1.2 空间向量在立体几何中的应用 课时检测 -2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册（含答案）
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| 名称 | 1.2 空间向量在立体几何中的应用 课时检测 -2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 251.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-19 10:49:58 | ||
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文档简介
课时跟踪检测（十） 空间向量在立体几何中的应用
[A级]
1．已知A(1，－1，2)，B(2，3，－1)，C(－1，0，0)，则△ABC的面积是( )
A． B．
C． D．
2.如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，点G为正方形ABCD的中心，点E为A1D1的中点，点F为AE的中点，则( )
A.C，E，F，G四点共面，且CF＝EG
B．C，E，F，G四点共面，且CF≠EG
C．C，E，F，G四点不共面，且CF＝EG
D．C，E，F，G四点不共面，且CF≠EG
3．(多选)已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，下列结论正确的是( )
A．DE⊥BF
B．EF与CH所成角为
C．EC⊥平面DBF
D．BF与平面ACFE所成角为
4.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C BF D的正切值为( )
A． B．
C． D．
5.如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF之和为________．
6．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为________．
7．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．
(1)求点M到直线AC1的距离；
(2)求点N到平面MA1C1的距离．
[B级]
8．长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝5，P是棱DD1上的动点，则△PA1C的面积最小时，DP＝( )
A．1 B．2
C． D．4
9．如图①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图②所示．
(1)求证A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小．
10.直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．
(1)证明：DF⊥AE；
(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成角的余弦值为？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由．
[C级]
11.如图所示，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500 kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|＝200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多少时，才能提起这块钢板？
参考答案
1．C
2． B
3．ABC
4．D
5．1
6．
7．
解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0＝，＝(2，0，1)，故点M到直线AC1的距离d＝ eq \r(||2－|·s0|2) ＝＝.
(2)设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，且n·＝0，即(x，y，z)·(0，2，0)＝0，且(x，y，z)·(2，0，－1)＝0，即y＝0且2x－z＝0，取x＝1，得z＝2，故n＝(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，与n同向的单位向量为n0＝，因为N(1，1，0)，所以＝(－1，1，－1)，故点N到平面MA1C1的距离d＝|·n0|＝.
8． A
9．
解：(1)证明：∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，又A1C 平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE.
(2)以C为原点，CB，CD，CA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，则易得A1(0，0，2)，D(0，2，0)，M(0，1，)，B(3，0，0)，E(2，2，0).设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，又＝(3，0，－2)，＝(－1，2，0)，∴令y＝1，则x＝2，z＝，∴n＝(2，1，).设CM与平面A1BE所成的角为θ.∵＝(0，1，)，∴sin θ＝|cos 〈n，〉|＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n·,|n|||))) ＝＝，∴CM与平面A1BE所成角的大小为.
10.
解：(1)证明：因为AE⊥A1B1，A1B1∥AB，所以AE⊥AB.
又因为AA1⊥AB，AA1∩AE＝A，所以AB⊥平面A1ACC1.
又因为AC 平面A1ACC1，所以AB⊥AC.
以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则有
A(0，0，0)，E，F，A1(0，0，1)，B1(1，0，1).
设D(x，y，z)，＝λ且λ∈[0，1]，即(x，y，z－1)＝λ(1，0，0)，则D(λ，0，1)，
所以＝.
因为＝，所以·＝－＝0，所以DF⊥AE.
(2)存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成角的余弦值为.理由如下：
由题可知平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1).
设平面DEF的法向量为n＝(a，b，c)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0.))
因为＝，＝，
所以即
令c＝2(1－λ)，则n＝(3，1＋2λ，2(1－λ)).
因为平面DEF与平面ABC所成角的余弦值为，
所以|cos 〈m·n〉|＝＝，
即＝，
解得λ＝或λ＝(舍)，所以当D为A1B1的中点时满足要求．
11.
解：如图所示，以点A为原点，平面ABC为xAy坐标平面，方向为y轴正方向，||为y轴的单位长度，建立空间直角坐标系Axyz，则正三角形的顶点坐标分别为A(0，0，0)，B(0，1，0)，C.
设力F1方向上的单位向量坐标为(x，y，z)，由于F1与，的夹角均为60°，利用向量的数量积运算，得
cos 60°＝＝(x，y，z)·(0，1，0)，①
cos 60°＝＝(x，y，z)·.②
由①②解得x＝－，y＝.
注意到向量(x，y，z)是单位向量，x2＋y2＋z2＝1，因此z＝.
于是F1＝200.
类似地，可以求出
F2＝200，
F3＝200.
这样，它们的合力
F1＋F2＋F3＝200
＝200(0，0，)，
这说明，作用在钢板上的合力方向向上，大小为200 kg，作用点为O.
由于200＜500，
所以钢板仍静止不动．
要提起这块钢板，设|F1|，|F2|，|F3|均为k，则需k＞500，
解得k＞＝.
