2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形 同步达标测评（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图点A（x，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝，则tanα的为（　　）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么下列锐角三角函数的值与的值不相等的是（　　）
A．sinB B．cosA C．cos∠BCD D．cos∠ACD
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD是BC边上的高，则下列选项中不能表示tanB的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，点A为∠B边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示tanB的值，错误的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tan∠BOD的值是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cosα＝，则点P的坐标为（　　）
A．（5，13） B．（5，12） C．（13，5） D．（12，5）
7．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD＝（　　）
A． B．3 C． D．2
8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sinB＝，点D在边AB上，若AD＝AC，则tan∠BCD的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（　　）
A．2 B． C． D．
10．如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，AB⊥AD，CA＝CD．若tan∠BAC＝．则tan∠DBC的值是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝13，则△ABC的面积为　 　．
12．在由边长为1的小正方形所组成的网格中，△ABC如图放置，则sinA＝　 　．
13．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，则sinB＝　 　．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，若斜边上的高CD＝2，则AC＝　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，DE⊥AB，CD＝DE，AC＝12，则BD＝　 　．
16．如图，在△ABC中，过点A作AD⊥AB交BC于点D，点D是BC的中点，AB＝3，AD＝4，则tan∠CAD的值为 　 　．
17．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝40°，∠E＝140°，AB＝EF＝5，BC＝DE＝8，则两个三角形面积的大小关系为：S△ABC　 　S△DEF．（填“＞“或“＝”或“＜“）．
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是　 　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
19．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．
（1）求BE的长；
（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求∠EBD的正弦值；
（2）求AD的长．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，BC＝25．AD是BC边上的高，点E在边AC上，EF⊥BC于点F．
（1）求证：sinB＝sin∠CEF．
（2）若AE＝5，求证：△ABD≌△CEF．
22．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠ACB的值．
23．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，延长边BA至点D，使AD＝AC，联结CD．
（1）求∠D的正切值；
（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值．
24．在△ABC中，AD是边BC上的高，点D在线段BC上，且有tan∠BAD+tan∠CAD＝，BC＝5，AC＝．
（Ⅰ）求线段AD的长；
（Ⅱ）求cosB×sinC；
（Ⅲ）求△ABC中AB上的中线长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：过A作AB⊥x轴于B，则∠ABO＝90°，
∵cosα＝＝，
设OB＝3x，则OA＝5x，
∵A（x，4），
∴AB＝4，
由勾股定理得：AB2+OB2＝OA2，
42+（3x）2＝（5x）2，
解得：x＝1（负数舍去），
即OB＝3，
∴tanα＝＝，
故选：A．
2．解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，
∴∠B+∠BCD＝90°，∠A+∠ACD＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°．
∴∠B＝∠ACD，∠A＝∠BCD．
在Rt△BCD中，sin∠B＝cos∠BCD＝．
∵∠A＝∠BCD，
∴cos∠A＝cos∠BCD＝．
综上可知：A，B，C均不符合题意．
故选：D．
3．解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD是BC边上的高，
∴△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，
又∵∠C+∠B＝90°，∠C+∠DAC＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
在Rt△ABC中，tanB＝，故A可以表示；
在Rt△ABD中，tanB＝，故B可以表示；
在Rt△ADCz中，tanB＝tan∠DAC＝，故C可以表示；
D不能表示tanB；
故选：D．
4．解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠CDB＝∠CDA＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
在Rt△BCD中，tanB＝，故A选项正确；
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，
∴tanB＝，故B选项正确；
在Rt△ABC中，tanB＝，故C选项正确；
在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，故D选项错误．
故选：D．
5．解：如图，连接格点CE，则△DCE是直角三角形．
∵AB∥CE，
∴∠DCE＝∠DOB．
在Rt△DCE中，
∵DE＝3，CE＝4，
∴tan∠DOB＝tan∠DCE＝＝．
故选：B．
6．解：如图，过点P作PE⊥x轴于点E．
设点P的坐标为（x，y），
则OE＝x，PE＝y．
在Rt△OPE中，
∵cosα＝＝，OP＝13，
∴OE＝5．
∴PE＝＝12．
∴P点的坐标为（5，12）．
故选：B．
7．解：设小正方形的边长为1，
由图形可知，，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD⊥DC．
∵AC∥BD，
∴，
∴PC＝2DP，
∴AD＝DC＝3DP，
∴．
故选：B．
8．解：如图，作DH⊥BC于H．
