本题易忽略利用平行线的性质的前提而误用平行线的性质．本题没有说明两直线平行，因此同旁内角的数量关系是不确定的．
【中考·重庆】如图，AB∥CD，三角形EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD.若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．
9
解：∵在三角形EFG中，∠EFG＝90°，∠E＝35°，
∴∠EGF＝180°－90°－35°＝55°.
∵GE平分∠FGD，
∴∠EGF＝∠EGD＝55°.
∵AB∥CD，∴∠EHB＝∠EGD＝55°.
又∵∠EHB＝180°－∠AHE＝∠EFB＋∠E，
∴∠EFB＝∠EHB－∠E＝55°－35°＝20°.
10
如图，点C在直线GF上，AB∥DE∥GF，
∠1：∠D：∠B＝2：3：4.求∠1的度数．
解：设∠1＝2x，则∠D＝3x，∠B＝4x.
∵AB∥GF∥DE，
∴∠B＋∠GCB＝180°，∠D＋∠FCD＝180°.
∴∠GCB＝180°－4x，∠FCD＝180°－3x.
∵180°－4x＋180°－3x＋2x＝180°，
∴x＝36°. ∴∠1＝72°.(共15张PPT)
垂直的定义
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
5.1.2
D
1
2
3
4
5
A
B
6
7
60°或120 °
答 案 呈 现
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如图，若CD⊥EF，∠1＝∠2，则AB⊥EF，请说明理由(补全解题过程)．
解：因为CD⊥EF，
所以∠1＝______°(垂直的定义)．
所以∠2＝∠1＝______°.
所以AB______EF(垂直的定义)．
90
1
90
⊥
已知在同一平面内：①两条直线相交成直角；
②两条直线互相垂直；
③一条直线是另一条直线的垂线．
那么下列因果关系：①→②③；②→①③；③→①②中，正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
2
D
3
A
【教材P8习题T5变式】【2021·北京】如图，点O在直线AB上，OC⊥OD.若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为( )
A．30° B．40°
C．50° D．60°
【2020·乐山】如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF，则∠GEB＝( )
A．10° B．20°
C．30° D．40°
B
4
在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是____________．
60°或120 °
5
【点拨】
本题易因只考虑OC，OD在直线AB同侧的情况，而忽略了OC，OD在直线AB两侧的情况，以致漏解而致错．
6
(2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由．
解：OD⊥AB.理由：由(1)知∠AOC＝∠COD＝45°，
所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°，
所以OD⊥AB(垂直的定义)．
将一副三角尺的两个直角顶点重合在一起，按如图位置放置．
(1)如图①，若∠BOC＝50°，求∠AOD的度数；
7
解：因为∠AOB＝90°，∠BOC＝50°，
所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°－50°＝40°.
又因为∠COD＝90°，所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝40°＋90°＝130°.
(2)如图②，若∠BOC＝60°，求∠AOD的度数；
解：因为∠AOB＝90°，
∠COD＝90°，∠BOC＝60°，
所以∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠COD＝360°－90°－60°－90°＝120°.
(3)如图②，猜想∠AOD与∠BOC的关系，并说明理由．
解：∠AOD与∠BOC互补．
理由如下：
因为∠AOB＝90°，∠COD＝90°，
所以90°＋∠BOC＋90°＋∠AOD＝360°，
所以∠AOD＋∠BOC＝180°，
即∠AOD与∠BOC互补．(共16张PPT)
平行线及其画法
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
5.2.1
C
D
1
2
3
4
5
C
②；③
6
7
8
略
答 案 呈 现
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9
D
在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．平行、相交或垂直
C
1
下列生活实例中：①交通道口的斑马线；②天上的彩虹；③体操的纵队；④百米跑道线；⑤火车的平直铁轨线．其中属于平行线的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2
D
3
C
如图，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．平行或垂直
D．无法确定
【原创题】如图，能相交的是______，平行的是______．
②
4
③
在如图所示的方格纸中，经过点C画与线段AB平行的直线l1.
5
解：略
【教材P12练习改编】读下列语句，并画出图形．
P是直线AB外一点，直线CD经过点P且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直．
6
解：如图所示．
下列说法正确的是( )
A．两条不相交的直线叫做平行线
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．在同一平面内不相交的两条线段互相平行
D．在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线
7
D
【点拨】
对平行线定义的理解要抓住三个关键要素：“同一平面内”“不相交”“直线”，本题易错之处在于理解平行线定义时，容易只关注其中一个或两个要素而导致判断错误．
【教材P35复习题T4改编】如图，P是线段AB的中点，过点P画BC的平行线交AC于点Q，再过点Q画AB的平行线交BC于点S.
(1)用刻度尺测量后确定AQ与QC，CS与BS的数量关系；
8
解：所画图形如图所示．
经测量得到AQ＝QC，CS＝BS.
(2)用刻度尺测量后确定PQ与BC，QS与AB的数量关系，你发现了什么？用简洁的语言把你发现的规律叙述出来．
实践：
(1)画∠AOB＝60°，在∠AOB内任取一点P，过点P作直线CD∥OA，再过点P作直线EF∥OB；
(2)测量∠CPE，∠EPD，∠DPF，∠CPF的度数．
9
解：如图所示．
∠CPE＝120°，∠EPD＝60°，∠DPF＝120°，∠CPF＝60°.
探究：
(1)这些角的边与∠AOB的边有何位置关系？
(2)这些角与∠AOB之间存在什么关系？
发现：把你的发现用一句话概括出来．
解：平行．
相等或互补．
如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【点拨】
本题可用度量法先测量出角的度数，然后根据这些角间的位置关系以及数量关系，得出结论．(共13张PPT)
用“同位角相等”判定两直线平行
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
5.2.2
＝
1
2
3
4
5
A
6
7
答 案 呈 现
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【教材P12思考变式】【中考·吉林】我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b的根据是_________________________．
同位角相等，两直线平行
1
【2021·桂林】如图，直线a，b被直线c所截，当∠1____∠2时，a∥b.(用“>”“<”或“＝”填空)
2
＝
3
A
如图，直线a与直线b相交于点A，与直线c相交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°.若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针至少旋转( )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
【2020·金华改编】如图，工人师傅用角尺画出工件
边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是_______________________________________________．
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
4
如图，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，∠1＝∠2，试问CD与EF平行吗？为什么？
解：CD∥EF.
理由：因为∠1＝∠2(__________)，
所以AB∥EF(___________________________)．
已知
5
同位角相等，两直线平行
因为AB⊥BD，CD⊥BD，
所以AB∥CD(___________________________________________________)．
所以CD∥EF(____________________________________)．
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直
线互相平行
平行于同一条直线的两条直线互相平行
【点拨】
本题中学生容易混淆判定两直线平行的几种方法，从而导致错误．
【教材P14例改编】如图，已知∠1＝90°，∠2＝90°，试说明：CD∥EF.
方法一：用“同位角相等”说明；
6
解：因为∠1＝90°，∠2＝90°，
所以∠1＝∠2.
所以CD∥EF.
方法二：用“第三直线”说明．
解：因为∠1＝90°，∠2＝90°，
所以CD⊥AB，EF⊥AB.
所以CD∥EF.
如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F.
