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2021~2022学年度上学期无锡市高三期中质量检测
数 学 试 卷
2021.11.9
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)
1．已知集合，集合B＝{x|y＝ln(x－1)}，则A∩B等于( )
A．{x|1＜x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x≥2}
2．设复数z满足2z＋＝3＋6i，则z等于( )
A．1＋2i B．1＋6i C．3＋2i D．3＋6i
3．“a∈[0，1]”是“ x∈R，”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和．则最小的一份为( )
A． B． C． D．
5．已知函数y＝f(x)的图象与函数的图象关于直线y＝x对称，函数g(x)是奇函数，且当x＞0时，g(x)＝f(x)＋x，则g(－4)＝( )
A．－18 B．－12 C．－8 D．－6
6．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cosα＋1＝0，则tanα等于( )
A． B． C． D．
7．已知向量＝(1，3)，向量＝(3，t)，＝2，则cos<，>等于( )
A． B． C． D．
8．已知函数有且只有一个零点，则实数a的值为( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的有( )
A． B． C．ln(x－y＋1)＞0 D．sinx＞siny
10．已知函数f(x)＝，满足对任意的x∈R，f(x)≥ax恒成立，则实数a的取值可以是( )
A． B． C． D．
11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”．如取m＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n＝7．则下列命题正确的有( )
A．若n＝2，则m只能是4
B．当m＝17时，n＝12
C．随着m的增大，n也增大
D．若n＝7，则m的取值集合为{3，20，21，128}．
12．已知函数f(x)＝sin|x|＋|cosx|，下列叙述正确的有( )
A．函数y＝f(x)的周期为2π
B．函数y＝f(x)是偶函数
C．函数y＝f(x)在区间上单调递减
D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)
13．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且(n∈N*)，则 ．
14．已知函数y＝f(x)满足，则 ．
15．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，角A为直角，点P为平面ABC上的一点，则的最小值为 ．
16．函数的零点个数为 ；当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答．
①在(0，2π)上有且仅有4个零点；
②在(0，2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点．
设函数(ω∈N*)，且满足 ．
(1)求ω的值；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图像，求g(x)在(0，2π)上的单调递减区间．
18．(12分)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式；
(2)利用题目中的推广结论，求函数图象的对称中心．
19．(12分)在锐角三角形ABC中，已知．
(1)求角A的值；
(2)若，求b＋c的取值范围．
20．(12分)在△ABC中，已知，D为BC的中点，E为AB边上的一个动点，AD与CE交于点O．设．
(1)若，求的值；
(2)求的最小值．
21．(12分)已知正项数列{an}的前项积为Tn，且满足an＝(n∈N*)．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若＞10，求n的最小值．
22．(12分)已知函数．
(1)当m＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)的最小值为－1，求实数m的值．
S高三数学试卷 第 页(共4页)启用前★保密
2021~2022学年度上学期无锡市高三期中质量检测
数 学 试 卷
2021.11.9
一、单项选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的．)
1．已知集合A＝{x|y＝ 2－x}，集合 B＝{x|y＝ln(x－1)}，则 A∩B等于( )
A．{x|1＜x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x≥2}
2．设复数 z满足 2z -＋z＝3＋6i，则 z等于( )
A．1＋2i B．1＋6i C．3＋2i D．3＋6i
3．“a∈[0，1]”是“ x∈R，x2－ax＋1＞0”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把 100个面包分
S高三数学试卷 第 1 页(共 12页)
给 5 1个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和．则
7
最小的一份为( )
A 5． B 10． C 5． D 11．
3 3 6 6
5 x．已知函数 y＝f(x)的图象与函数y＝2 的图象关于直线 y＝x对称，函数 g(x)是奇函数，且
当 x＞0时，g(x)＝f(x)＋x，则 g(－4)＝( )
A．－18 B．－12 C．－8 D．－6
6．已知α∈(－π，0)，且 3cos2α＋4cosα＋1＝0，则 tanα等于( )
A 2 B 2． ．2 2 C．－2 2 D．－
