2.5.1 椭圆的标准方程 课时练习-2021-2022学年高二上学期数学 人教B版(2019)选择性必修第一册（含答案）

课时跟踪检测 椭圆的标准方程
[A级]
1．焦点坐标为(0，3)，(0，－3)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为(　　)
A．＋＝1　　　　 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
2．若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为(　　)
A．5 B．3
C．5或3 D．8
3．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段
B．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆
4．“1＜m＜3”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆C的标准方程为(　　)
A．＋＝1
B．＋＝1或＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1或＋＝1
6．椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆＋＝1的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则光线所经过的总路程为________．
7．若△ABC的两个顶点坐标A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为____________．
8．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
9．求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点和；
(2)过点(－3，2)且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
10．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5，3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．
[B级]
11．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5 B．7
C．13 D．15
12．(多选)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是(　　)
A．△PF1F2的周长为10
B．△PF1F2面积的最大值为2
C．当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为
D．存在点P使得·＝0
13．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________．
14．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
[C级]
15．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1).
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求||·||的最大值；
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值；
(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．
参考答案
1． C　
2． C　
3． AC　
4． B　
5． B　
6． 12
7．＋＝1(y≠0)
8．2　120°
9．
解：(1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).∵椭圆过点和，
∴解得
∴所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
(2)由题意得已知椭圆＋＝1中a＝3，b＝2，
且焦点在x轴上，∴c2＝9－4＝5.
∴设所求椭圆方程为＋＝1.
∵点(－3，2)在所求椭圆上，
∴＋＝1.∴a′2＝15或a′2＝3(舍去).
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10．解：法一：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，
由已知条件得解得
所以b2＝a2－c2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
法二：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2.
由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4.
在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝；
在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.
依题意有＝3，得b2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
11． B　
12． AB　
13． 8
14．
解：(1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，
所以a2－a2＝1，即a2＝1，所以a2＝4，b2＝3，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4.又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝，|PF2|＝.又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝.
故∠F1PF2的余弦值等于.
15．
解：(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
即|F1F2|＝2，
又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以|PF1|·|PF2|≤＝＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为4，
即||·||的最大值为4.
(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，
由＝λ得x0＝，y0＝－.
又 eq \f(x,4) ＋y＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7或λ＝1，又与方向相反，故λ＝1舍去，所以λ＝－7.
(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，
所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1周长最大，最大值为8.