问：CE与DF的位置关系怎样？试说明理由．
7(共18张PPT)
平行公理及其推论
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
5.2.1
C
B
1
2
3
4
5
B
6
7
8
B
答 案 呈 现
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9
D
10
EF∥CD
【教材P12思考变式】已知直线AB和一点P，过点P画直线AB的平行线，可画( )
A．1条
B．0条
C．1条或0条
D．无数条
C
1
在同一平面内，直线m，n相交于点O，且l∥n，则直线l和m的关系是( )
A．平行
B．相交
C．重合
D．以上都有可能
2
B
【点拨】
由平行线的基本事实可得，直线l和m不可能平行，否则过点O有两条直线与直线l平行，又直线m和l不可能重合，所以直线l和m必定相交，故选B.
3
B
如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有( )
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上．
理由是______________________________________________．
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
4
【点拨】
由已知，直线MC，NC都经过直线AB外的一点C，且都和直线AB平行，根据平行公理，知直线MC，NC是同一条直线，理由是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
互不重合的三条直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是( )
A．a⊥b
B．a∥b
C．a⊥b或a∥b
D．无法确定
B
5
若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是( )
A．平行公理
B．等量代换
C．等式的性质
D．平行于同一条直线的两条直线互相平行
6
D
如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是____________，
理由是______________________________________________________________．
7
EF∥CD
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
如图，平面内有A，B，C三点，且三点不在同一条直线上，过这三点画两条平行线，这样的平行线能画几种？画图说明．
8
解：能画三种，如图所示．
【教材P35复习题T4改编】如图，
(1)过BC上一点P画AB的平行线交AC于T；
9
解：如图．
(2)过点C画MN∥AB；
解：如图．
(3)直线PT，MN具有何种位置关系？试说明理由．
解：PT∥MN，
理由如下：因为PT∥AB，
MN∥AB，
所以PT∥MN.
10
先阅读，然后解答．
问题：两条直线将平面分成几部分？
解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分；如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分．
(1)上面问题的解题过程应用了________的数学思想(填“转化”“分类”或“整体处理”)；
分类
(2) 三条直线将平面分成几部分？
解：如图，三条直线将平面分成四或六或七部分．(共14张PPT)
认识命题
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第5章 相交线与平行线
5.3.2
C
B
1
2
3
4
5
B
D
6
7
8
C
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D
下列语句是命题的是( )
A．延长线段AB到C
B．用量角器画∠AOB＝90°
C．同位角相等，两直线平行
D．任何数的平方都不小于0吗？
C
1
【2020·雅安】下列四个选项中不是命题的是( )
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c
2
B
3
B
下列语句：
①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③希望明天下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是( )
A．①②③
B．①②⑤
C．①②④⑤
D．①②④
【点拨】
③未对一件事情作出判断；④是作图的一个步骤．
命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是( )
A．平行
B．两条直线
C．同一条直线
D．两条直线平行于同一条直线
D
4
【教材P21练习T1变式】命题“如果a2＝b2，那么a＝b或a＋b＝0”的结论是( )
A．a2＝b2或a＝b
B．a2＝b2
C．a＝b或a＋b＝0
D．a2＝b2或a＋b＝0
C
5
把命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是( )
A．如果是同角，那么余角相等
B．如果两个角相等，那么这两个角是同一角的余角
C．如果是同角，那么相等
D．如果两个角是同一角的余角，那么这两个角相等
6
D
【点拨】
改写命题时，要先弄清命题的条件和结论，再将其改写成“如果……那么……”的形式，有些命题的条件和结论不明显，可将其适当变形．
下列语句哪些是命题？哪些不是命题？并说明理由．
(1)延长线段AB到点C，使BC＝AB.
(2)我们要支持雄安新区建设吗？
(3)在直线AB上任取一点C.
(4)同位角不相等，则两直线不平行．
7
解：(1)(2)(3)不是命题，它们不是对一件事情进行判断；(4)是命题，它是对一件事情进行判断．
如图，有四个条件：①AE＝AD，②AB＝AC，
③OB＝OC，④∠B＝∠C.请你写出一个以其中两个作为已知条件，另外两个中的一个作为结论的命题．
8
解：命题：如果①AE＝AD，②AB＝AC，那么④∠B＝∠C.(答案不唯一)(共34张PPT)
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
全章热门考点整合应用
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如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠COF＝35°，∠BOD＝60°，求∠EOF的度数．
1
【教材P7练习T2拓展】如图，点E在AB的延长线上，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
(1)∠A和∠D；
2
解：∠A和∠D是由直线AE，CD被直线AD所截形成的，它们是同旁内角．
(2)∠A和∠CBA；
(3)∠C和∠CBE.
∠C和∠CBE是由直线CD，AE被直线BC所截形成的，它们是内错角．
解：∠A和∠CBA是由直线AD，BC被直线AE所截形成的，它们是同旁内角．
3
如图，在方格纸中，有两条线段AB，BC.利用方格纸完成以下操作：
(1)过点A作BC的平行线AM；
(2)过点C作AB的平行线，与AM交于点D；
(3)过点B作AB的垂线BE.
解：如图．
【2020·淄博】如图，将三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为________．
1
4
【教材P21练习T1拓展】已知命题“如果两条射线是两条平行线被第三条直线所截得到的一对内错角的平分线，那么这两条射线互相平行”．
(1)写出命题的题设和结论；
5
解：题设：两条射线是两条平行线被第三条直线所截得到的一对内错角的平分线；结论：这两条射线互相平行．
(2)画出图形，并用数学符号叙述这个命题；
解：如图，如果AB∥CD，直线AB，CD被直线EF所截，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，那么EG∥FH.
(3)用推理证明的方法说明这个命题是真命题．
如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1)若∠1＝20°，∠2＝20°，则∠DON＝________；
(2)若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
6
90°
解：ON⊥CD.
理由：∵OM⊥AB，
∴∠1＋∠AOC＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＋∠AOC＝90°，
∴∠CON＝90°，
∴ON⊥CD.
如图，已知CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，猜想FG和BC的位置关系，并说明理由．
7
解：FG∥BC.理由如下：
∵CF⊥AB，ED⊥AB，∴CF∥DE，
∴∠1＝∠BCF.
又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCF.
∴FG∥BC.
【教材P5思考拓展】如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案：
方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；
8
方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道．
这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？(忽略河流的宽度)
解：按方案一铺设管道更节省材料．理由如下：
因为CE⊥AB，DF⊥AB，CD不垂直于AB，
所以根据“垂线段最短”可知，CE＜PC，DF＜PD，
所以CE＋DF＜PC＋PD.
所以按方案一铺设管道更节省材料．
【中考·武汉】如图，点A，B，C，D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF.
求证：∠E＝∠F.
9
证明：∵∠A＝∠1，
∴AE∥BF.∴∠E＝∠2.
∵CE∥DF，∴∠2＝∠F.
∴∠E＝∠F.
10
如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，求证：AB∥EF.
证明：如图，在∠BCD的内部作射线CM，使∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作射线DN，使∠EDN＝10°.
因为∠B＝25°，∠E＝10°，
所以∠BCM＝∠B＝25°，
∠EDN＝∠E＝10°.
所以AB∥CM，EF∥ND.
又因为∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，
所以∠DCM＝20°，∠CDN＝20°.
