2.6.2双曲线的几何性质课时检测-2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册（含答案）

课时跟踪检测（二十六） 双曲线的几何性质
[A级]
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．2
C．4 D．4
2．如果椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为(　　)
A． B．
C． D．2
3．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为(　　)
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
4．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
5．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　)
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为
6．已知点(2，3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
7．设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同的渐近线，则C的方程为________，渐近线方程为________．
8．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是________．
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)实轴长为8，离心率为；
(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－).
10．已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3).若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程．
[B级]
11．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|＝|F1F2|，且cos ∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0
C．3x±5y＝0 D．5x±4y＝0
12．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·＜0，则y0的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
13．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与双曲线C交于M，N两点，与双曲线的渐近线交于P，Q两点．若＞，记过第一、三象限的双曲线C的渐近线为l1，则l1的倾斜角的取值范围为________，离心率的取值范围为________．
14．双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面图(1)，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m．试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m).
[C级]
15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，根据双曲线的渐近线方程的定义，能否从“数”的角度探索出该双曲线的渐近线方程，并证明你的猜测是正确的．
参考答案
1．选C　
2． A　
3． D　
4． B　
5． ACD　
6． 2
7．－＝1　y＝±2x
8．
9．
解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知2a＝8，＝，结合c2＝a2＋b2，可得a＝4，c＝5，b＝3，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)由2a＝2b得a＝b，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点P(4，－)，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
10．
解：由题意，设双曲线E的方程为－＝t(t≠0).
∵点A(2，－3)在双曲线E上，
∴－＝t，
∴t＝－，∴双曲线E的标准方程为－＝1.
又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，
∴双曲线M的标准方程为－＝1.
11． B　
12． A　
13．　(1，)
14．
解：如图(2)，建立冷却塔的轴截面所在平面的直角坐标系xOy，使最小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径CC′，BB′都平行于x轴，且|CC′|＝13×2，|BB′|＝25×2.
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知a＝12，令点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y－55).
因为点B，C在双曲线上，所以
由方程②，得y＝(负值舍去)，代入方程①，得
－＝1，
化简得19b2＋275b－18 150＝0.
解得b≈25.
所以，所求双曲线的方程为－＝1.
15．解：由双曲线的对称性可知，只要研究该双曲线在第一象限趋近于哪条直线，就可得知在整个坐标系中它的渐近线方程．
当x>0，y>0时，由－＝1得y＝b＝x，当x→＋∞时， →1，故猜测在第一象限内，x→＋∞时双曲线无限地接近于直线y＝x.
证明直线l：y＝x是双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程．
如图所示，过M作QM⊥l于Q，过M作PM⊥x轴交l于点P，则|PM|≥|QM|.
设M点的坐标为(xM，yM)，则yM＝ eq \r(x－a2) ，yP＝xM.
所以|PM|＝yP－yM＝(xM－ eq \r(x－a2) )＝ eq \f(\f(b,a)（xM－\r(x－a2)）（xM＋\r(x－a2)）,xM＋\r(x－a2)) ＝ eq \f(ab,xM＋\r(x－a2)) .
当xM→＋∞时，xM＋ eq \r(x－a2) →＋∞，所以|PM|→0，即点M到直线l的距离d→0，
故在第一象限内，直线l为双曲线的渐近线．
由对称性可知y＝±x为双曲线－＝1(a>0，b>0)两条渐近线方程．