1.2.5 空间中的距离课时检测-2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 1.2.5 空间中的距离课时检测-2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 311.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-19 10:51:13 | ||
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文档简介
课时跟踪检测 空间中的距离
[A级]
1．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为( )
A.10 B．3
C． D．
2.如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为( )
A．1 B．
C． D．
3．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则点A到平面B1D1DB的距离为( )
A． B．2
C． D．
4.如图所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为( )
A． B．
C． D．
5．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A． B．
C． D．
6．已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________．
7．已知棱长为1的正方体ABCD EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为________．
8．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．
9．已知在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离．
10.在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF∥平面EC1D.
(1)求BP的长；
(2)求点P到平面EC1D的距离．
[B级]
11.如图所示，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是( )
A． B．
C． D．
12．(多选)如图所示，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，若CF⊥平面B1DF，则AF的长为( )
A．a B．a
C．2a D．2a
13.如图所示，在已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，则A1B1到平面ABE的距离为________，二面角A BE C的余弦值为________．
14.如图，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若二面角D PC A的余弦值为，求点A到平面PBC的距离．
[C级]
15.如图所示，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1．D
2. C
3．C
4. B
5．B
6．2
7．
8．
9．解：以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，则＝(1，－2，1)， ＝(1，0，－2).
||＝＝，
·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，
在上的投影长为 eq \f(|·|,||) ＝ .
所以点A到EF的距离
d＝
＝＝.
10.
解：(1)以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
B(1，0，1)，D(0，2，1)，F(1，1，1)，E(0，1，0)，C1(1，2，0)，
设P(a，b，1)，＝λ，λ∈[0，1]，＝(0，1，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，2，0)，
则＝(a－1，b，0)＝(－λ，2λ，0)，
∴P(1－λ，2λ，1)，＝(λ，1－2λ，0)，
设平面DEC1的法向量n＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·＝y＋z＝0，,n·＝x＋y＝0，)) 取x＝1，得n＝(1，－1，1)，
∵PF∥平面EC1D，
∴·n＝λ－1＋2λ＝0，
解得λ＝，
∴P，
∴BP的长||＝＝.
(2)由(1)得平面DEC1的法向量n＝(1，－1，1)，＝，
∴点P到平面EC1D的距离：
d＝ eq \f(|·n|,|n|) ＝＝.
11. C
12．AC
13.
14.
解：(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC 平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
(2)设AP＝h，取CD的中点E，连接AE，则AE⊥CD，∴AE⊥AB.又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AB，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，h)，C，
D，B(0，2，0)，
＝，＝(0，1，0)，
设平面PDC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·＝0，,n1·＝0，)) 即
取x1＝h，∴n1＝.
由(1)知平面PAC的一个法向量为eq \o(,\s\up7(―→))＝，
∴|cos 〈n1，eq \o(,\s\up7(―→))〉|＝＝，
解得h＝，
同理可求得平面PBC的一个法向量n2＝(3，，2)，
∴点A到平面PBC的距离为
d＝ eq \f(|·n2|,|n2|) ＝＝.
15.
解：取AD的中点O，连接PO，OC.在△PAD中，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.
又侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PO⊥平面ABCD.
建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，
则＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0).
假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，
设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，则＝(－1，y，0).
设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0，)) ∴即x0＝y0＝z0，取x0＝1，
则平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，1).
∴点Q到平面PCD的距离d＝ eq \f(|·n|,|n|) ＝＝，
∴y＝－或y＝(舍去).此时＝，＝，则||＝，||＝.
∴存在点Q满足题意，此时＝.
[A级]
1．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为( )
A.10 B．3
C． D．
2.如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为( )
A．1 B．
C． D．
3．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则点A到平面B1D1DB的距离为( )
A． B．2
C． D．
4.如图所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为( )
A． B．
C． D．
5．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A． B．
C． D．
6．已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________．
7．已知棱长为1的正方体ABCD EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为________．
8．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．
9．已知在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离．
10.在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF∥平面EC1D.
(1)求BP的长；
(2)求点P到平面EC1D的距离．
[B级]
11.如图所示，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是( )
A． B．
C． D．
12．(多选)如图所示，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，若CF⊥平面B1DF，则AF的长为( )
A．a B．a
C．2a D．2a
13.如图所示，在已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，则A1B1到平面ABE的距离为________，二面角A BE C的余弦值为________．
14.如图，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若二面角D PC A的余弦值为，求点A到平面PBC的距离．
[C级]
15.如图所示，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1．D
2. C
3．C
4. B
5．B
6．2
7．
8．
9．解：以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，则＝(1，－2，1)， ＝(1，0，－2).
||＝＝，
·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，
在上的投影长为 eq \f(|·|,||) ＝ .
所以点A到EF的距离
d＝
＝＝.
10.
解：(1)以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
B(1，0，1)，D(0，2，1)，F(1，1，1)，E(0，1，0)，C1(1，2，0)，
设P(a，b，1)，＝λ，λ∈[0，1]，＝(0，1，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，2，0)，
则＝(a－1，b，0)＝(－λ，2λ，0)，
∴P(1－λ，2λ，1)，＝(λ，1－2λ，0)，
设平面DEC1的法向量n＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·＝y＋z＝0，,n·＝x＋y＝0，)) 取x＝1，得n＝(1，－1，1)，
∵PF∥平面EC1D，
∴·n＝λ－1＋2λ＝0，
解得λ＝，
∴P，
∴BP的长||＝＝.
(2)由(1)得平面DEC1的法向量n＝(1，－1，1)，＝，
∴点P到平面EC1D的距离：
d＝ eq \f(|·n|,|n|) ＝＝.
11. C
12．AC
13.
14.
解：(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC 平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
(2)设AP＝h，取CD的中点E，连接AE，则AE⊥CD，∴AE⊥AB.又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AB，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，h)，C，
D，B(0，2，0)，
＝，＝(0，1，0)，
设平面PDC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·＝0，,n1·＝0，)) 即
取x1＝h，∴n1＝.
由(1)知平面PAC的一个法向量为eq \o(,\s\up7(―→))＝，
∴|cos 〈n1，eq \o(,\s\up7(―→))〉|＝＝，
解得h＝，
同理可求得平面PBC的一个法向量n2＝(3，，2)，
∴点A到平面PBC的距离为
d＝ eq \f(|·n2|,|n2|) ＝＝.
15.
解：取AD的中点O，连接PO，OC.在△PAD中，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.
又侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PO⊥平面ABCD.
建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，
则＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0).
假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，
设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，则＝(－1，y，0).
设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0，)) ∴即x0＝y0＝z0，取x0＝1，
则平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，1).
∴点Q到平面PCD的距离d＝ eq \f(|·n|,|n|) ＝＝，
∴y＝－或y＝(舍去).此时＝，＝，则||＝，||＝.
∴存在点Q满足题意，此时＝.