所以∠DCM＝∠CDN，
所以CM∥ND，
所以AB∥EF.
【点拨】
本题通过作辅助线构造“三线八角”的基本图形，从而对一些角进行拆分，由内错角相等得平行．
如图，已知AB∥CD，求证：∠B＋∠D＋∠BED＝360°.
11
证明：方法1：如图①，过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，∴∠2＋∠D＝180°.
∵EF∥AB，∴∠1＋∠B＝180°.
∴∠1＋∠B＋∠2＋∠D＝360°.
∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°.
方法2：如图②，过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，∴∠2＝∠D.
∵EF∥AB，∴∠1＝∠B.
∵∠1＋∠2＋∠BED＝360°，
∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°.
【点拨】
本题还有其他解法，如连接BD、延长DE交射线BA的反向延长线于点F等．
12
如图，AB∥CD，∠1：∠2：∠3＝1：2：3，判断BA是否平分∠EBF，并说明理由．
解：BA平分∠EBF.
理由如下：因为∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，
所以可设∠1＝k，
则∠2＝2k，∠3＝3k.
因为AB∥CD，所以∠2＋∠3＝180°，
即2k＋3k＝180°，解得k＝36°.
所以∠1＝36°，∠2＝72°，
则∠ABE＝180°－∠2－∠1＝72°.
所以∠2＝∠ABE，
即BA平分∠EBF.
【点拨】
当问题中角的数量关系出现倍数、比例时，可设未知数，通过方程解决问题．
13
如图，在五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝107°，∠ABC＝121°，求∠C的度数．
解：如图，过点B作BF∥AE交ED于点F.
∵BF∥AE，∠A＝107°，
∴∠ABF＝180°－107°＝73°.
又∵∠ABC＝121°，
∴∠FBC＝121°－73°＝48°.
∵AE∥CD，BF∥AE，∴BF∥CD.
∴∠C＝180°－∠FBC＝132°.
【点拨】
本题通过作辅助线构造基本图形，把问题转化为平行线的性质和判定的问题，从而建立起角之间的关系．(共26张PPT)
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
测素质
平行线的判定和性质
课题
集训课堂
C
D
1
2
3
4
5
D
D
6
7
8
B
答 案 呈 现
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9
A
10
D
B
11
12
20
2
180°
②③④
13
14
15
16
17
18
答 案 呈 现
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130°
115°
如果线段AB与线段CD没有交点，则( )
A．线段AB与线段CD一定平行
B．线段AB与线段CD一定不平行
C．线段AB与线段CD可能平行
D．以上说法都不正确
C
1
小明读了“子非鱼，安知鱼之乐？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案．由如图所示的图案通过平移后得到的图案是( )
2
D
3
D
已知∠AOB，P是任意一点，过点P画一条直线与OA平行，则这样的直线( )
A．有且仅有一条
B．有两条
C．不存在
D．有一条或不存在
下列句子中，是命题且是真命题的是( )
A．同位角相等
B．直线AB垂直于CD吗
C．若a2＝b2，则a＝b
D．同角的补角相等
D
4
下列语句：
①不相交的两条直线叫平行线；
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行；
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行；
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；
5
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B
如图，能判断AB∥CE的条件是( )
A．∠A＝∠ACE
B．∠A＝∠ECD
C．∠B＝∠BCA
D．∠B＝∠ACE
6
A
【2020·荆州】将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是( )
A．45°
B．55°
C．65°
D．75°
7
D
【2021·鄂尔多斯】一块含30°角的直角三角尺和直尺如图放置，若∠1＝146°33′，则∠2的度数为( )
A．64°27′
B．63°27′
C．64°33′
D．63°33′
8
B
【2021·泰州】如图，木棒AB，CD与EF分别在G，H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转________°.
9
20
10
如图，已知AB∥CD，则图中与∠1互补的角有________个．
2
如图，直线AB∥CD∥EF，则∠α＋∠β－∠ ＝________．
11
180°
12
【教材P36T8(1)变式】如图，点E在AC的延长线上，对于下列给出的四个条件：
①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；
③∠A＝∠DCE；④∠D＋∠ABD＝180°.
能判断AB∥CD的有________(填正确条件的序号)．
②③④
13
如图，已知a∥b，小华把含45°角的三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40°，则∠2的度数为________．
130°
14
【2021·成都青羊区月考】如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′＝50°，则∠EFC＝________.
115°
15
(10分)【教材P30习题T3改编】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，将三角形ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，画出平移后的三角形A1B1C1.
解：如图．
16
(10分)如图是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由．
解：OA∥BC，OB∥AC.理由：
∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2，∴OB∥AC，
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴OA∥BC.
17
(12分)如图，已知AB∥CD，CE，AE分别平分∠ACD，∠CAB，求∠1＋∠2的度数．
18
(12分)如图，若AD∥BC，∠A＝∠D.
(1)猜想∠C与∠ABC的数量关系，并说明理由；
解：∠C＝∠ABC.
理由：∵AD∥BC，
∴∠D＋∠C＝180°，
∠A＋∠ABC＝180°.
∵∠A＝∠D，∴∠C＝∠ABC.
(2)若CD∥BE，∠D＝50°，求∠EBC的度数．
解：∵CD∥BE，∴∠D＝∠AEB.
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠D.
又∵∠D＝50°，
∴∠EBC＝50°.(共26张PPT)
平移
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
5.4
B
D
1
2
3
4
5
A
3
6
7
8
12
答 案 呈 现
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9
D
10
C
B
11
12
B
64
13
14
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歌手站在升降台上上升的过程可以看成数学上的( )
A．对称
B．平移
C．转动
D．对折
B
1
【中考·乐山】下列四个图形中，可以由已知图形(如图)通过平移得到的是( )
2
D
3
A
【2020·上海】如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，是平移重合图形的是( )
A．平行四边形 B．等腰梯形
C．正六边形 D．圆
【2021·鞍山】如图，三角形ABC沿BC所在直线向右平移得到三角形DEF，已知EC＝2，BF＝8，则平移的距离为________．
3
4
【2020·青海】如图，将周长为8的三角形ABC沿BC边向右平移2个单位，得到三角形DEF，则四边形ABFD的周长为________．
12
5
如图，三角形ABC沿BC边所在的直线向右平移得到三角形DEF，下列结论中错误的是( )
A．AC∥DF
B．∠A＝∠D
C．AC＝DF
D．EC＝CF
6
D
如图，把三角形ABC沿BC方向平移，得到三角形A′B′C′，随着平移距离的不断增大，三角形A′CB的面积大小变化情况是( )
A．增大
B．减小
C．不变
D．无法确定
7
C
【点拨】
三角形A′CB的面积＝底BC×BC边上的高，连接AA′，∵AA′∥BC，∴BC边上的高不变，又∵底BC不变，∴面积不变．
如图所示，从图形B到图形A的变化过程中，下列描述正确的是( )
A．向上平移2格，向左平移4格
B．向上平移1格，向左平移4格
C．向上平移2格，向左平移5格
D．向上平移1格，向左平移5格
8
B
【教材P28思考改编】如图所示，将三角形ABC平移到三角形DEF的位置，则下列结论：
①AB∥DE，AD＝CF＝BE；
②∠ACB＝∠DEF；
③平移的方向是点C到点E的方向；
④平移的距离为线段BE的长．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9
B
【点拨】
①④正确．
10
如图，将三角形ABC沿着B到C的方向平移到三角形DEF的位置，AB＝10，BC＝20，DH＝4，平移距离是8，则阴影部分的面积是________.
