3.3.1 抛物线及其标准方程 课时练习-2021-2022学年高二上学期数学 人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.3.1 抛物线及其标准方程 课时练习-2021-2022学年高二上学期数学 人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 784.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-19 11:00:14 | ||
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文档简介
一、单选题
1．抛物线的准线方程为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
2．平面中与点和直线的距离相等的点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为（ ）
A．6 B． C．7 D．
4．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥处各有一窗户，两窗户的水平距离为，如图2，则此抛物线顶端到连桥的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．下列图形中，可能是方程和（且）图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：
①点必在抛物线的准线上；②．
若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．点到点、及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列四个抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（ ）
A． B． C． D．
10．(多选)已知双曲线的离心率为2.若抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则（ ）
A．双曲线C1的渐近线为
B．双曲线C1的渐近线为
C．抛物线C2的方程为x2=8y
D．抛物线C2的方程为x2=16y
11．已知曲线，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，，则曲线是椭圆
B．若，则曲线是焦点在轴上的椭圆
C．若，则曲线是焦点在轴上的双曲线
D．曲线可以是抛物线
12．已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点．当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ）
A．当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆；
B．点的轨迹可能是一个定点；
C．点的轨迹可能是抛物线．
D．当点在圆外时，点的轨迹是双曲线的一支
三、填空题
13．若抛物线的焦点坐标为，则____；准线方程为_____.
14．抛物线上一点M的横坐标为3，且，则抛物线方程为_________．
15．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示），已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为_______．
16．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为_______．
四、解答题
17．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）过点(3,-4)；
（2）焦点在直线x+3y+15=0上.
18．已知定点，曲线上的任一点都有．求曲线的方程.
19．已知椭圆的左 右焦点分别为，，抛物线与椭圆在第一象限的交点为Q，若.
（1）求三角形的面积；
（2）求此抛物线方程.
参考答案
1．D
2．C
3．A
4．B
抛物线的焦点，准线的方程为，过做，垂足为，
设周长为，
，由抛物线的定义可知：
，因此，当在同一条直线上时，有最小值，即
时，，
故选：B
5．B
建系如图，设抛物线方程为：，
由题意设，，
则，
解得：，.
所以此拋物线顶端到连桥的距离为：.
故选：B.
6．D
解：对A，方程表示椭圆，则，，则，抛物线方程应开口向左，故A错误；
对B，方程化为标准方程为，则抛物线的焦点在轴上，故B错误；
对C，方程表示焦点在轴上的双曲线，则，，则，则抛物线方程应开口向右，故C错误；
对D，方程表示焦点在轴上的双曲线，则，，则，则抛物线方程应开口向右，故D正确.
故选：D.
7．A
设抛物线的焦点为，
由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，
所以点必在抛物线的准线上，
所以点，
直线的斜率为．
又因为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
故选：A．
8．D
因为点在点的距离等于它到直线的距离，则点所在的曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
设点，由已知可得，
所以，，（*）
①当时，方程（*）为，解得，符合题意；
②当时，则.
由①②可知，.
故选：D.
9．ACD
由题意知，，故A，D正确，B错误，
又，化简得，其图象与形状相同，
所以C正确．
故选：ACD．
10．AD
解析：因为的离心率为2，所以，即，所以，.
的焦点坐标为，的渐近线方程为，即，由题意得，所以.
故C2的方程为.
故选：AD
11．BC
对于A．若，且，则曲线是椭圆；若，则是圆．故A错误；
对于B．在时可化为，∵∴，所以曲线是焦点在轴上的椭圆．故B正确；
对于C．可化为，∵，∴，∴曲线是焦点在轴上的双曲线；
对于D. 曲线都不能化成抛物线的标准方程的形式，所以曲线不能是抛物线．
12．ABD
解：对A，如图1，连接，
由已知得．
所以．
又因为点在圆内，所以，
根据椭圆的定义，点的轨迹是以，为焦点，为长轴长的椭圆．
对B，如图2，
当点在圆上时，点与圆心重合，轨迹为定点；
对C，由于当点与圆心重合时，点的轨迹为圆，综合，，可知点的轨迹不可能为抛物线．
对D，如图3，连接，
由已知得．
所以．
又因为点在圆外，所以，
根据双曲线的定义，点的轨迹是以，为焦点，为实轴长的双曲线．
故选：ABD．
13．2，
14．
15．
如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上，
设抛物线的标准方程为，由已知条件可得，点在抛物线上，
所以，，解得，
所以，所求抛物线的标准方程为，焦点坐标为，
因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为.
故答案为：.
16．
由题意可知，圆的圆心为，半径为，
由于动圆与定圆相外切，且与直线相切，
动圆圆心到点的距离比它到直线的距离大，
所以，动圆圆心到点的距离等于它到直线的距离，
所以，动圆圆心的轨迹是以点为圆心，以直线为准线的抛物线，
设动圆圆心的轨迹方程为，则，可得，
所以，动圆圆心的轨迹方程为.
故答案为：.
17．（1）或；（2）或.
（1）∵点(3,-4)在第四象限，
∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为 (p>0)或 (p1>0).
将(3,-4)的坐标分别代入方程中，
∴由，得：；由，得.
∴所求抛物线的标准方程为或.
（2）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15.
∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0).
∴所求抛物线的标准方程为或.
18．
解：设，由，得，
，
，化简整理得.
19．（1）；（2）.
解：（1）椭圆即，
，设，
则，
即，
所以三角形的面积为.
