2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.6利用三角函数测高 同步达标训练（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.6利用三角函数测高 同步达标训练（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 545.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-20 17:55:04 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》同步达标训练（附答案）
1．重庆实验外国语学校坐落在美丽且有灵气的华岩寺旁边，特别是金灿灿的大佛让身高1.6米的小王同学很感兴趣，刚刚学过三角函数知识，他就想测一下大佛的高度，小王到A点测得佛顶仰角为37°，接着向大佛走了10米来到B处，再经过一段坡度i＝4：3，坡长为5米的斜坡BC到达C处，此时与大佛的水平距离DH＝6.2米（其中点A、B、C、E、F在同一平面内，点A、B、F在同一条直线上），请问大佛的高度EF为（ ）（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．
A．15米 B．16米 C．17米 D．18米
2．如图，小明为了测量照母山上“览星塔”AB的高度，先从与塔底中心B在同一水平面上的点D出发，沿着坡度为1：0.75的斜坡DE行走10米至坡顶E处，再从E处沿水平方向继续前行若干米后至点F处，在F点测得塔顶A的仰角为63°，塔底C的俯角为45°，B与C的水平距离为4米（图中A、B、C、D、E、F在同一平面内，E、F和D、C、B分别在同一水平线上），根据小明的测量数据，计算出“览星塔”AB的高度约为（计算结果精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）（ ）
A．17.8米 B．23.7米 C．31.5米 D．37.4米
3．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（ ）（用含α的代数式表示）
A．2sinα B．2tanα C．2cosα D．
4．如图，在某居民楼AB楼顶有一广告牌BC，在距楼底A点左侧水平距离30m的D点处有一个山坡，山坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，山坡坡底D点到坡顶E点的距离DE＝26m，在坡底D点处测得居民楼楼顶B点的仰角为45°，在坡顶E点处测得居民楼楼顶广告牌上端C点的仰角为27°，居民楼AB，广告牌BC与山坡DE的剖面在同一平面内，则广告牌BC的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A．4.5m B．4.8m C．7.1m D．7.5m
5．如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．6.29 B．4.71 C．4 D．5.33
6．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度为i＝1：2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（ ）米（结果精确到1米）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）
A．27 B．28 C．29 D．30
7．如图，学校某数学兴趣小组想测量操场对面旗杆AB的高度，他们在C点测得旗杆顶部A的仰角为35°，再沿着坡度为3：4的楼梯向下走了3.5米到达D处，再继续向旗杆方向走了15米到达E处，在E处测得旗杆顶部A的仰角为65°，已知旗杆AB所在平台BF的高度为3.5米，则旗杆的高度AB为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：tan35°≈0.7，tan65°≈2.1）．
A．19.8米 B．19.7米 C．18.3米 D．16.2米
8．如图，小明站在距一棵树（CD）20m的点B处，小明的眼睛（点A）与地面的距离为1.6m，测得树梢（点C）的仰角为28°，那么这棵树的高度为（ ）
A．20tan28°m B．20sin28°m
C．（20tan28°+1.6）m D．（20sin28°+1.6）m
9．如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（ ）
A．7km B．14km C．7km D．14km
10．如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，且测得D、B相距30m，则塔高BC为（ ）m．
A．40 B．45 C．30+ D．30
11．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，斜坡与教学楼剖面在同一平面内，已知斜坡CD的长为6m，坡度i＝1：0.75，教学楼底部到斜坡底部的水平距离AC＝8m，在教学楼顶部B点测得斜坡顶部D点的俯角为46°，则教学楼的高度约为（ ）
（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
A．12.1m B．13.3m C．16.9m D．18.1m
12．在数学综合实践课上，老师和同学们一起测量学校旗杆的高度，他们首先在旗杆底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后沿着斜坡CD到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A的仰角为37°（身高忽略不计），已知斜坡CD的坡度i＝1：2.4，坡面CD长2.6米，旗杆AB所在旗台高度为1.4米，旗杆、旗台底部、斜坡在同一平面，则旗杆AB的高度为（ ）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．9.5米 B．9.6米 C．9.7米 D．9.8米
13．如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东α°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC＝m米，则A、B两点相距（ ）
A．m（cosα+sinα）米 B．m（cosα﹣sinα）米
C．米 D．米
14．如图，在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（ ）km．