64
【点拨】
图形的平移是整个图形都在移动，不是局部移动，即图形中所有点、线平移的距离都相同．本题利用平移的性质将阴影部分的面积转化为梯形ABEH的面积求解．
如图的4个小三角形都是等边三角形，边长为1 cm，你能通过平移三角形ABC得到其他三角形吗？若能，请说出平移的方向和距离．
11
解：将三角形ABC沿着射线BA的方向平移1 cm得到三角形FAE；将三角形ABC沿着射线BC的方向平移1 cm得到三角形ECD；将三角形ABC平移不能得到三角形AEC.
12
如图所示，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝33°，将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF.
(1)试求出∠E的度数；
解：∵在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝33°，
∴∠CBA＝180°－90°－33°＝57°.
由平移得∠E＝∠CBA＝57°.
(2)若AE＝9 cm，DB＝2 cm，请求出CF的长度．
13
【2021·哈尔滨节选】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的顶点均在小正方形的顶点上．请在方格纸中将三角形ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到三角形MNP(点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P)，请画出三角形MNP.
解：如图，三角形MNP为所作．
14
【教材P31习题T6拓展】(1)图①是将线段AB向右平移1个单位长度，图②是将线段AB折一下再向右平移1个单位长度，请在图③中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形，并给折线平移时扫过的面涂上阴影；
解：画图略．
(2)若长方形的长为a，宽为b，请分别写出三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积；
解：剩余部分的面积均为ab－b.
(3)如图④，在宽为10 m，长为18 m的长方形空地上修一条弯曲的小路，小路宽为1 m，求剩余空地的面积．
解：剩余空地的面积为
10×18－10×1＝170(m2)．(共18张PPT)
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
练素养
1.平行线的性质在求角的大小中的七大方法
课题
集训课堂
A
1
2
3
4
5
6
7
30
答 案 呈 现
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如图，DE∥BC，若∠1＝70°，求∠B的度数．
1
解：方法1：因为∠1＝70°，
所以∠EFB＝70°.
因为DE∥BC，所以∠B＝180°－∠EFB＝110°.
方法2：因为∠1＝70°，
所以∠AFE＝180°－∠1＝110°.
因为DE∥BC，所以∠B＝∠AFE＝110°.
【2021·宜昌】如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是( )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
2
A
3
【教材P25习题T14改编】如图，直线a∥b，AB⊥AC，若∠1＝50°，求∠2的度数．
解：∵AB⊥AC，
∴∠CAB＝90°.
∵∠1＝50°，
∴∠B＝90°－∠1＝40°，
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠B＝40°.
如图，已知∠MBA＋∠BAC＋∠NCA＝360°.
(1)求证：MD∥NE；
4
证明：过A作AF∥MD，如图，
则∠MBA＋∠BAF＝180°，
又∵∠MBA＋∠BAC＋∠NCA＝360°，
∴∠FAC＋∠NCA＝180°，
∴AF∥NE，∴MD∥NE.
(2)若∠ABD＝70°，∠ACE＝36°，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACE，求∠BPC的度数．
∴PQ∥NE，
∴∠QPC＝∠PCE＝18°，
∴∠BPC＝∠BPQ＋∠QPC＝53°.
【教材P8习题T8拓展】如图，直线AB，CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE.
(1)判断OF与OD的位置关系；
5
(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
解：设∠AOC＝x°，∵∠AOC：∠AOD＝1：5，
∴∠AOD＝5x°.
∵∠AOC＋∠AOD＝180°，
∴x＋5x＝180，解得x＝30.
∴∠DOE＝∠BOD＝∠AOC＝30°.
又∵∠FOD＝90°，
∴∠EOF＝∠FOD－∠DOE＝90°－30°＝60°.
【2020·黄冈】如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝________度．
6
30
图①是一张长方形的纸带，将这张纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③.
(1)若∠DEF＝20°，请你求出图③中∠CFE的度数；
7
解：∵长方形对边AD∥BC，
∴题图①中，CF∥DE，
∴题图①中，∠CFE＝180°－∠DEF＝180°－20°＝160°，∠BFE＝∠DEF＝20°，
∴题图②中，∠BFC＝160°－20°＝140°，
∵题图③中，∠CFE＋∠BFE＝∠BFC，
∴题图③中，∠CFE＋20°＝140°，
∴题图③中，∠CFE＝120°.
(2)若∠DEF＝α，请你直接用含α的式子表示图③中∠CFE的度数．
解：∠CFE＝180°－3α.(共15张PPT)
命题的分类
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
5.3.2
A
D
1
2
3
4
5
①②④
C
6
7
C
答 案 呈 现
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下列四个命题中，真命题是( )
A．同角的余角相等
B．相等的角是对顶角
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
A
1
【中考·大庆】如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，
真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2
D
【点拨】
如图．如果①②，那么③.
∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，∴BD∥CE. ∴∠ABD＝∠C.
又∵∠C＝∠D，∴∠ABD＝∠D，
∴AC∥DF，∴∠A＝∠F.
如果①③，那么②.∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，∴BD∥CE，∴∠D＝∠CEF.
又∵∠A＝∠F，∴AC∥DF，∴∠C＝∠CEF，
∴∠C＝∠D.
如果②③，那么①.∵∠A＝∠F，
∴AC∥DF，∴∠C＝∠CEF.
又∵∠C＝∠D，∴∠CEF＝∠D，
∴BD∥CE，∴∠1＝∠4.
又∵∠2＝∠4，∴∠1＝∠2.故选D.
3
①②④
【中考·庆阳】已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中真命题是________(填写所有真命题的序号)．
对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是( )
A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β>∠α
B．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α
C．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β<∠α
D．两个角互为邻补角
C
4
【2020·宜昌】能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是( )
C
5
(1)如图，若∠CDG＝∠B，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，试说明∠1＝∠2；
6
解：∵∠CDG＝∠B，∴DG∥AB，
∴∠1＝∠DAB.
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADB＝∠EFB＝90°，
∴EF∥AD，∴∠2＝∠DAB，
∴∠1＝∠2.
(2)如果把(1)中的“∠CDG＝∠B”与结论“∠1＝∠2”对调，所得的命题是否是真命题？请说明理由．
解：是真命题，理由如下：
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADB＝∠EFB＝90°，∴AD∥EF，
∴∠2＝∠DAB，
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DAB，
∴DG∥AB，∴∠CDG＝∠B.
【教材P24习题T12变式】判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例．
(1)两个锐角的和是锐角；
(2)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
7
解：假命题．反例：∠1＝70°，∠2＝80°，
但∠1＋∠2＝150°，不是锐角．(举反例不唯一)
解：真命题．
(3)如果a2＝b2，那么a＝b.