（2）设，在第一象限，
，
，所以，
代入抛物线方程得，
所以抛物线方程为.
1．抛物线的准线方程为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
2．平面中与点和直线的距离相等的点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为（ ）
A．6 B． C．7 D．
4．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥处各有一窗户，两窗户的水平距离为，如图2，则此抛物线顶端到连桥的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．下列图形中，可能是方程和（且）图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：
①点必在抛物线的准线上；②．
若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．点到点、及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列四个抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（ ）
A． B． C． D．
10．(多选)已知双曲线的离心率为2.若抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则（ ）
A．双曲线C1的渐近线为
B．双曲线C1的渐近线为
C．抛物线C2的方程为x2=8y
D．抛物线C2的方程为x2=16y
11．已知曲线，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，，则曲线是椭圆
B．若，则曲线是焦点在轴上的椭圆
C．若，则曲线是焦点在轴上的双曲线
D．曲线可以是抛物线
12．已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点．当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ）
A．当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆；
B．点的轨迹可能是一个定点；
C．点的轨迹可能是抛物线．
D．当点在圆外时，点的轨迹是双曲线的一支
三、填空题
13．若抛物线的焦点坐标为，则____；准线方程为_____.
14．抛物线上一点M的横坐标为3，且，则抛物线方程为_________．
15．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示），已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为_______．
16．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为_______．
四、解答题
17．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）过点(3,-4)；
（2）焦点在直线x+3y+15=0上.
18．已知定点，曲线上的任一点都有．求曲线的方程.
19．已知椭圆的左 右焦点分别为，，抛物线与椭圆在第一象限的交点为Q，若.
（1）求三角形的面积；
（2）求此抛物线方程.
参考答案
1．D
2．C
3．A
4．B
抛物线的焦点，准线的方程为，过做，垂足为，
设周长为，
，由抛物线的定义可知：
，因此，当在同一条直线上时，有最小值，即
时，，
故选：B
5．B
建系如图，设抛物线方程为：，
由题意设，，
则，
解得：，.
所以此拋物线顶端到连桥的距离为：.
故选：B.
6．D
解：对A，方程表示椭圆，则，，则，抛物线方程应开口向左，故A错误；
对B，方程化为标准方程为，则抛物线的焦点在轴上，故B错误；
对C，方程表示焦点在轴上的双曲线，则，，则，则抛物线方程应开口向右，故C错误；
对D，方程表示焦点在轴上的双曲线，则，，则，则抛物线方程应开口向右，故D正确.
故选：D.
7．A
设抛物线的焦点为，
由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，
所以点必在抛物线的准线上，
所以点，
直线的斜率为．
又因为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
故选：A．
8．D
因为点在点的距离等于它到直线的距离，则点所在的曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
设点，由已知可得，
所以，，（*）
①当时，方程（*）为，解得，符合题意；
②当时，则.
由①②可知，.
故选：D.
9．ACD
由题意知，，故A，D正确，B错误，
又，化简得，其图象与形状相同，
所以C正确．
故选：ACD．
10．AD
解析：因为的离心率为2，所以，即，所以，.
的焦点坐标为，的渐近线方程为，即，由题意得，所以.
故C2的方程为.
故选：AD
11．BC
对于A．若，且，则曲线是椭圆；若，则是圆．故A错误；
对于B．在时可化为，∵∴，所以曲线是焦点在轴上的椭圆．故B正确；
对于C．可化为，∵，∴，∴曲线是焦点在轴上的双曲线；
对于D. 曲线都不能化成抛物线的标准方程的形式，所以曲线不能是抛物线．
12．ABD
解：对A，如图1，连接，
由已知得．
所以．
又因为点在圆内，所以，
根据椭圆的定义，点的轨迹是以，为焦点，为长轴长的椭圆．
对B，如图2，
当点在圆上时，点与圆心重合，轨迹为定点；
对C，由于当点与圆心重合时，点的轨迹为圆，综合，，可知点的轨迹不可能为抛物线．
对D，如图3，连接，
由已知得．
所以．
又因为点在圆外，所以，
根据双曲线的定义，点的轨迹是以，为焦点，为实轴长的双曲线．
故选：ABD．
13．2，
14．
15．
如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上，
设抛物线的标准方程为，由已知条件可得，点在抛物线上，
所以，，解得，
所以，所求抛物线的标准方程为，焦点坐标为，
因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为.
故答案为：.
16．
由题意可知，圆的圆心为，半径为，
由于动圆与定圆相外切，且与直线相切，
动圆圆心到点的距离比它到直线的距离大，
所以，动圆圆心到点的距离等于它到直线的距离，
所以，动圆圆心的轨迹是以点为圆心，以直线为准线的抛物线，
设动圆圆心的轨迹方程为，则，可得，
所以，动圆圆心的轨迹方程为.
故答案为：.
17．（1）或；（2）或.
（1）∵点(3,-4)在第四象限，
∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为 (p>0)或 (p1>0).
将(3,-4)的坐标分别代入方程中，
∴由，得：；由，得.
∴所求抛物线的标准方程为或.
（2）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15.
∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0).
∴所求抛物线的标准方程为或.
18．
解：设，由，得，
，
，化简整理得.
19．（1）；（2）.
解：（1）椭圆即，
，设，
则，
即，
所以三角形的面积为.
（2）设，在第一象限，
，
，所以，
代入抛物线方程得，
所以抛物线方程为.