A． B． C． D．2
15．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（ ）
A．100m B．100m C．100m D．m
16．如图，小明为测量大树MN的高度，在点A处测得大树顶端M的仰角是30°，沿NA的方向后退50米到达点B，测得大树顶端M的仰角是15°，A，B，N在同一水平线上，若小明的身高忽略不计，则大树高约为 米．
17．如图，海面上有一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，在B处测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，则∠ACB的度数为 ．
18．在高为100米的楼顶测得地面上某十字路口的俯角为60°，那么楼底到这十字路口的水平距离是 米．
19．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为 千米．
20．如图，为了测量塔CD的高度，小明在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，那么塔的高度是 m．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）．
21．如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为 m．（结果保留根号）
22．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC＝ 米（结果保留根号）．
23．在一次综合社会实践活动中，小东同学从A处出发，要到A地北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了4千米到达B处，再沿北偏东15°方向走，恰能到达目的地C，如图所示，则A、C两地相距 千米．（结果精确到0.1千米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
24．如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为 海里．
25．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为 ．（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）
26．如图，随着社会经济的发展，人们的环境保护意识也在逐步增强．某社区设立了“保护环境爱我地球“的宣传牌，已知立杆AB的高度是4m，从地面上某处D点测得宣传牌顶端C和底端B点的仰角分别是62°和45°、求宣传牌的高度BC的长．（精确到0.1m，参考数据：sin62°＝0.83，cos62°＝0.47，tan62°＝1.88）
27．如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
28．为了测量建筑物的高度AB，兴趣小组在C处用高为1.5米的测角仪CD，测得屋顶B的仰角为45°，再向房屋方向前进15米，又测得房屋的顶端B的仰角为61°，求房屋的高度AB．（参考数据sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数）
29．如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行（40﹣16）海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径16海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：sin22°＝，cos22°＝，tan22°＝）
30．如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．（计算结果保留根号）
（1）求出此时点A到军港C的距离；
（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达点A′时，测得军港B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．
参考答案
1．解：过点C作CM⊥BF于点M，过点G作GN⊥EF于点N，
∵斜坡BC的坡度i＝4：3，BC＝5米，
∴设CM＝4x，BM＝3x，
∴（4x）2+（3x）2＝52，
解得x＝1，
∴CM＝4米，BM＝3米，
由题意可知四边形DHFM和四边形AGNF是矩形，
∴DH＝FM＝6.2米，
∵AB＝10米，
∴AF＝GN＝AB+BM+MF＝10+3+6.2＝19.2米，
在Rt△ENG中，∵∠EGN＝37°，
∴tan37°＝≈0.75，
∴EN＝0.75×NG＝0.75×19.2＝14.4米，
∴EF＝EN+NF＝14.4+1.6＝16米．
故选：B．
2．解：过F作FG⊥AB于G，过C作CH⊥FG于H，如图所示：
则PE＝CH＝BG，GH＝BC＝4，
∵斜坡DE的坡度为1：0.75，
∴＝＝，
设PD＝3x，则PE＝4x，
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝5x，
∴5x＝10，
∴x＝2，
∴CH＝BG＝PE＝8，
∵∠CFH＝45°，
∴△CFH是等腰直角三角形，
∴FH＝CH＝8，
∴FG＝FH+GH＝12，
在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，
∴AG＝FG×tan63°≈12×1.96＝23.52，
∴AB＝AG+BG＝23.52+8＝31.5（米），
即“览星塔”AB的高度约为31.5米，
故选：C．
3．解：∵BC⊥AC，AC＝2，∠BAC＝α，
∴tanα＝，
∴BC＝AC tanα＝2tanα，
故选：B．
4．解：作EF⊥AB于F，作DG⊥EF于G，如图所示：
则GF＝AD＝30m，AF＝DG，∠CEF＝27°，
∵山坡DE的坡度i＝＝，
∴EG＝2.4DG，
∵DE＝26m，DE2+EG2＝DE2，
∴AF＝DG＝10m，EG＝24m，
∴EF＝EG+GF＝54m，
在Rt△CEF中，tan∠CEF＝＝tan27°≈0.51，
∴CF≈0.51×54＝27.54（m），
∴AC＝AF+CF＝10+27.54＝37.54（m），
又∵∠ADB＝45°，∠A＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝AD＝30m，
∴BC＝AC﹣AB＝37.54﹣30≈7.5（m）；
故选：D．