解：假命题．
反例：a＝2，b＝－2，有a2＝b2，但a≠b.(举反例不唯一)(共29张PPT)
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
测素质
相交线
课题
集训课堂
A
A
1
2
3
4
5
B
A
6
7
8
C
答 案 呈 现
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9
B
10
A
A
11
12
3
15
垂线段最短
50°；是
13
14
15
16
17
18
答 案 呈 现
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5.37
102°
∠1与∠2互为邻补角，则下列说法不一定正确的是( )
A．∠1>∠2
B．∠1＋∠2＝180°
C．∠1与∠2有一条公共边
D．∠1与∠2有一条边互为反向延长线
A
1
【教材P7习题T1变式】如图，∠1与∠2是对顶角的是( )
2
A
3
B
【2020·孝感】如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O.若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为( )
A．40° B．50°
C．60° D．140°
如图，已知AB⊥BC，垂足为B，AB＝3，点P是射线BC上的动点，则线段AP的长不可能是( )
A．2.5
B．3
C．4
D．5
A
4
下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是( )
C
5
下列图形中，∠1和∠2不是同旁内角的是( )
6
B
如图，已知直线a，b被线段AB所截，则其中属于内错角的是( )
A．∠2和∠3
B．∠1和∠3
C．∠1和∠4
D．∠2和∠4
7
A
【2021·洛阳第二外国语学校期末】下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是( )
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
8
A
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
图中与∠1构成同位角的有________个．
9
3
10
如图，当剪子口∠AOB增大15°时，∠COD增大________°.
15
【教材P5思考变式】【2020·吉林】如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是________________．
11
垂线段最短
12
如图，已知直线AB与CD相交于点O，且∠DOB＝∠ODB，若∠ODB＝50°，则∠AOC的度数为______；∠CAO________(填“是”或“不是”)∠AOC的同旁内角．
50°
是
13
【教材P9习题T10改编】如图是李晓松同学在运动会跳远比赛中最好的一跳，M，P为双脚留下的痕迹，甲、乙、丙三名同学分别测得PA＝5.52米，PB＝5.37米，MA＝5.60米，那么李晓松同学的跳远成绩应该为________米．
5.37
14
【教材P8习题T8改编】如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，∠EOF＝142°，∠BOD：∠BOF＝1：3，则∠AOF的度数为__________．
102°
【点拨】
根据垂直的定义，可得∠DOE＝90°，根据角的和差，可得∠DOF＝52°，根据角的倍分关系，可得∠BOF＝78°，根据∠BOF与∠AOF是邻补角，可得∠AOF＝102°.
15
(10分) 如图，直线AB，CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOD＝28°，求∠EOF的度数．
16
(10分)已知OA⊥OC，∠AOB：∠AOC＝2：3，求∠BOC的度数．
解：如图所示， 因为OA⊥OC，
所以∠AOC＝90°.
因为∠AOB：∠AOC＝2：3，
所以∠AOB＝60°.
因为∠AOB的位置有两种：
一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．
①当在∠AOC内时，∠BOC＝90°－60°＝30°；
②当在∠AOC外时，∠BOC＝90°＋60°＝150°.
故∠BOC的度数为30°或150°.
17
(12分)【教材P9习题T11变式】如图．
(1)在图中画出∠DAB的对顶角；
解：如图，∠GAH即为所求；
(2)写出∠1的同位角；
(3)写出∠C的同旁内角．
解：∠1的同位角是∠DAB；
∠C的同旁内角是∠B和∠ADC.
18
(12分)如图，直线AB与CD相交于O，OD是∠BOE的平分线，∠DOF＝90°.
(1)OF平分∠AOE吗？请说明理由．
解： OF平分∠AOE.
理由：因为OD是∠BOE的平分线，
所以∠BOD＝∠DOE.
又因为∠BOD＝∠AOC，
所以∠DOE＝∠AOC.
因为∠DOF＝90°，
所以∠COF＝∠DOF＝90°，
即∠AOC＋∠AOF＝∠DOE＋∠EOF.
所以∠AOF＝∠EOF，
所以OF平分∠AOE.
(2)直接写出∠DOE的补角．
解：图中和∠DOE互补的角有∠COE，∠BOC，∠AOD.
(3)若∠BOE＝58°，求∠AOD和∠EOF的度数．(共15张PPT)
定理与证明
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
5.3.3
B
D
1
2
3
4
5
A
C
6
7
C
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B
8
“两点之间线段最短”这一语句是( )
A．定理
B．基本事实
C．定义
D．假命题
B
1
命题“对顶角相等”是( )
A．角的定义
B．假命题
C．基本事实
D．定理
2
D
3
A
有下列命题：①真命题都是定理；
②定理都是真命题；③假命题不是命题；
④基本事实都是命题．
其中真命题有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．1个
下列关于证明的说法正确的是( )
A．证明是一种命题
B．证明是一种定理
C．证明是一种推理过程
D．证明就是举例说明
C
4
【教材P22练习T1改编】【2021·金华】某同学的作业如下框，其中※处填的依据是( )
C
5
A ．两直线平行，内错角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
命题、定理、基本事实的关系如下：
①基本事实是真命题；②定理是由定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6
B
【点拨】
真命题是正确的命题，不一定是基本事实或定理，故③④错误；只有①②正确，故选B.
(1)如图所示，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB；
7
解：∵DE∥BC，∴∠1＝∠2.
又∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.
∴CD∥FG. ∴∠BFG＝∠CDB.
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.
∴∠BFG＝90°，∴FG⊥AB.
(2)若把(1)中题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由；
解：是真命题．理由如下：
∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG.
∴∠2＝∠3.
又∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2.
∴DE∥BC.
(3)若把(1)中题设中的“∠1＝∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢？
解：是真命题．
理由如下：同(2)可得∠2＝∠3，
∵DE∥BC，∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠3.
【2021·武汉】如图，AB∥CD，∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F.
求证：∠DEF＝∠F.
8
证明：∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠B.
∵∠B＝∠D，
∴∠DCF＝∠D.
∴AD∥BC.
∴∠DEF＝∠F.(共13张PPT)
同位角、内错角、同旁内角
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
5.1.4
C
B
1
2
3
4
5
B
C
6
7
8
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D
【教材P7例2变式】【2021·百色】如图，与∠1是内错角的是( )
A．∠2
B．∠3
C．∠4
D．∠5
C
1
【2021·贺州】如图，下列两个角是同旁内角的是( )
A．∠1与∠2
B．∠1与∠3
C．∠1与∠4
D．∠2与∠4
2
B
3
B
同学们可仿照示意图用双手表示“三线八角”图形(两大拇指代表被截直线，食指代表截线)．下面三幅图依次表示( )
A．同位角、同旁内角、内错角
B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角
D．同位角、内错角、对顶角
如图，若∠1＝∠2，在①∠3和∠2；②∠4和∠2；③∠3和∠6；④∠4和∠8中相等的有( )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
C
4
如图，若∠2＝110°，则∠1的内错角等于________，∠1的同位角等于________，∠1的同旁内角等于________，∠1的内错角等于它的
________，因为它们是________角．
70°
5
70°
110°
同位角
对顶
【教材P9习题T11变式】如图，下列说法中不正确的是( )
A．∠1和∠2是同旁内角
B．∠1和∠ACE是内错角
C．∠B和∠4是同位角
D．∠3和∠1不是内错角
6
D
【点拨】
通过分离图形，把每一对角从复杂图形中分离出来，观察分离出的角的形状结构特征，按定义法加以区分．本题易对三种位置角的形状结构图理解不透而致错．
两条直线被第三条直线所截，∠1和∠2是同旁内角，∠3和∠2是内错角．
(1)根据上述条件，画出符合题意的示意图；
7
解：如图．
(2)若∠1＝3∠2，∠2＝3∠3，求∠1，∠2的度数．
解：因为∠1＝3∠2，∠2＝3∠3，
所以∠1＝9∠3.
