人教版2021—2022学年数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径证明及计算训练（word版、含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版2021—2022学年数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径证明及计算训练（word版、含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 748.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-20 14:24:26 | ||
图片预览
文档简介
人教版九年级上册数学24.1.2垂直于弦的直径证明及计算训练
1．如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．
2．已知：如图，是的一条弦，是的一条直径，并且，垂足为M．
求证：．
3．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
4．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，OC交AD于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若CE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．
5．如图，为的直径，为弦的中点，连接并延长与交于点，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，请求出四边形的面积。
6．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE．
（1）求证:AP = AO；
（2）若弦AB = 24，求OP的长．
7．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：四边形AEOD是正方形．
8．如图，已知AB是⊙O的直径 ， CD⊥AB ， 垂足为点E，如果BE=OE ， AB=12，求△ACD的周长
9．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
10．如图．的直径垂直于弦，垂足是E，，求的长．
11．如图，⊙O是的外接圆，且，求⊙O的半径．
12．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为M．
（1）求OM的长；
（2）求弦CD的长．
13．如图，直径和弦相交于点，=2，=6，∠=30°，求弦长．
14．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE∶CD=5∶24
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时4 m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
15．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，垂足为E点．
（1）如图1，当AE=4，BE=2时，求CD的长度；
（2）如图2，连接AC，BD，点M为BD的中点．求证：ME⊥AC．
16．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．
（1）求证：BE=CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．
17．如图，已知是的直径，弦于点，点在上，.
（1）判断、的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求线段的长；
（3）若恰好经过圆心，求的度数.
参考答案
1．
证明：连结OA、OC，如图，
∵E、F分别为弦AB、CD的中点，
∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，
∵AB=CD，
∴AE=CF，
在Rt△AEO和Rt△COF中，
，
∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL），
∴OE=OF．
2．
证明：连接，，则．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
，
∴
∴．
3．（
解：（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG．
（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（）2+42，
解得r＝或（舍弃），
∴⊙O的半径为．
4．
解：（1）是的直径，
，
，
．
，
，
；
（2）由（1）可知，
又，
．
设的半径为，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
的半径为5．
5．
解：(1)证明：∵F为弦AC的中点，∴OD⊥AC，
∵DE切⊙O于点D，∴OD⊥DE，∴AC∥DE；
(2)如图，连接CD，
∵AC∥DE，且OA＝AE，
∴F为OD的中点，即OF＝FD，
又∵AF＝CF，∠AFO＝∠CFD，
∴AFO≌CFD(SAS)，
∴S△AFO＝S△CFD，∴S四边形ACDE＝S△ODE，
在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝6，∴OE＝12，
∴DE＝＝＝6，
∴S四边形ACDE＝S△ODE＝×OD×DE＝×6×6＝18．
6．
（1）证明：∵PG平分∠EPF
∴∠EPO=∠APO
∵OA∥PE
∴∠EPO=∠AOP
∴∠APO=∠AOP
∴AP=AO
（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，
根据垂径定理得到AH=BH==12
∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25
在中，
由勾股定理得：
则OP的长为
故答案为：
7．
证明：∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝AB．
同理AE＝CE＝AC．
∵AB＝AC，∴AD＝AE．
∵OD⊥ABOE⊥ACAB⊥AC，
∴∠OEA＝∠A＝∠ODA＝90°，
∴四边形ADOE为矩形．
又∵AD＝AE，
∴矩形ADOE为正方形．
8．
解：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD．
∵AB=12cm，∴AO=BO=CO=6cm．
∵BE=OE，∴BE=OE=3cm，AE=9cm．
在Rt△COE中，∵CD⊥AB，∴OE2+CE2=OC2，∴CE==，∴CD=2CE= cm．
同理可AC=AD=cm，∴△ACD的周长为cm．
9．
试题解析：如图，连接ON，OA，
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB=7.2m，
∴AD=AB=3.6m．
又∵CD=2.4m，
设OA=OC=ON=r，则OD=（r-2.4）m，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：r2=（r-2.4）2+3.62，解得r=3.9，
∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB=2m，
∴CH=2.4-2=0.4（m），
∴OH=r-CH=3.9-0.4=3.5（m），
在Rt△OHN中，HN2=ON2-OH2=3.92-3.52=2.96（m2），
∴HN=（m），
∴MN=2EN=2×≈3.44m＞3m，
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
10．
解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=22.5°，
∴∠COE=45°，
在Rt△OCE中，OC=2，∠COE=45°，
所以CE=OE，
由勾股定理可得：
CE2+OE2=OC2，
所以2 CE2=OC2，
∴CE==，
∴CD=2CE=．
11．
连接OA交BC于D点，连接BO
因为AB=AC，所以弧AB＝弧AC，
则OA垂直平分BC（垂径定理），BD= 12，
在直角三角形ABC中根据勾股定理AD＝5，
在直角三角形OBD中，设半径OB＝x，
则有：，解方程得：x＝16.9，
答：⊙O的半径为16.9.