5．解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，
∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，
∵坡面DE的坡度为1，
∴＝1，
∴DM＝EM＝1＝FC，
在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，
∵tan∠DAF＝≈0.75，
设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，
在Rt△ABC中，
∵tan∠B＝，
∴tan37°＝≈0.75，
解得x＝≈6.29（米），
故选：A．
6．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，
由题意得：FG＝BC＝20米，DE＝40米，BF＝CG，
在Rt△CDG中，i＝1：2.4，CD＝26米，
∴BF＝CG＝10米，GD＝24米，
在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，FE＝FG+GD+DE＝84米，∠E＝24°，
∴AF＝FE tan24°≈84×0.45＝37.8（米），
∴AB＝AF﹣BF＝37.8﹣10≈28（米）；
即建筑物AB的高度为28米；
故选：B．
7．解：作CG⊥AF于G，DH⊥CG于H，如图所示：
则HG＝DF，FG＝DH，
∵楼梯CD的坡度为3：4，CD＝3.5，
∴FG＝DH＝2.1，CH＝2.8，
在Rt△ACG中，∠ACG＝35°，tan∠ACG＝＝tan35°≈0.7，
∴AG≈0.7CG，
∴AF＝AG+FG＝0.7CG+2.1，
∵DF＝HG＝CG﹣CH＝CG﹣2.8，
∴EF＝DF﹣DE＝CG﹣2.8﹣15＝CG﹣17.8，
在Rt△AEF中，∠AEF＝65°，tan∠AEF＝＝tan65°≈2.1，
∴AF＝2.1EF，
∴0.7CG+2.1＝2.1（CG﹣17.8），
解得：CG＝28.2，
∴AF＝0.7×28.2+2.1＝21.84，
∴AB＝AF﹣BF＝21.84﹣3.5≈18.3（米），
即旗杆的高度AB约为18.3米；
故选：C．
8．解：作AE⊥CD于E，如图所示：
则ED＝AB＝1.6m，AE＝BD＝20m，
在Rt△ACE中，∠CAE＝28°，
∵tan∠CAE＝，
∴CE＝AE×tan∠CAE＝20tan28°，
∴CD＝CE+ED＝（20tan28°+1.6）m；
故选：C．
9．解：如图，过点M作MC⊥AB于点C，过点B作BN⊥AM于点N，
由题意得，∠MAB＝30°，∠MBC＝75°，
∵∠CBM＝∠BAM+∠AMB，
∴∠AMB＝∠NAM＝45°，
∴BN＝MN，
∵AB＝28×0.5＝14km，
∴BN＝＝7km，
∴BM＝NB＝7（km）．
故选：A．
10．解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵∠BDE＝30°，BD＝30m，
∴BE＝BD＝15m，
∵AD＝30m，
∴CE＝30m，
∴BC＝CE+BE＝30+15＝45m．
故选：B．
11．解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，
根据题意可知：
BA⊥AC，
∴四边形FAED是矩形，
∴FA＝DE，DF＝AE，
∵斜坡CD的长为6m，坡度i＝DE：CE＝1：0.75，
∴DE＝4.8，CE＝3.6，
∴DF＝AE＝AC+CE＝11.6，
在Rt△BFD中，∠BDF＝46°，
∴BF＝DF tan46°≈11.6×1.04≈12.064，
∴BA＝BF+FA＝12.064+4.8≈16.9（m）．
所以教学楼的高度约为16.9米．
故选：C．
12．解：作DH⊥FC交FC的延长线于点H，延长AB交CF的延长线于点T，作DJ⊥AT于点J，如图所示：
则四边形EFTB与四边形DHTJ都是矩形，
∴BT＝EF＝1.4米，JT＝DH，
在Rt△DCH中，CD＝2.6米，＝，
∴DH＝1（米），CH＝2.4（米），
∵∠ACT＝45°，∠T＝90°，
∴AT＝TC，
设AT＝TC＝x．则DJ＝TH＝（x+2.4）米，AJ＝（x﹣1）米，
在Rt△ADJ中，tan∠ADJ＝＝0.75，
∴＝0.75，
解得：x＝11.2，
∴AB＝AT﹣BT＝11.2﹣1.4＝9.8（米），
故选：D．
13．解：过点C作CD⊥AB于D，如图所示：
由题意得：∠ACD＝45°，∠DCB＝α，
在Rt△BCD中，BC＝m，
∴DB＝BCsinα°＝m sinα（米），CD＝BCcosα＝m cosα（米），
在Rt△ACD中，AD＝CD＝m cosα（米），
∴AB＝AD+DB＝m（cosα+sinα）（米）．
故选：A．
14．解：过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意得：∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
∠CBD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝3km，
在Rt△CBD中，
∴CD＝BC sin60°＝3×（km）．
∴船C到海岸线l的距离是km．
故选：C．
15．解：由题意得，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝OA＝100（m），
故选：A．
16．解：∠MAN是△ABM的一个外角，
∴∠AMB＝∠MAN﹣∠ABM＝30°﹣15°＝15°，
∴∠AMB＝∠ABM，
∴AM＝AB＝50米，
在Rt△AMN中，∠MAN＝30°，
∴MN＝AM＝25米；
故答案为：25．
17．解：由题意得：∠BAC＝31°，∠CBD＝45°，
∵∠CBD＝∠BAC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠BAC＝45°﹣31°＝14°，
故答案为：14°．
18．解：如图所示：
由题意得：∠B＝90°，∠BAC＝60°，BC＝100米，
∵tan∠BAC＝，
∴AB＝＝＝（米），
即楼底到这十字路口的水平距离是米，
故答案为：．
19．解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，
∴∠PCA＝90°，∠PAC＝30°，
∵AP＝12千米，
∴PC＝6千米，AC＝6千米，
∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，
∴∠PBC＝60°，
∴BC＝＝＝2千米，
∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），