又因为∠1＋∠3＝180°，
所以∠3＝18°.
所以∠1＝162°，∠2＝54°.
【教材P7练习T2拓展】如图，直线DE，BC被直线AB，AC所截．
(1)∠2与∠B是什么角？若∠1＝∠B，则∠2与∠B有何数量关系？请说明理由．
8
解：同旁内角．∠2＋∠B＝180°.
理由：因为∠1＋∠2＝180°，∠1＝∠B，
所以∠2＋∠B＝180°.
(2) ∠3与∠C是什么角？若∠4＋∠C＝180°，则∠3与∠C有何数量关系？请说明理由．
解：同位角．∠3＝∠C.
理由：因为∠4＋∠3＝180°，
∠4＋∠C＝180°，所以∠3＝∠C.(共18张PPT)
垂线的性质
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
5.1.2
C
D
1
2
3
4
5
D
6
7
8
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下列选项中，过点P画直线AB的垂线CD，三角尺放法正确的是( )
C
1
过线段外一点画这条线段的垂线，垂足在( )
A．这条线段上
B．这条线段的端点上
C．这条线段的延长线上
D．以上都有可能
2
D
3
(1)如图①，过点P画AB的垂线；
(2)如图②，过点P分别画OA，OB的垂线；
(3)如图③，过点A画BC的垂线．
解：如图所示．
【点拨】
先将三角尺的一条直角边靠在已知的直线上，再沿直线移动三角尺使得已知点恰好落在三角尺的另一条直角边上，最后过已知点画出已知直线的垂线．
【2020·河北】如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
D
4
【教材P9习题T12改编】如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合
(即O，M，N三点共线)，理由_________________________________________________________.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知
直线垂直
5
在同一平面内，若A，C是直线l上两点，B，D是直线l外两点，则过点A能画________条直线与l垂直；过点B能画____________条直线与l垂直；过C，D两点________________(填“能画”“不能画”或“不一定能画”)一条直线与已知直线垂直．
6
1
1
不一定能画
【点拨】
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．这里的“过一点”无论是指过直线上一点还是直线外一点，结论都成立，所以前两空均填1；第三个空填“不一定能画”，因为两点确定一条直线，要过C，D两点画直线，直线的位置就确定了，这条直线可能垂直于直线l，也可能不垂直于直线l.
【教材P8习题T7拓展】点P与∠A的位置关系如图．
(1)在图①、图②、图③中，以P为顶点作出∠P(0°＜∠P＜180°)，使∠P的两边所在的直线分别和∠A的两边垂直．
7
解：略
(2)量一量∠P和∠A的度数，分别写出∠P与∠A的数量关系．
在图①中，∠P＝________________；
在图②中，∠P＝________________；
在图③中，∠P＝________________．
∠A或180°－∠A
∠A或180°－∠A
∠A或180°－∠A
平面内两条直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF.
(1)如图①，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数．
8
(2)如图①，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数(用含x的式子表示)，并写出∠AOE和∠BOD的数量关系．
(3)如图②，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．
解：不变，∠AOE＝2∠BOD.
提示：设∠DOE＝∠COF＝∠AOC＝y°，则∠BOD＝(90－y)°，
∠AOE＝(180－2y)°＝2(90－y)°.(共15张PPT)
邻补角及其性质
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
5.1.1
D
B
1
2
3
4
5
D
60
6
7
D
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下列选项中，∠1与∠2互为邻补角的是( )
D
1
【教材P2探究改编】如图，∠1的邻补角是( )
A．∠BOC
B．∠BOE和∠AOF
C．∠AOF
D．∠BOE和∠AOF和∠DOF＋∠BOC
2
B
3
D
如图，直线AB，CD相交于点O，∠1＋∠2＝120°，∠3＝125°，则∠2的度数是( )
A．37.5°
B．75°
C．50°
D．65°
【点拨】
因为∠3＝125°，所以∠1＝180°－125°＝55°，因为∠1＋∠2＝120°，所以∠2＝120°－55°＝65°，故选D.
【2021·益阳】如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，
则∠AOD＝________度．
60
4
如图，点O是直线AB上的任意一点，OC，OD，OE是过点O的三条射线，若∠AOD＝∠COE＝90°，则下列说法：①与∠AOC互为邻补角的角只有一个；②与∠AOC互为补角的角只有一个；③与∠AOC互为邻补角的角有两个；④与∠AOC互为补角的角有两个．其中正确的是( )
A．②③ B．①②
C．③④ D．①④
D
5
【点拨】
邻补角既包含数量关系，又包含位置关系；补角仅包含数量关系．本题容易因对邻补角与补角区分不清而出错．
【教材P8习题T2变式】如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.
(1)图中∠BOD的邻补角为________，∠AOE的邻补角为________；
6
∠AOD
∠BOE
(2)①如果∠COD＝25°，求∠BOE的度数；
②如果∠COD＝60°，求∠BOE的度数．
【教材P3例1拓展】如图，直线AB，CD相交于点O，∠2－∠1＝15°，∠3＝130°.
(1)求∠2的度数；
7
解：因为∠1＋∠3＝180°，∠3＝130°，
所以∠1＝180°－∠3＝180°－130°＝50°.
因为∠2－∠1＝15°，
所以∠2＝15°＋∠1＝15°＋50°＝65°.
(2)试说明OE平分∠COB.
解：因为∠1＋∠COE＋∠2＝180°，
∠1＝50°，∠2＝65°，
所以∠COE＝65°.所以∠COE＝∠2.
所以OE平分∠COB.(共17张PPT)
垂线段的性质
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
5.1.3
C
C
1
2
3
4
5
A
B
6
7
8
D
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D
如图，下列说法不正确的是( )
A．点B到AC的垂线段是线段AB
B．点C到AB的垂线段是线段AC
C．线段AD是点D到BC的垂线段
D．线段BD是点B到AD的垂线段
C
1
【2021·杭州】如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接PT，则( )
A．PT≥2PQ
B．PT≤2PQ
C．PT≥PQ
D．PT≤PQ
2
C
3
A
【2021·台州改编】小光准备从A地去往B地，打开导航，显示两地距离为37.7 km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45 km，50 km，51 km(如图)．能解释这一现象的数学知识是( )
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条线段
D．两点确定一条直线
【教材P5探究变式】【中考·北京】如图，若BP⊥l，则点P到直线l的距离是( )
A．线段PA的长度
B．线段PB的长度
C．线段PC的长度
D．线段PD的长度
B
4
【教材P6练习拓展】【中考·淄博】如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线的距离的线段共有( )
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
D
5
【点拨】
利用点到直线的距离的定义分析，可得线段AB的长是点B到AC的距离，线段CA的长是点C到AB的距离，线段AD的长是点A到BC的距离，线段BD的长是点B到AD的距离，线段CD的长是点C到AD的距离，故选D.
