“超级全能生”2022高考全国甲卷地区1l月联考
数学(理科)
注意事项
1本试题卷共4页,满分150分,考试时间120分钟
2答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效
4.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号
5考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回
选择题本题共12小题每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的
1已知集合A=1+20,B={|+2小,则A∩B=
A.(-3,2)
C.[-2,2)
D.[-3,2)
2若复数z满足2z-i=12,则z
吉-}B-}+3
3再生资源回收正在以物资不断循环利用的经济发展模式成为全球潮流可持续发展的主要标志是
资源能够永远利用下面是2011-2020年中国主要再生资源回收量(亿吨)统计图已知后5年再生
资源回收量的平均值比前5年平均值增长1.044亿吨,则2020年的再生资源回收量估计是()
2011-200年中国主要再生资源回收量(单位:亿吨
233245247254
201120122013201420152062017201820192020
A47亿吨
B,357亿吨
C.372亿吨
D3.63亿吨
甲卷数学(理科)试题卷第1页(共4页)
4.一个矩形如果从中截去一个最大的正方形,剩下的矩形的宽与长
之比,与原矩形的一样(即剩下的矩形与原矩形相似),其相似比为
20.618,称为黄金比,称该矩形为黄金矩形黄金矩形可以用
上述方法无限地分割下去已知ABCD是黄金矩形,按上述方法分
割若干次以后,得如图所示图形若在ABCD内任取一点,则该点取
自阴影内部的概率为
G H
√5
5等差数列}a的前n项和为Sn,若a3+a1=24,S3=40,则a2+a等于
B.14
C.24
6已知一个水平放置的棱长为4的正方体的无盖盒子,里面装有若干水(不满),在上面放一个倒置的
圆锥体,圆锥的轴截面是腰长为6的等腰直角三角形若水恰好不溢出,则原来正方体中水的深度
估计为(参考数据:x≈3)
A.3.5
C.3.2
D.4.2
7将函数(2)2m(2x+3)+(x+)的图象向右平移叭(>0单位长度,得到函数g(x)
的图象关于x=对称,则φ的最小值为
B.4
3y+3≥0,
8已知x,y满足不等式组x-y-3≤0,则二的取值范围为
3≥0
D
9如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某正方体被一平匚
面所截后,剩余部分几何体的三视图,其中C是正方体的一个顶点
则从点M沿该几何体表面到达C的最短路径长为
√5
B.2√17
C.2√13
D.6
10某学校对音乐、体育、美术、书法特长生进行专项测试现安排5名
学生志愿者到现场协助,若每名志愿者参与一个组的管理工作,每
组至少有1人协助工作,则不同的安排方式共有
A.20种
B24种
D,240种
俯视图
11.已知直线l过抛物线y2=2mx(p>0)的焦点F与抛物线交于A,B两点若直线l的斜率为2
AB=5,以AB为直径的圆与x轴交于D,E,则DF·|EF
B
C.5
D.6
12已知定义域为(-∞,0)的函数∫(x)满足x2-2(x)=xf(x)(f'(x)为f(x)的导数)成立则不等
式(3x+202)2f(3x+202)2023,-674
2023,-67
2021
C.(-674,
D.(-1011,-674)
二、填空题:本题共4小题每小题5分,共20分
13已知a=(1,),b=(t,2),若(2a+b)a=1,则实数;的值为
甲卷数学(理科)试题卷第2页(共4页)“超级全能生”2022高考全国甲卷地区 11 月联考
数学理科答案及评分标准
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
选择题评分标准：选对得分，错选，多选，不选均不得分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B D D D A A A C D C B
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
填空评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多
写答案、少写答案均不给分。
1
13. 1或
2
14.④
2
15.
3
16. 4 3
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
解答题评分标准
（1）导函数：
求单调区间过程要清楚，分类讨论各区间情况需做到无遗漏。遗漏不给分。
取值写成区间或者集合的形式，未写扣 1 分。
（2）选做题：
[坐标系与参数方程]极坐标方程转化为直角坐标方程时需要过程，没有过程不得
分。
[解不等式]解集要写成集合或区间，未写扣 1 分。
（3）具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分。
（4）试题有不同解法时，解法正确即可酌情给分。
（一）必考题：共 60 分.