故答案为：4千米．
20．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，
∴BD＝AB＝60m．
∴DC＝BD sin60°＝60×＝30（m），
答：该塔高为30m，
故答案为：30．
21．解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝30（m），
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴CD＝AD tan60°＝30×＝30（m），
∴BC＝BD+CD＝30+30（m）
答：该建筑物的高度BC约为（30+30）米．
故答案为：（30+30）．
22．解：作DF⊥AC于F．
∵DF：AF＝1：，AD＝200米，
∴tan∠DAF＝，
∴∠DAF＝30°，
∴DF＝AD＝×200＝100（米），
∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴EC＝DF＝100（米），
∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，
∴∠ABC＝45°，
∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝45°﹣30°＝15°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴AD＝BD＝200（米），
在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，
∴BE＝BD sin∠BDE＝200×＝100（米），
∴BC＝BE+EC＝100+100（米）；
故答案为：（100+100）．
23．解：∵B在A的正东方，C在A地的北偏东 60°方向，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵C在B地的北偏东15°方向，
∴∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣105°＝45°，
过B作BD⊥AC于D，
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AB＝4km，
∴BD＝AB＝2km，AD＝2km，
在Rt△BCD中，∠C＝45°，
∴CD＝BD＝2km，
∴AC＝AD+CD＝（2+2）≈5.5km，
答：A、C两地相距5.5千米，
故答案为：5.5．
24．解：根据题意得：∠BAC＝90°，AB＝12海里，AC＝9海里，
在Rt△ABC中，BC＝＝15海里，
故答案为：15．
25．解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．
在Rt△ECB中，tan53°＝，即，
在Rt△AEC中，tan37°＝，即，
解得x＝180，y＝135，
∴AC＝＝＝300（m），
故答案为：300m．
26．解：在Rt△ADB中，
∵∠BDA＝45°，
∴AD＝AB＝4m．
在Rt△ADC中，AC＝AD tan62°≈4×1.88＝7.52（m）．
∴BC＝AC﹣AB＝7.52﹣4＝3.52≈3.5（m）．
答：宣传牌BC的高度是3.5m．
27．解：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得，∠ADF＝28°，CD＝50m，BC＝60m，
在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴＝＝，
设DE＝4xm，则EC＝3xm，由勾股定理可得CD＝5xm，
又CD＝50m，即5x＝50，
∴x＝10（m），
∴EC＝3x＝30（m），DE＝4x＝40（m）＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+30＝90（m）＝DF，
在Rt△ADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×90≈47.7（m），
∴AB＝AF+FB＝47.7+40≈87.7（m），
即居民楼AB的高度约为87.7m．
28．解：由题意得，四边形DCEF，四边形MAEF都是矩形，
所以，AM＝EF＝CD＝1.5米，DF＝CE＝15米，
设BM＝x米，
在Rt△BMF中，
tan∠BFM＝tan61°＝≈1.80，
∴FM＝，
在Rt△BDM中，
tan∠BDM＝tan45°＝＝1，
∴DM＝BM＝x，
∵DM＝DF+FM，
∴x＝15+，
解得，x＝33.75，
∴AB＝AM+BM＝1.5+33.75≈35（米），
答：房屋的高度AB约为35米．
29．解：如图1，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠PAC＝64°﹣42°＝22°，∠PBC＝72°﹣42°＝30°，AB＝40﹣16，
设PC＝x，
在Rt△PBC中，
∵∠PBC＝30°，
∴BC＝PC＝x，
∴AC＝AB+BC＝40﹣16+x，
在Rt△PAC中，
∵∠PAC＝22°，
∴tan∠PAC＝，即＝，
解得，x＝16，即PC＝16，BP＝2PC＝32，
∵16＜16，
∴有危险．
如图2，渔船沿着BD方向航行，过点P作PD⊥BD，垂足为D，
在Rt△PBD中，
∵sin∠PBD＝＝＝，
∴∠PBD＝45°，
∴∠QBD＝∠QBP﹣∠DBP＝72°﹣45°＝27°，
即渔船自B处开始，沿南偏东27°的方向航行，能够安全通过这一海域．
30．解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，
由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
则CD＝BC＝60海里，
∵cos∠ACD＝＝cos30°＝，
即＝
∴AC＝40（海里），
即此时点A到军港C的距离为40海里；
（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图：
由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，
∵A'E∥CD，
∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，
∴∠BA′A＝45°，
∵∠BA'E＝75°，
∴∠ABA'＝15°，
∴∠2＝15°＝∠ABA'，
即A′B平分∠CBA，
∴A'E＝A'N，
设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，
∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，
∴A'C＝2A'N＝x，
∵A'C+AA'＝AC，
∴x+x＝40，
解得：x＝60﹣20，
∴AA'＝（60﹣20）海里，
即此时“昆明舰”的航行距离为（60﹣20）海里．
1．重庆实验外国语学校坐落在美丽且有灵气的华岩寺旁边，特别是金灿灿的大佛让身高1.6米的小王同学很感兴趣，刚刚学过三角函数知识，他就想测一下大佛的高度，小王到A点测得佛顶仰角为37°，接着向大佛走了10米来到B处，再经过一段坡度i＝4：3，坡长为5米的斜坡BC到达C处，此时与大佛的水平距离DH＝6.2米（其中点A、B、C、E、F在同一平面内，点A、B、F在同一条直线上），请问大佛的高度EF为（ ）（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．
A．15米 B．16米 C．17米 D．18米
2．如图，小明为了测量照母山上“览星塔”AB的高度，先从与塔底中心B在同一水平面上的点D出发，沿着坡度为1：0.75的斜坡DE行走10米至坡顶E处，再从E处沿水平方向继续前行若干米后至点F处，在F点测得塔顶A的仰角为63°，塔底C的俯角为45°，B与C的水平距离为4米（图中A、B、C、D、E、F在同一平面内，E、F和D、C、B分别在同一水平线上），根据小明的测量数据，计算出“览星塔”AB的高度约为（计算结果精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）（ ）
A．17.8米 B．23.7米 C．31.5米 D．37.4米
3．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（ ）（用含α的代数式表示）
A．2sinα B．2tanα C．2cosα D．
4．如图，在某居民楼AB楼顶有一广告牌BC，在距楼底A点左侧水平距离30m的D点处有一个山坡，山坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，山坡坡底D点到坡顶E点的距离DE＝26m，在坡底D点处测得居民楼楼顶B点的仰角为45°，在坡顶E点处测得居民楼楼顶广告牌上端C点的仰角为27°，居民楼AB，广告牌BC与山坡DE的剖面在同一平面内，则广告牌BC的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A．4.5m B．4.8m C．7.1m D．7.5m
5．如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．6.29 B．4.71 C．4 D．5.33
6．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度为i＝1：2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（ ）米（结果精确到1米）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）
A．27 B．28 C．29 D．30
7．如图，学校某数学兴趣小组想测量操场对面旗杆AB的高度，他们在C点测得旗杆顶部A的仰角为35°，再沿着坡度为3：4的楼梯向下走了3.5米到达D处，再继续向旗杆方向走了15米到达E处，在E处测得旗杆顶部A的仰角为65°，已知旗杆AB所在平台BF的高度为3.5米，则旗杆的高度AB为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：tan35°≈0.7，tan65°≈2.1）．
A．19.8米 B．19.7米 C．18.3米 D．16.2米
8．如图，小明站在距一棵树（CD）20m的点B处，小明的眼睛（点A）与地面的距离为1.6m，测得树梢（点C）的仰角为28°，那么这棵树的高度为（ ）
A．20tan28°m B．20sin28°m
C．（20tan28°+1.6）m D．（20sin28°+1.6）m
9．如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（ ）
A．7km B．14km C．7km D．14km
10．如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，且测得D、B相距30m，则塔高BC为（ ）m．
A．40 B．45 C．30+ D．30
11．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，斜坡与教学楼剖面在同一平面内，已知斜坡CD的长为6m，坡度i＝1：0.75，教学楼底部到斜坡底部的水平距离AC＝8m，在教学楼顶部B点测得斜坡顶部D点的俯角为46°，则教学楼的高度约为（ ）
（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
A．12.1m B．13.3m C．16.9m D．18.1m
12．在数学综合实践课上，老师和同学们一起测量学校旗杆的高度，他们首先在旗杆底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后沿着斜坡CD到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A的仰角为37°（身高忽略不计），已知斜坡CD的坡度i＝1：2.4，坡面CD长2.6米，旗杆AB所在旗台高度为1.4米，旗杆、旗台底部、斜坡在同一平面，则旗杆AB的高度为（ ）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．9.5米 B．9.6米 C．9.7米 D．9.8米
13．如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东α°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC＝m米，则A、B两点相距（ ）
A．m（cosα+sinα）米 B．m（cosα﹣sinα）米
C．米 D．米
14．如图，在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（ ）km．
A． B． C． D．2
15．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（ ）
A．100m B．100m C．100m D．m