点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，
PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线m的距离( )
A．等于4 cm
B．等于2 cm
C．小于2 cm
D．不大于2 cm
6
D
错解：B
诊断：点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长度．虽然垂线段最短，但是本题中并没有说明PC是垂线段，所以垂线段的长度可能小于2 cm，也可能等于2 cm.
正解：D
【教材P5思考拓展】如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄的距离之和最小；
7
解：如图，连接AD，BC，交于点H，则H点为蓄水池的位置，它到四个村庄的距离之和最小．
(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？并说明根据．
解：如图，过点H作HG⊥EF，垂足为G，则沿HG开渠最短．根据：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
【点拨】
本题考查了垂线段的性质在实际生活中的应用．体现了建模思想的运用．
噪音对环境的影响与距离有关，与噪音来源距离越近噪音越大．如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由点A向点B行驶，M是位于AB一侧的某所学校．通过画图完成下列问题，并说明理由．
(1)汽车行驶到什么位置时，学校M受噪音影响最严重？
8
解：如图，根据“垂线段最短”，过点M作AB的垂线，垂足为P，所以汽车行驶到P点时，学校M受噪音影响最严重．
(2)在什么范围内，学校M受噪音影响越来越大？在什么范围内，学校M受噪音影响越来越小？
解：如图，由(1)可知，汽车行驶在AP段时，学校M受噪音影响越来越大；汽车行驶在PB段时，学校M受噪音影响越来越小．(共30张PPT)
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
练素养
2.平行线中常见作辅助线的两技巧九类型
课题
集训课堂
B
1
2
3
4
5
A
6
7
8
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9
10
如图，∠E＝∠B＋∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由．
1
解：AB∥CD.理由如下：
如图，连接BD.
在三角形BDE中，∠1＋∠2＋∠E＝180°.
∵∠E＝∠3＋∠4，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
即∠ABD＋∠CDB＝180°.
∴AB∥CD.
【点拨】
本题可通过连接B，D两点构造截线BD，进而利用平行线的判定说明AB∥CD.
【2020·常德】如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，
∠2＝35°，则∠BCE的度数为( )
A．70°
B．65°
C．35°
D．5°
2
B
3
如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知
∠2＝28°，∠BPC＝58°.求∠1的度数．
解：方法1：过点P作射线PN∥AB，如图①所示．
∵PN∥AB，AB∥CD，
∴PN∥CD.
∴∠4＝∠2＝28°.
∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.
∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°，
∴∠1＝30°.
方法2：过点P作射线PM∥AB，如图②所示．
∵PM∥AB，AB∥CD，∴PM∥CD.
∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.
∵∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，
∴∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°.
∵AB∥PM，
∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.
【2021·随州】如图，将一块含有60°角的直角三角尺放置在两条平行线上，若∠1＝45°，则∠2为( )
A．15°
B．25°
C．35°
D．45°
A
4
(1)如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，求∠BCD的度数．
5
解：如图，过C点作CF∥AB，
∴∠B＋∠BCF＝180°.
∵AB∥DE，∴CF∥DE.
∴∠FCD＋∠D＝180°.
∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，
即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
∴∠BCD＝360°－∠B－∠D＝
360°－135°－145°＝80°.
(2)如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由．
解：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
理由：如图，过C点作CF∥AB，
∴∠B＋∠BCF＝180°.
又∵AB∥DE，∴CF∥DE.
∴∠FCD＋∠D＝180°.
∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，
即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
(3)如图②，AB∥EF，根据(2)中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
解：∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.
(1)如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；
6
解：如图，过E点向左侧作EF∥AB，
∴∠B＋∠BEF＝180°.
∵∠B＝130°，∴∠BEF＝180°－∠B＝50°.
∵AB∥CD，且EF∥AB，∴EF∥CD.
∴∠FEC＝∠C.
又∵∠C＝30°，∴∠FEC＝30°.
∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.
(2)如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系．试说明理由．
解：∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
理由如下：如图，过E点向左侧作EF∥AB，
又∵AB∥CD，∴EF∥CD.
∴∠FEC＝∠C.
又∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC，
∴∠BEF＝∠BEC－∠C.
∵AB∥EF，∴∠B＋∠BEF＝180°.
∴∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
7
解：∠BCD＝∠B－∠D.理由如下：
如图，过点C作CF∥AB，∴∠B＝∠BCF.
∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE.
∴∠DCF＝∠D.
∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.
∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，
∴∠BCD＝∠B－∠D.
如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°.求∠ABC的度数．
8
解：如图，过点C作CF∥AB.
∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF.
∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°.
∴∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.
∵AB∥CF，
∴∠ABC＝∠BCF＝72°.
如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线．
(1)求证：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.
9
证明：如图①，过O向左作OM∥AB，
∴∠1＝∠BEO.
又∵AB∥CD，∴OM∥CD.
∴∠2＝∠DFO.
∴∠1＋∠2＝∠BEO＋∠DFO，
即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.
(2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？给出理由．
解：∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.
理由：过O向左作OM∥AB，过P向右作PN∥CD，如图②所示．
∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD.
∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC.
∴∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4.
∴∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.
10
如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°.求∠BED的度数．
解：如图，过点F作FG∥AB，
∴∠BFG＝∠ABF.
又∵AB∥CD，∴FG∥CD.
∴∠CDF＝∠DFG.
∴∠ABF＋∠CDF＝∠BFG＋∠DFG＝∠BFD＝120°.
∵BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，(共15张PPT)
用“内错角相等”或“同旁内角互补”判定两直线平行
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
5.2.2
B
D
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B
6
7
8
B
答 案 呈 现
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D
下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是( )
B
1
【2021·铜仁】直线AB，BC，CD，EG如图，∠1＝∠2＝80°，∠3＝40°，则下列结论错误的是( )
A．AB∥CD
B．∠EFB＝40°
C．∠FCG＋∠3＝∠2
D．EF>BE
2
D
3
已知
已知：如图，AB⊥BC，CD⊥BC，∠1＝∠2，BE与CF平行吗？请说明理由．
补全下面的说理过程，并在括号内填上适当的理由．
解：BE∥CF.
理由如下：
∵AB⊥BC，CD⊥BC(________)，
∴∠ABC＝∠BCD＝________°(垂直的定义)．
∵∠1＝∠2(_________)，
90
已知
等角的余角相等
∴∠EBC＝∠FCB(__________________)．
∴BE∥CF(____________________________)．
内错角相等，两直线平行
【教材P36复习题T8(1)变式】如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判定AB∥CD的是( )
A．∠1＋∠2＝180°
B．∠C＋∠ABC＝180°
C．∠3＝∠4
D．∠A＋∠ABC＝180°
B
4
如图，下列条件不能判定AB∥CD的是( )
A．∠1＝∠2
B．∠2＝∠E
C．∠B＋∠E＝180°
D．∠BAF＝∠C
B
5
【2020·郴州】如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是( )
A．∠1＝∠3
B．∠2＋∠4＝180°
C．∠4＝∠5
D．∠1＝∠2
6
D
【点拨】
在运用同位角、内错角、同旁内角判定直线平行时，一定要搞清楚这一对角是由哪两条直线被哪一条直线所截而形成的．
【教材P37复习题T13变式】在下面的括号内填上理由．
已知：如图，直线NF与直线HB，CD分别交于点E，F，直线AM与直线HB交于点A，且∠1＝∠4＝105°，
∠2＝75°.试说明AM∥NF，AB∥CD.