17.解：(Ⅰ)根据散点图，可知 y＝a＋bt 更适合作为渗透率 y 和年份 t 的回归方
程模型．(2 分)
(Ⅱ)由 x＝t－2 018，得 5 组的对应数据为(－2，0.2)，(－1，0.4)，(0，0.6)，
(1，1.0)，(2，1.4)，(3 分)
则^ ^a＝ －b ＝0.72－0.3×0＝0.72，(7 分)
所以 y 关于 x 的线性回归方程为^y＝0.3x＋0.72.(8 分)
(Ⅲ)(ⅰ)t＝2 022，x＝2 022－2 018＝4，(9 分)
此时^y＝0.3×4＋0.72＝1.92，
所以估计 2022 年全球 L 3 渗透率是 1.92%.(10 分)
^
(ⅱ)令y＝0.3x＋0.72>10，解得 x>30.9≈31，(11 分)
t＝31＋2 018＝2 049，
所以预计至少要到 2049 年，全球 L 3 渗透率能超过 10%.(12 分)
18.证明：若选①③为条件，②为结论．
设等差数列{an}的公差为 d，d>0，
由 S2＝4S1 得 a1＋a2＝4a1，
即 2a1＋d＝4a1，所以 d＝2a1，(4 分)
n（n－1）
则 Sn＝na1＋ d 2
n（n－1）
＝na1＋ ×2a1＝
2
n a1，(6 分) 2
d
当 n≥2 时， Sn－ Sn－1＝n a1－(n－1) a1＝ a1＝ ，(8 分) 2
若选①②为条件，③为结论．
设数列{an}的公差为 d，d>0，
则 S1＝ a1，
S2＝ a1＋（a1＋d）＝ 2a1＋d，
S3＝ a1＋（a1＋d）＋（a1＋2d）＝ 3（a1＋d）.
即( a1＋ 3（a1＋
2 2
d）) ＝(2 2a1＋d) ，
解得 d＝2a1，所以 a2＝a1＋d＝3a1，(10 分)
所以 S2＝4a1＝4S1.(12 分)
若选②③为条件，①为结论．
由题意得 S2＝4S1＝4a1，
所以 S2＝2 S1＝2 a1.(2 分)
所以 Sn＝n S1＝n a1，即 Sn＝
2
n a1.(6 分)
当 2 2n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n a1－(n－1) a1＝(2n－1)a1，(8 分)
当 n＝1 时上式也成立，故数列{an}的通项公式 an＝(2n－1)a1.(10 分)
由 an＋1－an＝[2(n＋1)－1]a1－(2n－1)a1＝2a1 为常数，可知数列{an}是公差为
2a1 的等差数列．(12 分)
19 .解：(Ⅰ)证明：如图，连接 EC.
AG AF
因为 ＝ ，所以 GF∥EC.(2 分)
GE FC
因为 EC 平面 BCDE，GF 平面 BCDE，
所以 GF∥平面 BCDE.(4 分)
(Ⅱ)以 B 为坐标原点，分别以 BC，BE 所在直线为 y，z 轴，以过点 B 且垂
直于平面 BCDE 的直线为 x 轴建立如图所示空间直角坐标系 B－xyz，(6 分)
3
则 E(0，0，3)，A( 3，－1，0)，F ，1，0 ，D(0，2，1)，(7 分)
3
3
所以→ → →EA＝( 3，－1，－3)，EF＝ ，1，－3 ，ED＝(0，2，－2)，(8 分)
3
设平面 AEF 的法向量为 m＝(x1，y1，z1)，
→ 3x1－y1－3z1＝0， m·EA＝0，
则 即 3
→ m·EF＝0， x1＋y1－3z1＝0，3
2
令 x1＝ 3，得 y1＝1，z1＝ ， 3
2
则 m＝ 3，1， .(9 分)
3
设平面 EFD 的法向量 n＝(x2，y2，z2)，
→ 2y2－2z2＝0， n·ED＝0，
则 即 3
→
n·EF＝0， x2＋y2－3z3 2＝0，
令 z2＝1，得 x2＝2 3，y2＝1，
则 n＝(2 3，1，1)，(10 分)
m·n
所以 cos〈m，n〉＝
|m|·|n|
2
6＋1＋
3
＝
4
3＋1＋ × 12＋1＋1
9
23 35
＝ ，(11 分)
140
由图可得二面角 A－EF－D 的平面角是钝角，
23 35
所以二面角 A－EF－D 的余弦值为－ .(12 分)
140
20. 解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
－（ － ） 24 4 3m 1 x
f ′(x)＝ －(3m－1)x＝ .(1 分)
x x
1
当 m≤ 时，f ′(x)>0 在(0，＋∞)上恒成立，即 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2
3
分)
1 1
当 m> 时，由 f ′(x)>0，可得 03 3m－1
1
所以 f(x)在 0，2 上单调递增；(3 分)
3m－1
1
由 f ′(x)<0，可得 x>2 ，
3m－1
1
所以 f(x)在 2 ，＋∞ 上单调递减．(4 分)
3m－1
1
综上，当 m≤ 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
3
1 1 1
当 m> 时，f(x)在 0，2 上单调递增，在 2 ，＋∞ 上单调
3 3m－1 3m－1
递减．(5 分)
－1
(Ⅱ)当 x∈[e ，＋∞)时，f(x)无零点，等价于当 －1x∈[e ，＋∞)时，f(x)>0 或
f(x)<0 恒成立，
3m－1 －
由 2 1f(x)<0 恒成立，得 4lnx－ x <0 在[e ，＋∞)上恒成立，
2
3m－1 －
由 f(x)>0 恒成立，得 2 14lnx－ x >0 在[e ，＋∞)上恒成立，(6 分)
2
3m－1 lnx 3m－1 lnx
即 > 2 或 < 2 在
－1
[e ，＋∞)上恒成立，
8 x 8 x
3m－1 lnx 3m－1 lnx
等价于 －> 12 或 < 2 ，x∈[e ，＋∞)．(7 分)
8 x max 8 x min
lnx 1－2lnx
设 g(x)＝ 2 ，则 g′(x)＝ 3 ，(8 分)
x x
令 g′(x)＝0，得 x＝ e.