4 4
→ → → → →
7．已知向量OA＝(1，3)，向量OB＝(3，t)，|AB |＝2，则 cos等于( )
S高三数学试卷 第 2 页(共 12页)
A 10 10 3 10 3 10．－ B． C． D．－
10 10 10 10
8 f(x) ex－2 e－x＋2 asin(πx π．已知函数 ＝ ＋ ＋ － )有且只有一个零点，则实数 a的值为( )
3 6
A．4 B．2 C．－2 D．－4
二、多项选择题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．)
9．已知实数 x，y满足 ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的有( )
A．x3 y3＞ B 1 1． ＜ C．ln(x－y＋1)＞0 D．sinx＞siny
x y
S高三数学试卷 第 3 页(共 12页)
x2＋2，x＜0
10．已知函数 f(x)＝ ex x 0 ，满足对任意的 x∈R，f(x)≥ax恒成立，则实数 a的取值， ≥
可以是( )
A．－2 2 B．－ 2 C． 2 D．2 2
11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3加 1；若是偶数，就将该数除以 2．反复进
行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈 1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹
猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数 m，经过 n步变换，第一次到达 1，就称为 n
步“雹程”．如取 m＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过 7
个步骤变成 1，得 n＝7．则下列命题正确的有( )
A．若 n＝2，则 m只能是 4
B．当 m＝17时，n＝12
C．随着 m的增大，n也增大
D．若 n＝7，则 m的取值集合为{3，20，21，128}．
S高三数学试卷 第 4 页(共 12页)
12．已知函数 f(x)＝sin|x|＋|cosx|，下列叙述正确的有( )
A．函数 y＝f(x)的周期为 2π
B．函数 y＝f(x)是偶函数
C y f(x) [3π 5π．函数 ＝ 在区间 ， ]上单调递减
4 4
D． x1，x2∈R.|f(x1)－f(x2)|≤ 2
选项 B对；
S高三数学试卷 第 5 页(共 12页)
三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共计 20分．)
13．已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn，且lnan＋1＝2Sn＋2(n∈N*)，则a1＝ ．
14 π π．已知函数 y＝f(x)满足f(x)＝f′( )sinx－cosx，则f′( )＝ ．
4 4
15．已知△ABC是腰长为 1的等腰直角三角形，角 A为直角，点 P为平面 ABC上的一点，
→
则PB
→
·PC的最小值为 ．
S高三数学试卷 第 6 页(共 12页)
16．函数f(x) x2＝ －ax－1的零点个数为 ；当 x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数
a的取值范围为 ．
四、解答题(本大题共 6小题，共 70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答．
S高三数学试卷 第 7 页(共 12页)
①在(0，2π)上有且仅有 4个零点；
②在(0，2π)上有且仅有 2个极大值点和 2个极小值点．
f(x) sin(ωx π设函数 ＝ ＋ )(ω∈N*)，且满足 ．
2 3
(1)求ω的值；
(2)将函数 f(x) π的图象向右平移 个单位得到函数 g(x)的图像，求 g(x)在(0，2π)上的单调递减
3
区间．
【解析】
18．(12分)我们知道，函数 y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 y
＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 y＝f(x)的图象关于点 P(a，b)成中心对称
图形的充要条件是函数 y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式；
(2) 3 2利用题目中的推广结论，求函数f(x)＝x －3x ＋4图象的对称中心．
【解析】
S高三数学试卷 第 8 页(共 12页)
19 (12 ) ABC tan2A sinA． 分 在锐角三角形 中，已知 ＝ ．
cosA－1
(1)求角 A的值；
(2)若a＝2 3，求 b＋c的取值范围．
【解析】
20 5 11．(12分)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝ 11，cos∠BAC＝ ，D为 BC的中点，E为
22
→ →
AB边上的一个动点，AD与 CE交于点 O．设AE＝xAB．
(1) x 1 CO若 ＝ ，求 的值；
4 OE
→ →
(2)求AO·CE的最小值．
【解析】
S高三数学试卷 第 9 页(共 12页)
T
21．(12分)已知正项数列{a }的前项积为 T ，且满足 a ＝ nn n n (n∈N*)．
3Tn－1
(1) 1求证：数列{Tn－ }为等比数列；2
(2)若a1＋a2＋…＋an＞10，求 n的最小值．
【解析】
S高三数学试卷 第10页(共 12页)
22．(12 x－m分)已知函数f(x)＝e －lnx(m≥0)．
(1)当 m＝0时，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2) 1若函数 f(x)的最小值为 －1，求实数 m的值．
e
【解析】
S高三数学试卷 第11页(共 12页)
S高三数学试卷 第12页(共 12页)