解：∵∠2＝∠3(____________)，
∠2＝75°(已知)，
∴∠3＝75°.
7
对顶角相等
∵∠1＝105°(已知)，
∴∠MAB＝180°－∠1＝75°.
∴∠MAB＝∠3.
∴AM∥NF(______________________)．
∵∠3＝75°，∠4＝105°，
∴∠3＋∠4＝180°.
∴AB∥CD(__________________________)．
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1＋∠2＝90°，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
8
解：AB∥CD.理由如下：
因为BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∠1＋∠2＝90°，
所以
∠ABD＋∠BDC＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)＝180°.
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【点拨】
利用整体思想，将∠1＋∠2＝90°看成一个整体，求得∠ABD＋∠CDB＝180°，再由同旁内角互补，两直线平行，判断AB∥CD.(共15张PPT)
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
练素养
判定两直线平行的六种方法
课题
集训课堂
C
1
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3
4
5
6
答 案 呈 现
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下面几种说法中，正确的是( )
A．同一平面内不相交的两条线段平行
B．同一平面内不相交的两条射线平行
C．同一平面内不相交的两条直线平行
D．以上三种说法都不正确
C
1
【点拨】
根据定义判定两直线平行，一定要注意前提是“同一平面内”，同时要注意在同一平面内，不相交的两条线段或两条射线不一定平行．
用一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F.试说明CF∥AB.
2
3
如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，试说明BE∥CF.
解：因为∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，
所以∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2，即∠EBC＝∠FCB，
所以BE∥CF(内错角相等，两直线平行)．
如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则AB与CD平行吗？请说明理由．
4
解：AB∥CD，理由如下：
如图，延长BE，交CD于点F，则直线CD，AB被直线BF所截．
因为∠BEC＝95°，
所以∠CEF＝180°－95°＝85°.
又因为∠DCE＝35°，
所以∠BFC＝180°－∠DCE－∠CEF＝180°－35°－85°＝60°.
又因为∠ABE＝120°(已知)，
所以∠ABE＋∠BFC＝180°.
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【点拨】
本题利用现有条件无法直接判断AB与CD是否平行，我们可考虑作一条辅助线，架起沟通AB与CD之间的桥梁．
【教材P16习题T7变式】如图，∠1＋∠B＝180°，
∠2＝∠D，AD与EF平行吗？为什么？
5
解：AD∥EF.
理由如下：因为∠2＝∠D，
所以AD∥BC.
又因为∠1＋∠B＝180°，
所以EF∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．
所以AD∥EF(平行公理的推论)．
如图，AB⊥EF于B，CD⊥EF于D，∠1＝∠2.
(1)试说明AB∥CD；
6
解：∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴AB∥CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)．
(2)试问BM与DN是否平行？为什么？
解：BM∥DN.理由如下：
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2(等式的性质)．
即∠MBE＝∠NDE，
∴BM∥DN(同位角相等，两直线平行)．
【点拨】
∠1和∠2不是同位角，不能误认为∠1和∠2是同位角，直接得出BM∥DN，要得到BM∥DN，可说明∠MBE＝∠NDE.(共14张PPT)
平行线的判定和性质的应用
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
5.3.1
D
B
1
2
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4
5
C
D
6
7
8
A
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9
D
B
【2021·齐齐哈尔】一把直尺与一块三角尺如图放置，若∠1＝47°，则∠2的度数为( )
A．43°
B．47°
C．133°
D．137°
D
1
【2021·聊城】如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为( )
A．95°
B．105°
C．110°
D．115°
2
B
3
C
【2021·娄底】如图，AB∥CD，点E，F在AC上，已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B＋∠D的度数为( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
如图，若∠A＋∠ABC＝180°，则下列结论正确的是( )
A．∠1＝∠2
B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3
D．∠2＝∠4
D
4
【2020·南通】如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，
∠E＝18°，则∠C的度数是( )
A．36°
B．34°
C．32°
D．30°
A
5
【点拨】
如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD.
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠A＝54°.
∴∠CEF＝∠AEF－∠AEC＝54°－18°＝36°.
又∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF＝36°.
【2021·东营】如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠BEF＝150°，则∠ABE＝( )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
6
C
【2021·荆州】阅读下列材料，①～④步中数学依据错误的是( )
A ． ① B．② C．③ D．④
7
B
如图，已知AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠3.AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．
8
解：AD是∠BAC的平分线．理由如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴EG∥AD.
∴∠3＝∠1，∠E＝∠2.
又∵∠E＝∠3，
∴∠1＝∠2，
即AD是∠BAC的平分线．
【2021·武汉】如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN.试说明AB∥CD.
9
解：∵EM∥FN，
∴∠FEM＝∠EFN.
∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠BEF＝2∠FEM，∠CFE＝2∠EFN.
∴∠FEB＝∠EFC.
∴AB∥CD.(共16张PPT)
对顶角及其性质
人教版 七年级下
第5章 相交线与平行线
5.1.1
C
1
2
3
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5
C
A
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8
D
答 案 呈 现
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9
对顶角相等
40或75
【教材P7习题T1变式】下列图形中，∠1和∠2不是对顶角的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
1
【教材P8习题T2变式】如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠BOD内的一条射线．
(1)∠DOE的邻补角是________，∠AOD的邻补角是____________________；
2
∠COE
∠BOD和∠AOC
(2)写出图中的对顶角．
解：对顶角有∠AOD和∠BOC，∠AOC和∠BOD.
3
C
【2021·桂林】如图，直线a，b相交于点O，∠1＝110°，则∠2的度数是( )
A．70°
B．90°
C．110°
D．130°
【2020·安顺】如图，直线a，b相交于点O，如果
∠1＋∠2＝60°，那么∠3是( )
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
A
4
如图，三条直线交于一点，则∠1＋∠2＋∠3等于( )
A．120°
B．150°
C．240°
D．180°
D
5
【教材P9习题T9变式】如图，一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，测量的根据是____________．
6
对顶角相等
两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是
(x－20)°和(3x－100)°，则x＝________．
7
40或75
【点拨】
两条直线相交所成的四个角中，位置关系有相邻和相对两种，本题易考虑不全而漏解．
【教材P8习题T8变式】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°.
(1)若∠BOE＝70°，求∠AOF的度数；
8
解：因为OE平分∠BOC，∠BOE＝70°，
所以∠BOC＝2∠BOE＝140°.
所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－140°＝40°.
又因为∠COF＝90°，
所以∠AOF＝90°－∠AOC＝90°－40°＝50°.
(2)若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠AOF的度数．
观察下列各图，寻找对顶角(不含平角)、邻补角．
(1)如图①，共有____对对顶角，____对邻补角；
(2)如图②，共有____对对顶角，____对邻补角；
(3)如图③，共有____对对顶角，____对邻补角；
9
2
4
6
12
12
24
(4)根据(1)～(3)小题中直线条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有n条直线相交于一点，则有多少对对顶角，多少对邻补角？
解：有n(n－1)对对顶角，2n(n－1)对邻补角．
【点拨】
解本题时，先从题图①②③中分解出基本图形(对顶角、邻补角)，再进行计数，然后探究直线条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系得出结论，并解决问题．