16．如图，小明为测量大树MN的高度，在点A处测得大树顶端M的仰角是30°，沿NA的方向后退50米到达点B，测得大树顶端M的仰角是15°，A，B，N在同一水平线上，若小明的身高忽略不计，则大树高约为 米．
17．如图，海面上有一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，在B处测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，则∠ACB的度数为 ．
18．在高为100米的楼顶测得地面上某十字路口的俯角为60°，那么楼底到这十字路口的水平距离是 米．
19．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为 千米．
20．如图，为了测量塔CD的高度，小明在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，那么塔的高度是 m．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）．
21．如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为 m．（结果保留根号）
22．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC＝ 米（结果保留根号）．
23．在一次综合社会实践活动中，小东同学从A处出发，要到A地北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了4千米到达B处，再沿北偏东15°方向走，恰能到达目的地C，如图所示，则A、C两地相距 千米．（结果精确到0.1千米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
24．如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为 海里．
25．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为 ．（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）
26．如图，随着社会经济的发展，人们的环境保护意识也在逐步增强．某社区设立了“保护环境爱我地球“的宣传牌，已知立杆AB的高度是4m，从地面上某处D点测得宣传牌顶端C和底端B点的仰角分别是62°和45°、求宣传牌的高度BC的长．（精确到0.1m，参考数据：sin62°＝0.83，cos62°＝0.47，tan62°＝1.88）
27．如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
28．为了测量建筑物的高度AB，兴趣小组在C处用高为1.5米的测角仪CD，测得屋顶B的仰角为45°，再向房屋方向前进15米，又测得房屋的顶端B的仰角为61°，求房屋的高度AB．（参考数据sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数）
29．如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行（40﹣16）海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径16海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：sin22°＝，cos22°＝，tan22°＝）
30．如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．（计算结果保留根号）
（1）求出此时点A到军港C的距离；
（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达点A′时，测得军港B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．
参考答案
1．解：过点C作CM⊥BF于点M，过点G作GN⊥EF于点N，
∵斜坡BC的坡度i＝4：3，BC＝5米，
∴设CM＝4x，BM＝3x，
∴（4x）2+（3x）2＝52，
解得x＝1，
∴CM＝4米，BM＝3米，
由题意可知四边形DHFM和四边形AGNF是矩形，
∴DH＝FM＝6.2米，
∵AB＝10米，
∴AF＝GN＝AB+BM+MF＝10+3+6.2＝19.2米，
在Rt△ENG中，∵∠EGN＝37°，
∴tan37°＝≈0.75，
∴EN＝0.75×NG＝0.75×19.2＝14.4米，
∴EF＝EN+NF＝14.4+1.6＝16米．
故选：B．
2．解：过F作FG⊥AB于G，过C作CH⊥FG于H，如图所示：
则PE＝CH＝BG，GH＝BC＝4，
∵斜坡DE的坡度为1：0.75，
∴＝＝，
设PD＝3x，则PE＝4x，
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝5x，
∴5x＝10，
∴x＝2，
∴CH＝BG＝PE＝8，
∵∠CFH＝45°，
∴△CFH是等腰直角三角形，
∴FH＝CH＝8，
∴FG＝FH+GH＝12，
在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，
∴AG＝FG×tan63°≈12×1.96＝23.52，
∴AB＝AG+BG＝23.52+8＝31.5（米），
即“览星塔”AB的高度约为31.5米，
故选：C．
3．解：∵BC⊥AC，AC＝2，∠BAC＝α，
∴tanα＝，
∴BC＝AC tanα＝2tanα，
故选：B．
4．解：作EF⊥AB于F，作DG⊥EF于G，如图所示：
则GF＝AD＝30m，AF＝DG，∠CEF＝27°，
∵山坡DE的坡度i＝＝，
∴EG＝2.4DG，
∵DE＝26m，DE2+EG2＝DE2，
∴AF＝DG＝10m，EG＝24m，
∴EF＝EG+GF＝54m，
在Rt△CEF中，tan∠CEF＝＝tan27°≈0.51，
∴CF≈0.51×54＝27.54（m），
∴AC＝AF+CF＝10+27.54＝37.54（m），
又∵∠ADB＝45°，∠A＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝AD＝30m，
∴BC＝AC﹣AB＝37.54﹣30≈7.5（m）；
故选：D．
5．解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，
∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，
∵坡面DE的坡度为1，
∴＝1，
∴DM＝EM＝1＝FC，
在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，