因为当 －1, x∈[e e)时，g′(x)>0；
当 x∈( e，＋∞)时，g′(x)<0，
－
所以 g(x)在 1, [e e)上单调递增，在( e，＋∞)上单调递减，(9 分)
ln e 1
所以 g(x)max＝g( e)＝ ＝ .(10 分) e 2e
lnx
当 x→＋∞时，g(x)＝ 2 >0.
x
－1
又 －1
lne 2 2
g(e )＝ －2 ＝－e ，所以 g(x)min＝－e . e
3m－1 1 e＋4
由 > ，解得 m> ；(11 分)
8 2e 3e
－ － 23m 1 2 1 8e由 <－e ，解得 m< ，
8 3
1－
2
8e e＋4
所以实数 m 的取值范围为 －∞， ∪ ，＋∞ .(12 分)
3 3e
c 3
＝ ，a 2
21.解：(Ⅰ)由题意知 (2 分) a＝2，
2a ＝ 2 2b ＋c ，
a＝2，
解得 (3 分)
b＝1，
2
x
所以椭圆 的方程为 ＋ 2C y ＝1.(4 分)
4
(Ⅱ)根据题意，由 k1＋k2＝－1 易知 PQ 的斜率存在．
设 PQ 的方程为 y＝kx＋m(m－2k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(5 分)
y＝kx＋m，
联立 2 2 2 2x 消去 y 并整理得(1＋4k )x ＋8kmx＋4m －4＝0，(6 分)
＋
2
y ＝1，
4
－ 28km 4m －4
所以 x1＋x2＝ ，x x ＝ ，(7 分) 1＋ 24k 1 2 1＋ 24k
y1 y2
k1＝ (x1≠－2)，k2＝ (x2≠－2)，(8 分) x1＋2 x2＋2
y1 y2
则 k1＋k2＝ ＋ ＝－1， x1＋2 x2＋2
kx1＋m kx2＋m
即 ＋ ＝－1，(9 分)
x1＋2 x2＋2
整理得(1＋2k)x1x2＋(m＋2k＋2)(x1＋x2)＋4m＋4＝0，
2
4m －4 －8km
即(1＋2k)· 2＋(m＋2k＋2)· 2＋4m＋4＝0，(10 分)
1＋4k 1＋4k
得(m－2k)(m－2k＋1)＝0.
因为 m－2k≠0，所以 m＝2k－1，(11 分)
故直线 PQ 的方程为 y＝k(x＋2)－1，
所以直线 PQ 过定点(－2，－1)．(12 分)
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多做，则按所
做的第一题计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
x＝2cosα，
22.解：(Ⅰ)曲线 C 的参数方程为 (α 为参数)，
y＝ 3sinα
x
＝cosα，2
则 y
＝sinα，3
2 2
x y
即曲线 C 的普通方程为 ＋ ＝1.(2 分)
4 3
π
由 ρsin θ＋ ＝2 2，得 ρsinθ＋ρcosθ＝4，
4
则直线 l 的直角坐标方程为 x＋y－4＝0.(4 分)
(Ⅱ)由题意，设点 M 的坐标为(2cosα， 3sinα)，
当 MN⊥直线 l 时，|MN|取最小值，(6 分)
所以|MN|的最小值即 M 到直线 l 的距离 d(α)的最小值，
|2cosα＋ 3sinα－4| 2| 7sin（α＋φ）－4| 2 3
d(α)＝ ＝ ，其中 tanφ＝ ，(8 分)
2 2 3
当且仅当 sin(α＋φ)＝1 时，d(α)取得最小值，即|MN|取得最小值，最小值为
4 2－ 14
.(10 分)
2
23.解：(Ⅰ)当 a＝－1 时，f(x)＝|x－1|－|x＋2|，
f(x)≥2，即|x－1|－|x＋2|≥2，
x≤－2， －2即 或
－（x－1）＋（x＋2）≥2 －（x－1）－（x＋2）≥2
x≥1，
或 (3 分)
x－1－（x＋2）≥2，
3
解得 x≤－2 或－22
3
所以不等式 f(x)≥2 的解集为 －∞，－ .(5 分)
2
(Ⅱ)f(x)＝|x＋3a＋2|－|x－2a|
≤|(x＋3a＋2)－(x－2a)|
＝|5a＋2|，
当且仅当(x＋3a＋2)(x－2a)≥0 时等号成立．
因为 f(x)≤2 对任意 x∈R 恒成立，等价于 f(x)max≤2，(6 分)
所以|5a＋2|≤2，(7 分)
即－2≤5a＋2≤2，(8 分)
4
解得－ ≤a≤0，(9 分)
5
4
所以实数 a 的取值范围是 － ，0 .(10 分)
5