因此，要提起这块钢板，|F1|，|F2|，|F3|均要大于 kg.
[A级]
1．已知A(1，－1，2)，B(2，3，－1)，C(－1，0，0)，则△ABC的面积是( )
A． B．
C． D．
2.如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，点G为正方形ABCD的中心，点E为A1D1的中点，点F为AE的中点，则( )
A.C，E，F，G四点共面，且CF＝EG
B．C，E，F，G四点共面，且CF≠EG
C．C，E，F，G四点不共面，且CF＝EG
D．C，E，F，G四点不共面，且CF≠EG
3．(多选)已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，下列结论正确的是( )
A．DE⊥BF
B．EF与CH所成角为
C．EC⊥平面DBF
D．BF与平面ACFE所成角为
4.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C BF D的正切值为( )
A． B．
C． D．
5.如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF之和为________．
6．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为________．
7．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．
(1)求点M到直线AC1的距离；
(2)求点N到平面MA1C1的距离．
[B级]
8．长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝5，P是棱DD1上的动点，则△PA1C的面积最小时，DP＝( )
A．1 B．2
C． D．4
9．如图①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图②所示．
(1)求证A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小．
10.直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．
(1)证明：DF⊥AE；
(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成角的余弦值为？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由．
[C级]
11.如图所示，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500 kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|＝200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多少时，才能提起这块钢板？
参考答案
1．C
2． B
3．ABC
4．D
5．1
6．
7．
解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0＝，＝(2，0，1)，故点M到直线AC1的距离d＝ eq \r(||2－|·s0|2) ＝＝.
(2)设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，且n·＝0，即(x，y，z)·(0，2，0)＝0，且(x，y，z)·(2，0，－1)＝0，即y＝0且2x－z＝0，取x＝1，得z＝2，故n＝(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，与n同向的单位向量为n0＝，因为N(1，1，0)，所以＝(－1，1，－1)，故点N到平面MA1C1的距离d＝|·n0|＝.
8． A
9．
解：(1)证明：∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，又A1C 平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE.
(2)以C为原点，CB，CD，CA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，则易得A1(0，0，2)，D(0，2，0)，M(0，1，)，B(3，0，0)，E(2，2，0).设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，又＝(3，0，－2)，＝(－1，2，0)，∴令y＝1，则x＝2，z＝，∴n＝(2，1，).设CM与平面A1BE所成的角为θ.∵＝(0，1，)，∴sin θ＝|cos 〈n，〉|＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n·,|n|||))) ＝＝，∴CM与平面A1BE所成角的大小为.
10.
解：(1)证明：因为AE⊥A1B1，A1B1∥AB，所以AE⊥AB.
又因为AA1⊥AB，AA1∩AE＝A，所以AB⊥平面A1ACC1.
又因为AC 平面A1ACC1，所以AB⊥AC.
以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则有
A(0，0，0)，E，F，A1(0，0，1)，B1(1，0，1).
设D(x，y，z)，＝λ且λ∈[0，1]，即(x，y，z－1)＝λ(1，0，0)，则D(λ，0，1)，
所以＝.
因为＝，所以·＝－＝0，所以DF⊥AE.
(2)存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成角的余弦值为.理由如下：
由题可知平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1).
设平面DEF的法向量为n＝(a，b，c)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0.))
因为＝，＝，
所以即
令c＝2(1－λ)，则n＝(3，1＋2λ，2(1－λ)).
因为平面DEF与平面ABC所成角的余弦值为，
所以|cos 〈m·n〉|＝＝，
即＝，
解得λ＝或λ＝(舍)，所以当D为A1B1的中点时满足要求．
11.
解：如图所示，以点A为原点，平面ABC为xAy坐标平面，方向为y轴正方向，||为y轴的单位长度，建立空间直角坐标系Axyz，则正三角形的顶点坐标分别为A(0，0，0)，B(0，1，0)，C.
设力F1方向上的单位向量坐标为(x，y，z)，由于F1与，的夹角均为60°，利用向量的数量积运算，得
cos 60°＝＝(x，y，z)·(0，1，0)，①
cos 60°＝＝(x，y，z)·.②
由①②解得x＝－，y＝.
注意到向量(x，y，z)是单位向量，x2＋y2＋z2＝1，因此z＝.
于是F1＝200.
类似地，可以求出
F2＝200，
F3＝200.
这样，它们的合力
F1＋F2＋F3＝200
＝200(0，0，)，
这说明，作用在钢板上的合力方向向上，大小为200 kg，作用点为O.
由于200＜500，
所以钢板仍静止不动．
要提起这块钢板，设|F1|，|F2|，|F3|均为k，则需k＞500，
解得k＞＝.
因此，要提起这块钢板，|F1|，|F2|，|F3|均要大于 kg.