12．
试题解析：
∵AB=10，
∴OA=5，
∵ON：AN=2：3，
∴ON=2，
∵∠ANC=30°，
∴∠ONM=30°，
∴OM=ON=1；
（2）如图，连接OC，
由勾股定理得：
CM2=CO2-OM2
=25-1=24，
∴CM=2 ，
∴CD=2CM=4．
13．
解：过点作，垂足为.
∵ ，
∴ .
∵ ∠，
∴ ,
∴ =.
14．
（1）∵直径AB=26m，
∴OD=，
∵OE⊥CD，
∴，
∵OE：CD=5：24，
∴OE：ED=5：12，
∴设OE=5x，ED=12x，
∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，
解得x=1，
∴CD=2DE=2×12×1=24m；
（2）由（1）得OE=1×5=5m，
延长OE交圆O于点F，
∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，
∴（小时），即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．
15．
解：（1）如图1，连接OC．
∵ AE=4，BE=2，
∴AB =6，
∴CO =AO=3，
∴OE =AE-AO=1，
∵CD⊥AB，
∴ CE=
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，
∴ CD=2CE=．
（2）证明：如图2，延长ME与AC交于点N．
∵CD⊥AB，
∴∠BED=90°．
∵ M为BD中点，
∴EM =BD =DM，
∴∠DEM=∠D，
∴∠CEN=∠DEM=∠D．
∵∠B=∠C，
∴∠CNE =90°，
即ME⊥AB．
16．
试题解析：（1）∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；
（2）四边形BFCD是菱形．
∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，
在△BED和△CEF中，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形；
（3）∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DE AE，设DE=x，∵BC=8，AD=10，
∴42=x（10﹣x），解得：x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD==2．
17．
（1）BC∥MD．理由如下：
∵∠M=∠D，∠M=∠C，∴∠D=∠C，∴BC∥MD；
（2）连接OC．
∵AE=16，BE=4，∴OB==10，∴OE=10﹣4=6．
∵CD⊥AB，∴CE=CD．在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得：CE=8，∴CD=2CE=16；
（3）如图2．
∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，即∠BOD=2∠D．
∵AB⊥CD，∴∠BOD+∠D=90°，即3∠D=90°，解得：∠D=30°．
试卷第1页，共1页
1．如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．
2．已知：如图，是的一条弦，是的一条直径，并且，垂足为M．
求证：．
3．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
4．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，OC交AD于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若CE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．
5．如图，为的直径，为弦的中点，连接并延长与交于点，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，请求出四边形的面积。
6．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE．
（1）求证:AP = AO；
（2）若弦AB = 24，求OP的长．
7．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：四边形AEOD是正方形．
8．如图，已知AB是⊙O的直径 ， CD⊥AB ， 垂足为点E，如果BE=OE ， AB=12，求△ACD的周长
9．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
10．如图．的直径垂直于弦，垂足是E，，求的长．
11．如图，⊙O是的外接圆，且，求⊙O的半径．
12．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为M．
（1）求OM的长；
（2）求弦CD的长．
13．如图，直径和弦相交于点，=2，=6，∠=30°，求弦长．
14．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE∶CD=5∶24
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时4 m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
15．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，垂足为E点．
（1）如图1，当AE=4，BE=2时，求CD的长度；
（2）如图2，连接AC，BD，点M为BD的中点．求证：ME⊥AC．
16．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．
（1）求证：BE=CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．
17．如图，已知是的直径，弦于点，点在上，.
（1）判断、的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求线段的长；
（3）若恰好经过圆心，求的度数.