∵∠A＝90°，sinB＝＝，
∴可以假设AC＝3k，BC＝5k，则AB＝4k，
∵AC＝AD＝3k，
∴BD＝k，
∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠A＝90°，
∴△BHD∽△BAC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DH＝k，BH＝k，
∵CH＝BC﹣BH＝5k﹣k＝k，
∴tan∠BCD＝＝＝，
故选：C．
9．解：延长AD、BC，两线交于O，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，
由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：D．
10．解：∵tan∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴设BC＝1，则AC＝，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝60°，
∵CA＝CD，
∴△CAD为等边三角形，
过点D作DE⊥CA，交CA于点E，设CA与BD交于点F，如图，
则有：CE＝AC＝，DE＝AD sin60°＝×＝，
设CF＝x，则EF＝﹣x，
∵AC⊥BC，DE⊥CA，
∴DE∥BC，
∴∠DBC＝∠FDE，
∴tan∠DBC＝tan∠FDE，
∴＝
∴＝，
解得：x＝，
∴tan∠DBC＝＝．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：如图，
∵sinA＝，AB＝13，
∴，
∴BC＝12，AC＝＝5，
∴S△ABC＝＝．
故答案为：30．
12．解：如下图所示：
AC＝＝2，CD＝2，
在Rt△ACD中，sinA＝＝＝，
故答案为：．
13．解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝6，
∴AD＝＝＝2，
∴sinB＝＝＝，
故答案为：．
14．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°．
∴∠ACD＝∠B．
∵sinB＝，
∴sin∠ACD＝．
∵sin∠BCD＝．
∴＝．
设AD＝a，则AC＝3a．
．
∵CD＝2，
∴2．
∴a＝．
∴AC＝．
故答案为：．
15．解：∵sinB＝＝，∠ACB＝90°，AC＝12，
∴AB＝20，
∴BC＝＝16，
∵CD＝DE，
∴DE＝BC﹣BD，
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∵sinB＝，
∴＝＝，
∴BD＝10，
故答案为：10．
16．解：如图，过点C作CE⊥AD延长线于点E，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝∠E＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AD＝ED＝4，AB＝CE＝3，
∴AE＝AD+DE＝8，
在Rt△ACE中，tan∠CAD＝＝．
故答案为：．
17．接：过点D作DH⊥EF，交FE的延长线于点H，
∵∠DEF＝140°，
∴∠DEH＝40°．
∴DH＝sin∠DEH×DE＝8×sin40°，
∴S△DEF＝EF×DH＝20×sin40°
过点A作AG⊥BC，垂足为G．
∵AG＝sin∠B×AB＝5×sin40°，
∴S△ABC＝BC×AG＝20×sin40°
∴S△DEF＝S△ABC
故答案为：＝
18．解：如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵AB＝12，∠H＝90°，
∴BH＝AB cos60°＝6，AH＝AB sin60°＝6，
∵EF⊥DF，DE＝5，
∴sin∠ADE＝＝，
∴EF＝4，
∴DF＝＝＝3，
∵S△CDE＝6，
∴ CD EF＝6，
∴CD＝3，
∴CF＝CD+DF＝6，
∵tanC＝＝，
∴＝，
∴CH＝9，
∴BC＝CH﹣BH＝9﹣6．
故答案为：9﹣6．
三．解答题（共6小题，满分50分）
19．解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°．
在Rt△BED中，
∵cos∠ABC＝，
∴BE＝cos45° 3＝ 3＝3．
（2）∵∠ABC＝45°，∠BED＝90°．
∴∠EDB＝45°．
∴BE＝DE＝3．
∵sin∠DAB＝＝，
∴AD＝5．
∴AE＝＝4．
∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．
∴S△ABD＝AB DE＝．
∵AD是BC边上的中线，
∴S△ADC＝S△ABD＝．
20．解：（1）∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝∠EDB，
又∵在Rt△EDB中，∠EDB+∠EBD＝90°，在Rt△ABC中，∠CAD+∠ABC＝90°，
∴∠EBD＝∠ABC，
∴sin∠EBD＝sin∠ABC＝；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：
在Rt△ACB中，cos∠CAB＝＝sin∠ABC＝，
∴在Rt△AFC中，cos∠CAF＝＝＝，
∴AF＝1，
又∵△CAD为等腰三角形，CF⊥AD，
∴AD＝2AF＝2．
21．解：（1）∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠CFE＝90°，
∴AD∥EF，
∴∠CEF＝∠CAD，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD＝∠CEF，
∴sinB＝sin∠CEF；
（2）∵AB＝15，BC＝25，
在Rt△ABC中，AC＝＝20，
∴CE＝AC﹣AE＝15，
在△ABD和△CEF中，
，
∴△ABD≌△CEF（AAS）．
22．解：（1）∵AD是BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵sinB＝，AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD＝，
∵BC＝14，
∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；
（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，
∴tan∠ACB＝＝．
23．解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACG＝∠B，
在△ABC中，sinB＝，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，
∴sin∠ACG＝＝＝sinB，
∴AG＝x，CG＝x，
∴DG＝DA+AG＝3x+x＝x，
在Rt△DCG中，tan∠D＝＝；
（2）过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF，
又有E是AC的中点，可证△CHE≌△ABE，
∴HC＝AB＝5x，
由△CHF∽△DBF得：＝＝＝．
24．解：（Ⅰ）如图1所示：
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴tan∠BAD+tan∠CAD＝+＝＝，
∵BC＝5，
∴AD＝3；
（Ⅱ）∵AD⊥BC，AD＝3，AC＝．
∴sinC＝＝＝，CD＝＝＝1，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵cosB＝＝，
∴cosB×sinC＝×＝；
（Ⅲ）CE为△ABC中AB上的中线，作CF⊥AB于F，如图2所示：
∵△ABC的面积＝AB×CF＝BC×AD，AB＝BC＝5，
∴CF＝AD＝3，AF＝＝1，
∵CE是△ABC中AB上的中线，
∴AE＝AB＝，
∴EF＝AE﹣AF＝，
∴CE＝＝＝，
即△ABC中AB上的中线长为．