∵tan∠DAF＝≈0.75，
设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，
在Rt△ABC中，
∵tan∠B＝，
∴tan37°＝≈0.75，
解得x＝≈6.29（米），
故选：A．
6．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，
由题意得：FG＝BC＝20米，DE＝40米，BF＝CG，
在Rt△CDG中，i＝1：2.4，CD＝26米，
∴BF＝CG＝10米，GD＝24米，
在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，FE＝FG+GD+DE＝84米，∠E＝24°，
∴AF＝FE tan24°≈84×0.45＝37.8（米），
∴AB＝AF﹣BF＝37.8﹣10≈28（米）；
即建筑物AB的高度为28米；
故选：B．
7．解：作CG⊥AF于G，DH⊥CG于H，如图所示：
则HG＝DF，FG＝DH，
∵楼梯CD的坡度为3：4，CD＝3.5，
∴FG＝DH＝2.1，CH＝2.8，
在Rt△ACG中，∠ACG＝35°，tan∠ACG＝＝tan35°≈0.7，
∴AG≈0.7CG，
∴AF＝AG+FG＝0.7CG+2.1，
∵DF＝HG＝CG﹣CH＝CG﹣2.8，
∴EF＝DF﹣DE＝CG﹣2.8﹣15＝CG﹣17.8，
在Rt△AEF中，∠AEF＝65°，tan∠AEF＝＝tan65°≈2.1，
∴AF＝2.1EF，
∴0.7CG+2.1＝2.1（CG﹣17.8），
解得：CG＝28.2，
∴AF＝0.7×28.2+2.1＝21.84，
∴AB＝AF﹣BF＝21.84﹣3.5≈18.3（米），
即旗杆的高度AB约为18.3米；
故选：C．
8．解：作AE⊥CD于E，如图所示：
则ED＝AB＝1.6m，AE＝BD＝20m，
在Rt△ACE中，∠CAE＝28°，
∵tan∠CAE＝，
∴CE＝AE×tan∠CAE＝20tan28°，
∴CD＝CE+ED＝（20tan28°+1.6）m；
故选：C．
9．解：如图，过点M作MC⊥AB于点C，过点B作BN⊥AM于点N，
由题意得，∠MAB＝30°，∠MBC＝75°，
∵∠CBM＝∠BAM+∠AMB，
∴∠AMB＝∠NAM＝45°，
∴BN＝MN，
∵AB＝28×0.5＝14km，
∴BN＝＝7km，
∴BM＝NB＝7（km）．
故选：A．
10．解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵∠BDE＝30°，BD＝30m，
∴BE＝BD＝15m，
∵AD＝30m，
∴CE＝30m，
∴BC＝CE+BE＝30+15＝45m．
故选：B．
11．解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，
根据题意可知：
BA⊥AC，
∴四边形FAED是矩形，
∴FA＝DE，DF＝AE，
∵斜坡CD的长为6m，坡度i＝DE：CE＝1：0.75，
∴DE＝4.8，CE＝3.6，
∴DF＝AE＝AC+CE＝11.6，
在Rt△BFD中，∠BDF＝46°，
∴BF＝DF tan46°≈11.6×1.04≈12.064，
∴BA＝BF+FA＝12.064+4.8≈16.9（m）．
所以教学楼的高度约为16.9米．
故选：C．
12．解：作DH⊥FC交FC的延长线于点H，延长AB交CF的延长线于点T，作DJ⊥AT于点J，如图所示：
则四边形EFTB与四边形DHTJ都是矩形，
∴BT＝EF＝1.4米，JT＝DH，
在Rt△DCH中，CD＝2.6米，＝，
∴DH＝1（米），CH＝2.4（米），
∵∠ACT＝45°，∠T＝90°，
∴AT＝TC，
设AT＝TC＝x．则DJ＝TH＝（x+2.4）米，AJ＝（x﹣1）米，
在Rt△ADJ中，tan∠ADJ＝＝0.75，
∴＝0.75，
解得：x＝11.2，
∴AB＝AT﹣BT＝11.2﹣1.4＝9.8（米），
故选：D．
13．解：过点C作CD⊥AB于D，如图所示：
由题意得：∠ACD＝45°，∠DCB＝α，
在Rt△BCD中，BC＝m，
∴DB＝BCsinα°＝m sinα（米），CD＝BCcosα＝m cosα（米），
在Rt△ACD中，AD＝CD＝m cosα（米），
∴AB＝AD+DB＝m（cosα+sinα）（米）．
故选：A．
14．解：过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意得：∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
∠CBD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝3km，
在Rt△CBD中，
∴CD＝BC sin60°＝3×（km）．
∴船C到海岸线l的距离是km．
故选：C．
15．解：由题意得，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝OA＝100（m），
故选：A．
16．解：∠MAN是△ABM的一个外角，
∴∠AMB＝∠MAN﹣∠ABM＝30°﹣15°＝15°，
∴∠AMB＝∠ABM，
∴AM＝AB＝50米，
在Rt△AMN中，∠MAN＝30°，
∴MN＝AM＝25米；
故答案为：25．
17．解：由题意得：∠BAC＝31°，∠CBD＝45°，
∵∠CBD＝∠BAC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠BAC＝45°﹣31°＝14°，
故答案为：14°．
18．解：如图所示：
由题意得：∠B＝90°，∠BAC＝60°，BC＝100米，
∵tan∠BAC＝，
∴AB＝＝＝（米），
即楼底到这十字路口的水平距离是米，
故答案为：．
19．解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，
∴∠PCA＝90°，∠PAC＝30°，
∵AP＝12千米，
∴PC＝6千米，AC＝6千米，
∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，
∴∠PBC＝60°，
∴BC＝＝＝2千米，
∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），
故答案为：4千米．
20．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，
∴BD＝AB＝60m．
∴DC＝BD sin60°＝60×＝30（m），
答：该塔高为30m，
故答案为：30．
