2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形 同步达标测评（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步达标训练（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinA＝，则BC的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．2
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AB＝2，则∠B等于（　　）
A．15° B．20° C．30° D．60°
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AC＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则BC等于（　　）
A．1 B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan∠DAC的值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为（　　）
A． B． C． D．4
7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（　　）
A．2 B． C． D．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（　　）
A． B． C．6 D．8
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝，AC＝3，则sin∠ACD＝（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长度为（　　）
A．2 B．8 C． D．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sin∠ABC＝（　　）
A． B． C． D．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝10，则AB＝　 　．
13．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝，∠B＝45°，则BC的长　 　．
14．在△ABC中，若AB＝AC＝5，BC＝8，则sinB＝　 　．
15．已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为 　 　．
16．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2，则BC的长为　 　．
17．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，那么AC＝　 　．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝　 　．
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，，则AC的长是　 　．
20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与AB，BC分别交于点E和点D，且BD＝2AC．
（1）求∠B的度数；
（2）求tan∠BAC的值．（结果保留根号）
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，若sin∠CAD＝，BC＝25，求AC的长．
参考答案
1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinA＝，
则sinA＝＝，即＝，
解得，BC＝2，
故选：A．
2．解：∵∠C＝90°，BC＝，AB＝2，
∴cosB＝＝，
∴∠B＝30°，
故选：C．
3．解：如图，
在Rt△ACB中，∵sinA＝，
∴，
∴AB＝5，
∴AC＝＝3．
故选：A．
4．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△ACD中，
∵∠A＝30°，AC＝，
∴CD＝AC＝．
在Rt△BCD中，
∵sin45°＝＝，
∴BC＝1．
∴故选：A．
5．解：设AC＝a，
∵∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2a，
∵tan∠ABC＝＝，
∴BC＝AC＝a，
∵AB＝BD＝2a，
∴CD＝BC+BD＝（2+）a，
∴tan∠DAC＝＝＝2+．
故选：C．
6．解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，
∴AB＝，
∴，
∵∠DBC＝∠A．
∴cos∠DBC＝cos∠A＝，
∴，
故选：C．
7．解：延长AD、BC，两线交于O，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，
由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：D．
8．解：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝180°﹣120°＝60°，
∴AE＝AC cos60°＝4，EC＝AC sin60°＝4，
∵AB＝4，
∴BE＝AB+AE＝8，
∴BC＝＝＝4，
故选：B．
9．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝4，∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD是斜边AB上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝，
故选：C．
10．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，
∴tanA＝＝＝，
∴BC＝2．
故选：A．
11．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴sin∠ABC＝＝，
故选：B．
12．解：由cos∠A＝，得AB＝＝＝＝，
故答案为：．
13．解：作AD⊥AB于点D，在直角△ABD中，∠B＝45°，则△ABD是等腰直角三角形，则BD＝AD＝AB×＝，
在Rt△ADC中，CD＝＝＝1
当∠C是锐角时如图1，BC＝BD+CD＝+1，
当∠ACB是钝角时，BC＝BD﹣CD＝﹣1．
故答案是：±1．
14．解：作AD⊥BC于D，如图，
BD＝BC＝4，
由勾股定理，得
AD＝＝3．
由正弦函数，得
sinB＝＝，
故答案为：．
15．解：过点B作AC边的高BD，
Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝4，
∴BD＝AD＝4，
在Rt△BDC中，BC＝4，
∴CD＝＝5，
①△ABC是钝角三角形时，
AC＝AD﹣CD＝1，
∴S△ABC＝AC BD＝＝2；
②△ABC是锐角三角形时，
AC＝AD+CD＝7，
∴S△ABC＝AC BD＝×7×4＝14，
故答案为：2或14．
16．解：∵∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2，
∴AC＝2AB＝4，
由勾股定理得：BC＝＝2，
故答案为：2．
17．解：在Rt△ABC中，
∵sinA＝＝＝，
∴AB＝6，
∴根据勾股定理，得AC＝2．
18．解：∵sinB＝＝＝，
∴∠B＝60°，
故答案为：60°．
19．解：设CD＝x，则AC＝＝x，
∵AC2+BC2＝AB2，AC2+（CD+BD）2＝AB2，
∴（ x）2+（x+2）2＝（2 ）2，
解得，x＝1，∴AC＝．
故答案为．
20．解：连接AD，如图：
∵AB的垂直平分线与AB，BC分别交于点E和点D，
∴AD＝BD，∠B＝∠DAB，
∵BD＝2AC，
∴AD＝2AC，
又∠C＝90°，
∴sin∠ADC＝＝，
∴∠ADC＝30°，
而∠ADC＝∠B+∠DAB，
∴∠B＝15°；
（2）设AC＝m，则AD＝BD＝2m，
Rt△ACD中，CD＝＝m，
∴BC＝（2+）m，
Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝2+，
∴tan∠BAC＝2+．
21．解：∵∠BAC＝90°，
∴∠CAD+∠BAD＝90°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD，
∴sinB＝sin∠CAD＝．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，sinB＝，BC＝25，
∴AC＝BC sinB＝25×＝15．