2.7.2 抛物线的几何性质 课时练习-2021-2022学年高二上学期数学 人教B版（2019）选择性必修第一册（含答案）

课时跟踪检测 抛物线的几何性质
[A级]
1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝－x　　　　　　　 B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
2．在同一平面直角坐标系中，方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0的曲线大致为(　　)
3．设过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点的弦为AB，则|AB|的最小值为(　　)
A． B．p
C．2p D．无法确定
4．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．2
5．(多选)已知点A(－2，4)在抛物线y2＝－2px(p>0)上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是(　　)
A．抛物线的准线方程为x＝2
B．抛物线的焦点坐标为(－2，0)
C．点B的坐标为(－2，－2)
D．△OAB的面积为8
6．已知直线l平行于x轴，且l与y轴的交点为(0，4)，点A在直线l上，动点P的横坐标与A的横坐标相同，且⊥，则P点的轨迹方程为______________．
7．已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是________．
8．如图所示，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________．
9．已知等边△AOB的顶点A，B在抛物线y2＝x上，O为坐标原点，顶点A到抛物线的焦点F的距离等于，求△AOB的面积．
10．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1 m)
[B级]
11．已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，＝3，则|k|＝(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．
C． D．
12．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则(　　)
A．△ABF是等边三角形
B．|BF|＝3
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
13．已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．
14．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程．
[C级]
15．已知抛物线C：y2＝4x，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C于点P1，P2和点P3，P4，线段P1P2，P3P4的中点分别为M1，M2.
(1)求线段P1P2的中点M1的轨迹方程；
(2)求△FM1M2面积的最小值；
(3)过M1，M2的直线l是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
参考答案
1． D　
2． D　
3． C　
4． B　
5． ABD　
6．x2＝－4y
7． 3
8． 1＋
9．解：∵△AOB是等边三角形，A，B在抛物线y2＝x上，
∴顶点A，B关于抛物线的对称轴(x轴)对称，不妨设A(y0，)(y0＞0)，则B(y0，－).
由|AF|＝y0＋＝，解得y0＝3，
∴＝，
∴△AOB的边长|AB|＝2＝2，
∴△AOB的面积为×(2)2×＝3.
10．
解：如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).
依题意有P′(1，－1)在此抛物线上，代入得p＝.
故得抛物线方程为x2＝－y.
又B点在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，
即|AB|＝，则|AB|＋1＝＋1，
因此所求水池的直径为2(1＋)m，约为5 m，
即水池的直径至少应设计为5 m．
11． B　
12． ACD　
13．　
14．
解：如图，依题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
则直线方程为y＝－x＋p.
设直线交抛物线于A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则由抛物线定义，得
|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，
即x1＋x2＋p＝8.①
又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，
由
消去y，得x2－3px＋＝0.
所以x1＋x2＝3p，②
将②代入①，得p＝2.
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，
同理可求得抛物线标准方程为y2＝－4x.
故抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x.
15．
解：(1)由题设条件得焦点F(1，0)，
设直线P1P2的方程为y＝k(x－1)，k≠0.
联立得k2x2－2(2＋k2)x＋k2＝0，
则Δ＝[－2(2＋k2)]2－4k2·k2＝16(1＋k2)＞0.
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，M1(xM1，yM1)，
则xM1＝(x1＋x2)＝1＋＞1，
yM1＝k(xM1－1)＝，∴xM1＝1＋y2M1，
∴线段P1P2的中点M1的轨迹方程为y2＝2(x－1)(x＞1).
(2)由(1)知
同理，设M2(xM2，yM2)，则
∴|FM1|＝ ＝ ，
|FM2|＝＝2|k|，
因此S△FM1M2＝|FM1|·|FM2|＝2≥4，
当且仅当＝|k|，即k＝±1时，S△FM1M2取得最小值4.
(3)当k≠±1时，由(2)知直线l的斜率为k′＝，
∴直线l的方程为y＋2k＝(x－2k2－1)，
即yk2＋(x－3)k－y＝0，(*)
当x＝3，y＝0时，方程(*)对任意k(k≠±1)均成立，
即直线l过定点(3，0).
当k＝±1时，直线l的方程为x＝3，也过定点(3，0).
综上可知，直线l恒过定点(3，0).