21．解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝30（m），
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴CD＝AD tan60°＝30×＝30（m），
∴BC＝BD+CD＝30+30（m）
答：该建筑物的高度BC约为（30+30）米．
故答案为：（30+30）．
22．解：作DF⊥AC于F．
∵DF：AF＝1：，AD＝200米，
∴tan∠DAF＝，
∴∠DAF＝30°，
∴DF＝AD＝×200＝100（米），
∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴EC＝DF＝100（米），
∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，
∴∠ABC＝45°，
∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝45°﹣30°＝15°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴AD＝BD＝200（米），
在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，
∴BE＝BD sin∠BDE＝200×＝100（米），
∴BC＝BE+EC＝100+100（米）；
故答案为：（100+100）．
23．解：∵B在A的正东方，C在A地的北偏东 60°方向，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵C在B地的北偏东15°方向，
∴∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣105°＝45°，
过B作BD⊥AC于D，
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AB＝4km，
∴BD＝AB＝2km，AD＝2km，
在Rt△BCD中，∠C＝45°，
∴CD＝BD＝2km，
∴AC＝AD+CD＝（2+2）≈5.5km，
答：A、C两地相距5.5千米，
故答案为：5.5．
24．解：根据题意得：∠BAC＝90°，AB＝12海里，AC＝9海里，
在Rt△ABC中，BC＝＝15海里，
故答案为：15．
25．解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．
在Rt△ECB中，tan53°＝，即，
在Rt△AEC中，tan37°＝，即，
解得x＝180，y＝135，
∴AC＝＝＝300（m），
故答案为：300m．
26．解：在Rt△ADB中，
∵∠BDA＝45°，
∴AD＝AB＝4m．
在Rt△ADC中，AC＝AD tan62°≈4×1.88＝7.52（m）．
∴BC＝AC﹣AB＝7.52﹣4＝3.52≈3.5（m）．
答：宣传牌BC的高度是3.5m．
27．解：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得，∠ADF＝28°，CD＝50m，BC＝60m，
在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴＝＝，
设DE＝4xm，则EC＝3xm，由勾股定理可得CD＝5xm，
又CD＝50m，即5x＝50，
∴x＝10（m），
∴EC＝3x＝30（m），DE＝4x＝40（m）＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+30＝90（m）＝DF，
在Rt△ADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×90≈47.7（m），
∴AB＝AF+FB＝47.7+40≈87.7（m），
即居民楼AB的高度约为87.7m．
28．解：由题意得，四边形DCEF，四边形MAEF都是矩形，
所以，AM＝EF＝CD＝1.5米，DF＝CE＝15米，
设BM＝x米，
在Rt△BMF中，
tan∠BFM＝tan61°＝≈1.80，
∴FM＝，
在Rt△BDM中，
tan∠BDM＝tan45°＝＝1，
∴DM＝BM＝x，
∵DM＝DF+FM，
∴x＝15+，
解得，x＝33.75，
∴AB＝AM+BM＝1.5+33.75≈35（米），
答：房屋的高度AB约为35米．
29．解：如图1，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠PAC＝64°﹣42°＝22°，∠PBC＝72°﹣42°＝30°，AB＝40﹣16，
设PC＝x，
在Rt△PBC中，
∵∠PBC＝30°，
∴BC＝PC＝x，
∴AC＝AB+BC＝40﹣16+x，
在Rt△PAC中，
∵∠PAC＝22°，
∴tan∠PAC＝，即＝，
解得，x＝16，即PC＝16，BP＝2PC＝32，
∵16＜16，
∴有危险．
如图2，渔船沿着BD方向航行，过点P作PD⊥BD，垂足为D，
在Rt△PBD中，
∵sin∠PBD＝＝＝，
∴∠PBD＝45°，
∴∠QBD＝∠QBP﹣∠DBP＝72°﹣45°＝27°，
即渔船自B处开始，沿南偏东27°的方向航行，能够安全通过这一海域．
30．解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，
由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
则CD＝BC＝60海里，
∵cos∠ACD＝＝cos30°＝，
即＝
∴AC＝40（海里），
即此时点A到军港C的距离为40海里；
（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图：
由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，
∵A'E∥CD，
∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，
∴∠BA′A＝45°，
∵∠BA'E＝75°，
∴∠ABA'＝15°，
∴∠2＝15°＝∠ABA'，
即A′B平分∠CBA，
∴A'E＝A'N，
设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，
∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，
∴A'C＝2A'N＝x，
∵A'C+AA'＝AC，
∴x+x＝40，
解得：x＝60﹣20，
∴AA'＝（60﹣20）海里，
即此时“昆明舰”的航行距离为（60﹣20）海里．