参考答案
1．
证明：连结OA、OC，如图，
∵E、F分别为弦AB、CD的中点，
∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，
∵AB=CD，
∴AE=CF，
在Rt△AEO和Rt△COF中，
，
∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL），
∴OE=OF．
2．
证明：连接，，则．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
，
∴
∴．
3．（
解：（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG．
（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（）2+42，
解得r＝或（舍弃），
∴⊙O的半径为．
4．
解：（1）是的直径，
，
，
．
，
，
；
（2）由（1）可知，
又，
．
设的半径为，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
的半径为5．
5．
解：(1)证明：∵F为弦AC的中点，∴OD⊥AC，
∵DE切⊙O于点D，∴OD⊥DE，∴AC∥DE；
(2)如图，连接CD，
∵AC∥DE，且OA＝AE，
∴F为OD的中点，即OF＝FD，
又∵AF＝CF，∠AFO＝∠CFD，
∴AFO≌CFD(SAS)，
∴S△AFO＝S△CFD，∴S四边形ACDE＝S△ODE，
在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝6，∴OE＝12，
∴DE＝＝＝6，
∴S四边形ACDE＝S△ODE＝×OD×DE＝×6×6＝18．
6．
（1）证明：∵PG平分∠EPF
∴∠EPO=∠APO
∵OA∥PE
∴∠EPO=∠AOP
∴∠APO=∠AOP
∴AP=AO
（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，
根据垂径定理得到AH=BH==12
∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25
在中，
由勾股定理得：
则OP的长为
故答案为：
7．
证明：∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝AB．
同理AE＝CE＝AC．
∵AB＝AC，∴AD＝AE．
∵OD⊥ABOE⊥ACAB⊥AC，
∴∠OEA＝∠A＝∠ODA＝90°，
∴四边形ADOE为矩形．
又∵AD＝AE，
∴矩形ADOE为正方形．
8．
解：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD．
∵AB=12cm，∴AO=BO=CO=6cm．
∵BE=OE，∴BE=OE=3cm，AE=9cm．
在Rt△COE中，∵CD⊥AB，∴OE2+CE2=OC2，∴CE==，∴CD=2CE= cm．
同理可AC=AD=cm，∴△ACD的周长为cm．
9．
试题解析：如图，连接ON，OA，
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB=7.2m，
∴AD=AB=3.6m．
又∵CD=2.4m，
设OA=OC=ON=r，则OD=（r-2.4）m，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：r2=（r-2.4）2+3.62，解得r=3.9，
∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB=2m，
∴CH=2.4-2=0.4（m），
∴OH=r-CH=3.9-0.4=3.5（m），
在Rt△OHN中，HN2=ON2-OH2=3.92-3.52=2.96（m2），
∴HN=（m），
∴MN=2EN=2×≈3.44m＞3m，
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
10．
解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=22.5°，
∴∠COE=45°，
在Rt△OCE中，OC=2，∠COE=45°，
所以CE=OE，
由勾股定理可得：
CE2+OE2=OC2，
所以2 CE2=OC2，
∴CE==，
∴CD=2CE=．
11．
连接OA交BC于D点，连接BO
因为AB=AC，所以弧AB＝弧AC，
则OA垂直平分BC（垂径定理），BD= 12，
在直角三角形ABC中根据勾股定理AD＝5，
在直角三角形OBD中，设半径OB＝x，
则有：，解方程得：x＝16.9，
答：⊙O的半径为16.9.
12．
试题解析：
∵AB=10，
∴OA=5，
∵ON：AN=2：3，
∴ON=2，
∵∠ANC=30°，
∴∠ONM=30°，
∴OM=ON=1；
（2）如图，连接OC，
由勾股定理得：
CM2=CO2-OM2
=25-1=24，
∴CM=2 ，
∴CD=2CM=4．
13．
解：过点作，垂足为.
∵ ，
∴ .
∵ ∠，
∴ ,
∴ =.
14．
（1）∵直径AB=26m，
∴OD=，
∵OE⊥CD，
∴，
∵OE：CD=5：24，
∴OE：ED=5：12，
∴设OE=5x，ED=12x，
∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，
解得x=1，
∴CD=2DE=2×12×1=24m；
（2）由（1）得OE=1×5=5m，
延长OE交圆O于点F，
∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，
∴（小时），即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．
15．
解：（1）如图1，连接OC．
∵ AE=4，BE=2，
∴AB =6，
∴CO =AO=3，
∴OE =AE-AO=1，
∵CD⊥AB，
∴ CE=
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，
∴ CD=2CE=．
（2）证明：如图2，延长ME与AC交于点N．
∵CD⊥AB，
∴∠BED=90°．
∵ M为BD中点，
∴EM =BD =DM，
∴∠DEM=∠D，
∴∠CEN=∠DEM=∠D．
∵∠B=∠C，
∴∠CNE =90°，
即ME⊥AB．
16．
试题解析：（1）∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；
（2）四边形BFCD是菱形．
∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，
在△BED和△CEF中，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形；
（3）∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DE AE，设DE=x，∵BC=8，AD=10，
∴42=x（10﹣x），解得：x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD==2．
17．
（1）BC∥MD．理由如下：
∵∠M=∠D，∠M=∠C，∴∠D=∠C，∴BC∥MD；
（2）连接OC．
∵AE=16，BE=4，∴OB==10，∴OE=10﹣4=6．
∵CD⊥AB，∴CE=CD．在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得：CE=8，∴CD=2CE=16；
（3）如图2．
∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，即∠BOD=2∠D．
∵AB⊥CD，∴∠BOD+∠D=90°，即3∠D=90°，解得：∠D=30°．
试卷第1页，共1页
同课章节目录